Exponentialfunktion – Definition

Exponentialfunktion – Definition Übung

• Gib die Definition einer Exponentialfunktion an.

  Tipps

  Ein Beispiel für exponentielles Wachstum ist:

  ${f{(x)}=2^x}$

  Der Funktionswert verdoppelt sich bei jedem Schritt, also

  $\begin{array}{c|c} f{(x)}=a^x & f{(x)}=2^x\\ \hline a^1 & 2\\ a^2 & 4\\ a^3 & 8\\ a^4 & 16\\ \end{array}$

  Lösung

  Was genau versteht man unter einer Exponentialfunktion?

  Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion hat allgemein die Form:
  $f(x)=a^x$

  Die Variable $x$ steht hier, anders als beispielsweise bei ganzrationalen Funktionen, im Exponenten. Die Basis $a$ ist eine positive reelle Zahl. Die Funktion besteht also aus einer Potenz mit konstanter Basis und variablem Exponenten.

  
  

  Ist wie bei $f_1$ und $f_2$ in der Darstellung $a>1$, so gilt:

  • Der Funktionswert vergrößert sich mit jedem Schritt um den Faktor $a$.

  Wenn die Basis zum Beispiel $2$ ist, lautet der Funktionsterm $2^x$. Hier verdoppelt sich der Funktionswert bei jedem Schritt:

  $\begin{array}{c|c} f{(x)}=a^x & f{(x)}=2^x\\ \hline a^1 & 2\\ a^2 & 4\\ a^3 & 8\\ a^4 & 16\\ \end{array}$

  Bei der Funktion $3^x$ verdreifacht sich der Funktionswert bei jedem Schritt.

  • Für negative $x$-Werte werden die Funktionswerte immer kleiner und nähern sich für $x \to - \infty$ der Null an.

  Ein solches Verhalten wird asymptotisch genannt. Man sagt auch: die $x$-Achse ist eine Asymptote.

• Beschreibe das Verhalten der Funktionsgraphen von Exponentialfunktionen.

  Tipps

  Beispiel:

  Bei der Funktion $ f(x) = 4^x$ ist $ a=4 $. Der Funktionsgraph steigt, da $4>1$.

  Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion immer weiter annähert.

  Lösung

  Steigende Funktionsgraphen:

  Bei der Funktion $ f(x) = 4^x $ ist $a=4$. Es gilt also $ a > 1 $. Wenn du nacheinander in die Funktion für $ x = 1; 2; 3 ... $ einsetzt, Wertepaare bildest und diese in das Koordinatensystem einzeichnest, wird deutlich, dass der Graph steigt.

  Allgemein gilt:
  Ist die Basis größer $1$, so steigt der Funktionsgraph. Je größer die Basis ist, desto steiler verläuft der Funktionsgraph.
  Zum Beispiel gehört der stärker steigende rote Graph in der Darstellung zu $3^x$, der weniger stark steigende gelbe Graph zu $2^x$. Dabei gilt: $3 \gt 2$.

  Fallende Funktionsgraphen:

  Bei der Funktion $ f(x) = (\frac{1}{4})^x $ ist $a=\frac{1}{4} = 0{,}25$. Es gilt also $ a < 1 $. Wenn du hier nacheinander in die Funktion für $ x = 1; 2; 3 ... $ einsetzt, Wertepaare bildest und diese in das Koordinatensystem einzeichnest, wird deutlich, dass der Graph fällt.

  Allgemein gilt:
  Ist die Basis kleiner $1$, so fällt der Funktionsgraph. Je kleiner die Basis ist, desto steiler verläuft der Funktionsgraph.
  Zum Beispiel gehört der stärker fallende rote Graph in der Darstellung zu $\left(\frac{1}{3}\right)^x$, der weniger stark fallende gelbe Graph zu $\left(\frac{1}{2}\right)^x$. Dabei gilt: $\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}$.

  In beiden Fällen nähert sich der Graph der $x$-Achse immer weiter an, ohne sie zu schneiden. Die $x$-Achse ist demnach stets Asymptote des Graphen.
  Das asymptotische Verhalten zweigt sich für $a$ größer $1$ bei $x \to - \infty$, für $a$ kleiner $1$ bei $x \to \infty$.

• Entscheide, welche Aussagen über Exponentialfunktionen korrekt sind.

  Tipps

  Für jede beliebige Zahl $a$ gilt: $a^0=1$.

  Lösung

  Exponentialfunktionen der Form $f(x)=a^x$ haben einige Eigenschaften gemeinsam:

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  • Bei einer Basis $a$ kleiner als $1$ ist der zugehörige Graph streng monoton fallend.

  Beispiel: Bei der Funktion $ f(x) =\left(\frac{1}{4}\right)^x$ ist $a<1 $. Die Funktionswerte werden für zunehmende $x$-Werte immer kleiner, daher fällt der Graph. Bei $a \gt 1$, beispielsweise $4^x$, nehmen die Funktionswerte mit größer werden $x$-Werten zu. Der Graph steigt.

  • Alle Exponentialfunktionen haben einen gemeinsamen Punkt $(0 \vert 1)$.

  Begründung: Das liegt daran, dass jede beliebe Zahl hoch $0$ gleich $1$ ist, also allgemein gilt: $a^0=1$.

  • Jede Exponentialfunktion geht durch den Punkt $(1 \vert a)$.

  Begründung: Einsetzen von $x=1$ in den allgemeinen Funktionsterm $a^x$ liefert: $a^1 = a$. Daraus ergibt sich der Punkt $(1 \vert a)$.

  
  

  Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

  • Jede Exponentialfunktion hat genau eine Nullstelle.

  Richtig wäre: Ein Exponentialfunktion $f(x)=a^x$ hat keine Nullstelle. Dies liegt daran, dass ihr Wertebereich nur positive Zahlen enthält. Der Funktionsgraph hat die $x$-Achse als Asymptote, schneidet sie also nicht.

  • Die Graphen der Exponentialfunktionen ${f{(x)}=a^x}$ und ${f{(x)}=(\frac{1}{a})^x}$ gehen durch Spiegelung an der $x$-Achse auseinander hervor.

  Richtig wäre: Die Graphen gehen durch Spiegelung an der $y$-Achse auseinander hervor.
  So erhältst du beispielsweise den Graphen von $\left(\frac{1}{7}\right)^x$ durch Spiegelung des Graphen von $7^x$ an der $y$-Achse und umgekehrt.

  • Alle Exponentialfunktionen gehen durch Stauchung oder Streckung aus $1^x$ hervor.

  Richtig wäre: Die Basis $a$ ist eine positive reelle Zahl ungleich $1$: $a \in \mathbb{R}^+, a \neq 1$
  Der Term $1^x$ entspricht der linearen Funktion $y = 1$, da $1^n = 1$. Es handelt sich also nicht um eine Exponentialfunktion.

• Ermittle den zum Funktionsgraphen passenden Funktionsterm.

  Tipps

  Für $a>1$ ist der Graph streng monoton steigend, für $a<1$ ist er streng monoton fallend.

  Setze $x=1$ in die Funktionsgleichung ein. Du erhältst den $y$-Wert und kannst überprüfen, welcher Graph den Punkt $P(1|y)$ enthält.

  Lösung

  Wie erkenne ich einen zugehörigen Funktionsgraphen?

  Zuerst schaust du dir die Funktion an und überprüfst, ob die Basis größer oder kleiner $1$ ist. Wenn sie größer $1$ ist, ist der Graph streng monoton steigend, wenn sie kleiner $1$ ist, ist er streng monoton fallend. So kannst du die Graphen schon grob zuordnen.

  Außerdem wissen wir, dass für $a \gt 1$ der Graph umso steiler verläuft, je größer die Basis $a$ ist. Für $a \lt 1$ gilt umgekehrt, dass der Graph umso stärker fällt, je näher $a$ an $0$ liegt.

  Eine genau Zuordnung ist möglich, indem wir die Lage bestimmter Punkte überprüfen. Wenn du den Punkt $(1|y)$ für steigende bzw. $(-1|y)$ für fallende Graphen ermittelt hast, kannst du den Graphen der Funktion direkt zuordnen.

  Bei ${f{(x)}=4^x}$ setzt du den $x$ Wert $1$ ein und erhältst für $y$ den Wert $4$, also $P(1|4)$.

  Bei ${f{(x)}=1,5^x}$ setzt du den $x$ Wert $1$ ein und erhältst für $y$ den Wert $1,5$, also $P(1|1,5)$.

  Bei ${f{(x)}=(\frac{1}{4})^x}$ setzt du den $x$ Wert $-1$ ein und erhältst für $y$ den Wert $4$, also $P(-1|4)$.

  Bei ${f{(x)}=(\frac{1}{6})^x}$ setzt du den $x$ Wert $-1$ ein und erhältst für $y$ den Wert $6$, also $P(-1|6)$.

  Du kannst auch den entsprechenden Punkt auf dem Funktionsgraphen ablesen und so den Funktionsterm zuordnen.

• Berechne die Funktionswerte.

  Tipps

  Setze ${x=1}$ in ${f{(x)}=3^x}$ ein und berechne das Ergebnis.

  Die Rechnung für $x=3$ wäre hier:

  $f(3) = 3^3=3 \cdot 3 \cdot 3=27$.

  Lösung

  Um die Funktionswerte von $f(x) = 3^x$ zu bestimmen, werden nacheinander die $x$-Werte eingesetzt und berechnet.

  • $f(1) = 3^1=3$
  • $f(2) = 3^2=3 \cdot 3=9$
  • $f(3) = 3^3=3{\cdot}3{\cdot}3=27$
  • $f{(4)} = 3^4=3{\cdot}3{\cdot}3{\cdot}3=81$

  Wir können erkennen, dass die Funktionswerte jeweils um den Faktor $3$ wachsen, denn:

  • $f(1) = 3$
  • $f(2) = 9 = 3 \cdot 3 = f(1) \cdot 3$
  • $f(3) = 27 = 9 \cdot 3 = f(2) \cdot 3$
  • $f(4) = 81 = 27 \cdot 3 = f(3) \cdot 3$
  • $\dots$

• Prüfe, um welche Art von Funktion es sich handelt.

  Tipps

  Eine lineare Funktion hat allgemein die Form:

  $m \cdot x + b$

  Beispiele für Potenzfunktionen:

  • $x^2$
  • $x^9$

  Potenzgesetzte:

  Lösung

  Erkennen von Funktionstypen:

  • Eine Exponentialfunktion erkennst du daran, dass die Variable $x$ im Exponenten auftaucht. Die Basis muss eine von eins verschiedene positive reelle Zahl sein.

  Allgemeine Form: $a^x$

  • Eine lineare Funktion erkennst du daran, dass die Variable $x$ ohne Exponent auftaucht. Der Funktionsgraph ist eine Gerade.

  Allgemeine Form: $m \cdot x + b$

  • Eine Potenzfunktion erkennst du daran, dass die Variable $x$ mit einem Exponenten auftaucht.

  Allgemeine Form: $x^n$

  
  

  Wir betrachten die gegebenen Terme und formen sie, wenn nötig, mithilfe der Potenzgesetze um.

  Term 1: $\frac{1}{5^x} = \frac{1^x}{5^x} = \left(\frac{1}{5}\right)^x \Rightarrow$ Es ist eine Exponentialfunktion mit Basis $a= \frac{1}{5}$.

  Term 2: $x^3$ ist eine Potenzfunktion mit Exponent $n = 3$.

  Term 3: $x^7 \cdot x^{-5} = x^{7-5} = x^2 \Rightarrow$ Es ist eine Potenzfunktion mit Exponent $n = 2$.

  Term 4: $3x - 1$ ist eine lineare Funktion mit $m = 3$ und $b = -1$.

  Term 5: $7x$ ist eine lineare Funktion mit $m = 7$ und $b = 0$.

  Term 6: $7^x$ ist eine Exponentialfunktion mit $a = 7$.

  Term 7: $4^{\frac{x}{2}} = 4^{\frac{1}{2} \cdot x} = \left(4^{\frac{1}{2}}\right)^x = \sqrt{4}^x = 2^x \Rightarrow$ Es ist eine Exponentialfunktion mit $a = 2$.