Exponentialfunktion – Funktionsgleichung bestimmen

Exponentialfunktion – Funktionsgleichung bestimmen Übung

• Gib an, wie die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion bestimmt werden kann.

  Tipps

  Welchen Punkt haben diese Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ gemeinsam und wie lassen sie sich voneinander unterscheiden?

  Zur Bestimmung der beiden Parameter in einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = b \cdot a^x$ benötigst du zwei Gleichungen.

  Lösung

  Die Exponentialfunktionen der Form $f(x)=a^x$ fächern sich so auf, dass sie einander nirgendwo schneiden mit Ausnahme eines einzigen Punktes $P(1\vert0)$. Daher kann man die Funktionsgleichung für diese Exponentialfunktion mit nur einem weiteren Punkt eindeutig bestimmen.

  Wenn Exponentialfunktionen einen Faktor $b$ enthalten, dann müssen zwei Punkte gegeben sein, um die beiden Parameter in der Funktionsgleichung $f(x) = b \cdot a^x$ eindeutig zu bestimmen.

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  • Um eine Funktionsgleichung der Form $f(x)=b\cdot{a}^x$ zu bestimmen, benötigt man zwei beliebige Punkte der Funktion.
  • Um eine Funktionsgleichung der Form $f(x)=a^x$ zu bestimmen, benötigt man einen beliebigen Punkt der Funktion außer $P(1\vert0)$.

  Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

  • Um eine Funktionsgleichung der Form $f(x)=a^x$ zu bestimmen, benötigt man den Punkt $P(1\vert0)$.

  Da alle Exponentialfunktionen diesen Punkt gemeinsam haben, benötigt man, um die Funktionsgleichung eindeutig zu bestimmen, einen weiteren Punkt.

  • Um eine Funktionsgleichung der Form $f(x)=b\cdot{a}^x$ zu bestimmen, benötigt man den Punkt $P(1\vert0)$ und einen weiteren beliebigen Punkt der Funktion.

  Zur eindeutigen Bestimmung einer Funktionsgleichung der Form $f(x) = b \cdot a^x$ werden zwei Punkte der Funktion benötigt. Der Graph der Funktion verläuft dabei stets durch den Punkt $(0 \vert b)$, da $f(0) = b \cdot a^0 = b \cdot 1 = b$. Das bedeutet, der Punkt $(0 \vert 1)$ ist nur im Fall $b = 1$ Teil des Funktionsgraphen.

• Beschreibe, wie die Monotonie einer Exponentialfunktion $f(x) = a^x$ abgelesen werden kann.

  Tipps

  Dieser Graph ist streng monoton steigend.

  Alle Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ gehen durch den Punkt $(0 \vert 1)$. Der Parameter $a$ gibt an, ob die Funktionswerte zu oder abnehmen.

  Beispiele:

  • $a = 5$: $f(1) = 5^1 = 5 \Rightarrow$ Die Werte nehmen zu.
  • $a = 0{,}2$: $f(1) = 0{,}2^1 = 0{,}2 \Rightarrow$ Die Werte nehmen ab.

  Lösung

  Um herauszufinden, welche Monotonie (also welchen Verlauf in dem Koordinatensystem) die Funktion annimmt, schaust du dir die Basis $a$ an. Streng monoton steigend bedeutet, dass die Funktionswerte immer zunehmen, der Graph hat eine positive Steigung. Streng monoton fallend bedeutet, dass die Funktionswerte immer abnehmen, der Graph hat eine negative Steigung.

  Für Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ gilt:
  Wenn du einen Punkt der Funktion im Koordinatensystem verortest, kannst du direkt abschätzen, ob die Basis $a$ größer oder kleiner als $\mathbf{1}$ ist. Befindet sich der Punkt im lilanen Bereich, ist $a$ größer als $1$. Liegt der Punkt im grünen Bereich, ist $a$ kleiner als $1$.

  Ist die Basis $a$ größer als $1$, verläuft die Exponentialfunktion streng monoton steigend. Ist $a$ dagegen kleiner als $1$, ist der Verlauf streng monoton fallend.

  Auch bei Exponentialfunktionen der Form $f(x) = b \cdot a^x$ gilt das Kriterium:

  • $a \gt 1 \quad \Rightarrow \quad$ streng monoton steigend
  • $a \lt 1 \quad \Rightarrow \quad$ streng monoton fallend

  Die Bereiche im Koordinatensystem sind hier abhängig von $b$.

• Bestimme die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion.

  Tipps

  Die gegebenen Punkte kannst du in die allgemeine Formel einsetzen.

  Beispiel:
  $R(2 \vert 4)$ in $f(x) = b \cdot a^x$
  $4 = b \cdot a^2$

  Wenn du einen Punkt mit $x$-Wert $1$ vorliegen hast, kannst du den Streckfaktor $b$ direkt ablesen. Diesen setzt du dann in die zweite Gleichung ein.

  Lösung

  Den Funktionsterm einer Exponentialfunktion kannst du bestimmen, indem du die Koordinaten zweiter Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = b \cdot a^x$ einsetzt und die beiden Parameter $a$ und $b$ berechnest.

  Besonders einfach ist die Funktionsgleichung von Exponentialfunktionen zu bestimmen, wenn bei einem der Punkte $x=0$ ist. Dann kannst du $b$ direkt aus der $y$-Koordinate ablesen. Es gilt: $(0 \vert b)$, da $f(0) = b \cdot a^0 = b$.

  $P(0\vert7) ~ \rightarrow ~ 7 = b \cdot a^0 = b \cdot 1 = b$
  Hier ist also $b=7$.

  Dann setzt du $b=7$ in die Gleichung ein, die du mit dem zweiten Punkt $Q(1\vert21)$ aufstellen kannst, also

  $\begin{array}{rcll} f(x) &=& b \cdot a^x \\ \rightarrow ~ 21 &=& 7 \cdot a^1 & \vert : 7 \\ \dfrac{21}{7} &=& a \\ \implies a &=& 3 \end{array}$

  Für einen gegebenen Punkt mit $x$-Koordinate $1$ gilt allgemein: $(1 \vert a \cdot b)$, da $f(1) = b \cdot a^1 = a \cdot b$.

  Die Funktionsgleichung lautet dann:
  $f(x)=7 \cdot 3^x$

• Ermittle die Monotonie der Exponentialfunktionen.

  Tipps

  Ob der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung $f(x) = b \cdot a^x$ steigt oder fällt, hängt nur von der Basis $a$ ab.

  Der Graph zeigt die Funktion $f(x) = 0{,}9 \cdot 2^x$.
  Er ist streng monoton steigend.

  Der Graph zeigt die Funktion $f(x) = 2 \cdot 0{,}5^x$.
  Er ist streng monoton fallend.

  Lösung

  Der Graph einer Exponentialfunktion hat stets im gesamten Definitionsbereich ein gleichbleibendes Monotonieverhalten. Er ist streng monoton steigend oder streng monoton fallend. Ob der Graph einer Funktion mit der Gleichung $f(x) = b \cdot a^x$ steigt oder fällt, hängt dabei nur von der Basis $a$ ab.
  Es gilt:

  • $a \gt 1 \quad \Rightarrow \quad$ Der Graph ist streng monoton steigend.
  • $a \lt 1 \quad \Rightarrow \quad$ Der Graph ist streng monoton fallend.

  
  

  Zu „streng monoton steigend“ ordnest du alle Funktionen zu, deren Basis $a$ größer $1$ ist. Den Streckfaktor $b$ brauchst du dabei nicht berücksichtigen.

  Monoton steigende Funktionen sind:

  • $f(x)=0{,}4 \cdot 5^x~\rightarrow~a=5 \gt 1$
  • $f(x)=\frac{1}{4} \cdot 3^x~\rightarrow~a=3 \gt 1$
  • $f(x)=2 \cdot 6^x~\rightarrow~a=6 \gt 1$

  Zu „streng monoton fallend“ ordnest du alle Funktionen zu, deren Basis $a$ kleiner $1$ ist. Den Streckfaktor $b$ brauchst du dabei nicht berücksichtigen.

  Monoton fallende Funktionen sind:

  • $f(x)=0{,}5 \cdot 0{,}5^x~\rightarrow~a=0{,}5 \lt 1$
  • $f(x)=\frac{1}{5} \cdot 0{,}2^x~\rightarrow~a=0{,}2 \lt 1$
  • $f(x)=4 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^x~\rightarrow~a= \frac{1}{10} \lt 1$

• Vervollständige die Gleichung der Exponentialfunktion.

  Tipps

  Beispiel: Wenn wir den Punkt $P(2\vert3)$ in $f(x)=a^x$ einsetzen, erhalten wir $a^2=4$.

  Beachte:
  Wenn $a$ größer $1$ ist, ist die Funktion streng monoton steigend.
  Wenn $a$ kleiner $1$ ist, ist die Funktion streng monoton fallend.

  Lösung

  Um die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion eindeutig zu bestimmen, benötigst du nur einen beliebigen Punkt, durch den sich der Funktionsgraph von den anderen Graphen unterscheidet. Da alle Funktionsgraphen von Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ durch den Punkt $P(0 \vert 1)$ gehen, ist dieser Punkt nicht geeignet. Wenn ein geeigneter Punkt gegeben ist, kannst du den $x$-Wert in die Funktionsgleichung $f(x)=a^x$ einsetzen und erhältst durch Lösen der Gleichung den Wert für $a$.

  Die Funktionsgleichung wird wie folgt berechnet:

  $P(1\vert2)$ wird in $f(x) = a^x$ eingesetzt:

  $\begin{array}{rrcl} & f(1) &=& a^1 = 2\\ \implies & a &=& 2 \\ \implies & f(x) &=& 2^x \\ \end{array}$

  Der Graph der Exponentialfunktion ist streng monoton steigend, da $a = 2 \gt 1$.

• Stelle die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion auf, die durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft.

  Tipps

  Da die Gleichung $f(x)=b \cdot a^x$ zwei Unbekannte $a$ und $b$ enthält, benötigst du zwei Gleichungen, die du mit den gegebenen Punkten aufstellen kannst.

  Um die unbekannten Variablen zu berechnen, löst du eine Gleichung nach $b$ auf und setzt den so berechneten Term für $b$ dann in die zweite Gleichung ein.

  Lösung

  Um die Gleichung einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=b \cdot a^x$ zu bestimmen, benötigst du zwei beliebige Punkte, durch die der Funktionsgraph verläuft.

  1. Beispiel: $P(1\vert5)$ und $Q(0\vert10)$

  • $Q$ einsetzen: $10 = b \cdot a^0 ~ \Rightarrow ~ b = 10$
  • $b$ und $P$ einsetzen: $5 = 10 \cdot a^1 ~ \Rightarrow ~ a = 0{,}5$

  $f(x)= 10 \cdot 0{,}5^x$

  2. Beispiel: $P(2\vert3{,}2)$ und $Q(-1\vert0{,}05)$

  • $P$ einsetzen: $ 3{,}2 = b \cdot a^2 ~ \Rightarrow ~ b = \frac{3{,}2}{a^2}$
  • $b$ und $Q$ einsetzen: $0{,}05 = \frac{3{,}2}{a^2} \cdot a^{-1} ~ \Rightarrow ~ a^3 = \frac{3{,}2}{0{,}05} ~ \Rightarrow ~ a = 4$
  • $b = \frac{3{,}2}{4^2} = 0{,}2$

  $f(x)= 0{,}2 \cdot 4^x$

  3. Beispiel: $P(1\vert3)$ und $Q(6\vert0{,}5)$

  • $P$ einsetzen: $ 3 = b \cdot a^1 ~ \Rightarrow ~ b = \frac{3}{a}$
  • $b$ und $Q$ einsetzen: $0{,}5 = \frac{3}{a} \cdot a^{6} ~ \Rightarrow ~ a^5 = \frac{0{,}5}{3} ~ \Rightarrow ~ a \approx 0{,}7$
  • $b = \frac{3}{0{,}7} \approx 4{,}3$

  $f(x)=4{,}3 \cdot {0{,}7}^x$