Exponentialschreibweise

Exponentialschreibweise Übung

• Beschreibe die Verwendung der Exponentialschreibweise.

  Tipps

  In der Gleichung $2^3=8$ ist $2$ die Basis der Potenz.

  Eine Zahl $x$, die so oft mit sich selbst multipliziert wird, dass sich $n$ Faktoren ergeben, kannst du als $x^n$ schreiben.

  Multiplizierst du viermal hintereinander $2$ € Schulden, so ergibt sich der Betrag $(-2)^4 = 16$ €.

  Lösung

  Die wiederholte Multiplikation derselben Zahl kannst du als Potenz dieser Zahl schreiben. Umgekehrt kannst du die Potenz einer Zahl ausrechnen, indem die Zahl wiederholt mit sich selbst multipliziert wird. Die Zahl, die wiederholt multipliziert wird, heißt Basis der Potenz. Der Exponent gibt an, wie viele gleiche Faktoren die faktorisierte Schreibweise der Potenz hat.

  So ist zum Beispiel $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$, damit ist $2$ die Basis, die $4$-mal mit sich selbst multipliziert wird.

  Beim Ausmultiplizieren einer Potenz musst du die Regel Minus mal minus ergibt plus beachten. Die Potenzen einer positiven Zahl sind stets positiv, denn Produkte positiver Zahlen sind positiv. Potenzen einer negativen Zahl können aber sowohl positiv als auch negativ sein. Welches Vorzeichen auftritt, hängt von der Anzahl der Faktoren, also vom Exponenten der Potenz, ab. So ist $(-2)^3 = ((-2) \cdot (-2)) \cdot (-2) = (+4) \cdot (-2) = {-8}$, aber $(-2)^4 = ((-2) \cdot (-2)) \cdot ((-2) \cdot (-2)) = (+4) \cdot (+4) = 16$.

  Multiplizieren die Fischer Hauke und Knut ihre Schulden von $-5$ € insgesamt $6$ Tage lang jeweils mit $\frac{3}{5}$, so erhalten sie den folgenden Betrag:

  $(-5) \cdot \underbrace{\left(\frac{3}{5}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{3}{5}\right)}_{6-\text{mal}} = (-5) \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^6 \approx (-5) \cdot 0,047 \approx -0,23$

  Hierbei haben wir genutzt, dass bei der Multiplikation von Brüchen jeweils nur die Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden, d. h. $\left(\frac{3}{5}\right)^6 = \frac{3^6}{5^6} \approx 0,047$.

  Wenn Hauke und Knut stattdessen ihren Geldbetrag $9$ Tage lang mit sich selbst multiplizieren, so kommen sie auf folgenden Wert:

  $(-5)^9 = -1 953 125$

  Die Regel Minus mal minus ergibt plus führt dazu, dass bei einer geraden Potenz einer negativen Zahl immer ein negativer Faktor übrig bleibt, sodass die Potenz negativ ist.

  Potenzieren Hauke und Knut ihr Geld mit der Anzahl der Tage, so erhalten sie nach $8$ Tagen folgenden Betrag:

  $(-5)^8 = 390 625$

  Hier führt die Regel Minus mal minus ergibt plus zu einem positiven Ergebnis: Weil der Exponent, also die Anzahl der negativen Faktoren der Multiplikation, gerade ist, heben sich alle Minuszeichen auf.

• Gib wieder, wie du mit Potenzen rechnen kannst.

  Tipps

  Eine gerade Potenz einer negativen Zahl ist positiv.

  $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2^4}{3^4}$

  Beachte die Regel:

  Minus mal minus ergibt plus

  Lösung

  Mit der Exponentialschreibweise kannst du die wiederholte Multiplikation einer Zahl abkürzend schreiben. Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, ist die Basis der Potenz. Der Exponent ist die Anzahl der Faktoren der Basis, wenn du das Produkt ausschreibst.

  Bei der Berechnung von Potenzen musst du die Regel Minus mal minus ergibt plus berücksichtigen:

  • Rechnest du eine gerade Potenz einer negativen Zahl aus, so ist das Ergebnis eine positive Zahl, da sich die Vorzeichen je zweier Faktoren aufheben.
  • Bei einer ungeraden Potenz einer negativen Zahl bleibt stets ein negativer Faktor übrig, sodass das Ergebnis negativ ist.
  • Potenzierst du Brüche, verwendest du die Regel für die Multiplikation von Brüchen. Daraus ergibt sich, dass die Potenz eines Bruchs der Bruch aus den Potenzen des Zählers und des Nenners ist.

  So erhältst du folgende korrekte Sätze:

  1. Die Basis einer Potenz ... ist die Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird.
  2. Der Exponent einer Potenz ... ist die Anzahl der Faktoren in der faktorisierten Schreibweise der Potenz.
  3. Eine Potenz einer negativen Zahl ... ist nicht notwendigerweise negativ.
  4. Jede Potenz einer positiven Zahl ... ist positiv.
  5. Die Potenz eines Bruchs ... ist der Bruch der Potenzen von Zähler und Nenner.

• Bestimme die Potenzen.

  Tipps

  Verwende beim Potenzieren eines Bruchs die Regel:

  Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

  Ein Minus im Zähler oder im Nenner eines Bruchs kannst du auch vor den gesamten Bruch schreiben.

  $\left(\frac{5}{4}\right)^3 = \frac{5^3}{4^3} = \frac{125}{64}$

  Lösung

  Die Potenz einer Zahl ist ein mehrfaches Produkt der Zahl mit sich selbst. Der Exponent der Potenz ist die Anzahl der Faktoren. Berechnest du die Potenz eines Bruchs, so kannst du die Potenz im Zähler und im Nenner einzeln berechnen und den Bruch der Potenzen bilden.

  So erhältst du folgende Gleichungen:

  • $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
  • $\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$
  • $\left(-\frac{3}{4}\right)^2 = -\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}\right) = -\frac{3^2}{4^2} = -\frac{9}{16}$
  • $\left(\frac{-2}{5}\right)^3 = \left(\frac{-2}{5}\right) \cdot \left(\frac{-2}{5}\right) \cdot \left(\frac{-2}{5}\right) = \frac{(-2)^3}{5^3} = \frac{-8}{125} = -\frac{8}{125}$

• Erschließe die Rechnungen.

  Tipps

  Berechne zuerst die Potenzen und multipliziere das Ergebnis mit dem jeweiligen Faktor, der vor der Potenz steht.

  Hier ist ein Beispiel:

  $3 \cdot (-4)^5 = 3 \cdot \big((-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \big) = 3 \cdot \big((-4) \cdot 4^2 \cdot 4^2\big) = 3 \cdot (-1 024) = -3 072$

  Lösung

  Bei der Berechnung der Produkte und Potenzen musst du genau beachten, welche Zahl jeweils potenziert wird, d. h., auf welche Basis sich der Exponent bezieht. Das Produkt einer Zahl mit einer Potenz kannst du berechnen, indem du zuerst die Potenz berechnest und dann mit der Zahl multiplizierst. So erhältst du folgende Rechnungen:

  $486$:

  • $2 \cdot 3^5 = 2 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = 2 \cdot 243 = 486$
  • $6 \cdot 3^4 = 6 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = 6 \cdot 81 = 486$
  • $(-18) \cdot (-3)^3 = (-18) \cdot \big((-3) \cdot (-3) \cdot (-3)\big) = (-18) \cdot (-27) = 486$

  $500$:

  • $4 \cdot 5^3 = 4 \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 4 \cdot 125 = 500$
  • $20 \cdot (-5)^2 = 20 \cdot \big((-5) \cdot (-5)\big) = 20 \cdot 25 = 500$

  $-192$:

  • $6 \cdot (-2)^5 = 6 \cdot \big((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \big) = 6 \cdot (-32) = -192$
  • $3 \cdot (-4)^3 = 3 \cdot \big((-4) \cdot (-4) \cdot (-4)\big) = 3 \cdot (-64) = -192$
  • $(-3) \cdot 8^2 = (-3) \cdot (8 \cdot 8)=(-3) \cdot 64 =-192$

  $768$:

  • $3 \cdot (-4)^4 = 3 \cdot \big((-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4)\big) = 3 \cdot (256) = 768$
  • $3 \cdot 16^2 = 3 \cdot (16 \cdot 16) = 3 \cdot 256 = 768$
  • $(-12) \cdot (-4)^3 = (-12) \cdot \big((-4) \cdot (-4) \cdot (-4)\big) = (-12) \cdot (-64) = 768$

• Bestimme die Potenzen.

  Tipps

  Das Produkt dreier negativer Zahlen ist negativ.

  $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

  Beachte: $-3^2 =-(3\cdot 3)=-9$, aber: $(-3)^2 =(-3)\cdot (-3)=9$

  $10^n$ ist eine $1$ mit $n$ Nullen.

  Lösung

  Die Potenz $x^n$ einer Zahl $x$ entsteht aus der Multiplikation von $x$ mit sich selbst. Die Zahl $n$ ist die Anzahl der Faktoren. Es ist also $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ und $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ usw. Beim Ausmultiplizieren musst du die Regel Minus mal minus ergibt plus beachten. Dadurch können Potenzen negativer Zahlen negativ oder positiv sein. Um das Vorzeichen zu bestimmen, kannst du jeweils immer zwei Faktoren zusammenfassen. Ist der Exponent $1$, so hast du nur einen Faktor. Die Potenz entspricht also der Basis, d. h. $x^1 = x$.

  Du erhältst folgende Zuordnungen:

  • $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = (+4) \cdot (-2) = -8$
  • $-2^2 = -(2\cdot 2) = -4$
  • $(-1)^4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (+1) \cdot (+1) = 1$
  • $(-10)^2 = (-10) \cdot (-10) = 100$
  • $10^1 = 10$

• Analysiere die Beschreibungen.

  Tipps

  Ein Viertel mehr als $20$ ist $20 \cdot \frac{5}{4}$.

  Verringert sich ein Betrag um $\frac{3}{4}$, so bleibt $\frac{1}{4}$ übrig.

  Die Schneeschmelze lässt den Wasserstand eines Bachs auf das Dreieinhalbfache ansteigen. Kämen zwei solcher Schneeschmelzen gleichzeitig, so wäre der Wasserstand das $12,25$-Fache des üblichen. Denn $3,5 = \frac{7}{2}$ und zwei Multiplikationen mit $3,5$ sind dasselbe wie eine Multiplikation mit $\left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} = 12,25$.

  Lösung

  Folgende Beschreibungen sind richtig:

  • Training: Jasmin erhöht ihre Geschwindigkeit jede Woche um den Faktor $1,5 = \frac{3}{2}$. Dadurch verringert sich ihre Laufzeit um den Kehrwert, also um den Fakor $\frac{2}{3}$. Nach $n$ Wochen beträgt ihre Laufzeit nur noch das $\left(\frac{2}{3}\right)^n$-Fache der anfänglichen Laufzeit.

  • Bakterien: Ohne Medikation kannst du die Anzahl der Bakterien durch Multiplikation mit $2^m$ beschreiben, dabei steht $m$ jeweils für die Vielfachen von $12$ Stunden. Zwischen einem Tag und dem nächsten vergehen $24 = 2 \cdot 12$ Stunden. Das Bakterium hat sich nach einem Tag also auf das $2^2 = 4$-Fache vermehrt, nach $2$ Tagen auf das $2^4 = 16$-Fache und nach $n$ Tagen auf $2^{2n}$-Fache. Das Medikament verringert die Anzahl der Bakterien täglich um $\frac{2}{3}$, also auf $\frac{1}{3}$ des Werts ohne Medikation. Nach $5$ Tagen der Medikation beträgt die Zahl der Bakterien dann das $2^{2 \cdot 5} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5$-Fache des Werts am Anfang. Da $\frac{2^{10}}{3^5} = \frac{1 024}{243} \approx 4,21$, hat sich die Anzahl weniger als verfünffacht.

  Folgende Beschreibungen sind falsch:

  • Taschengeld: Annas Taschengeld erhöht sich mit jedem neuen Lebensjahr um den Faktor $\frac{3}{2}$, im ersten Jahr also um $5$ €. In den weiteren Jahren beträgt die Änderung aber mehr als $5$ €. Du erhältst den korrekten Wert, indem du wiederholt mit $\frac{3}{2}$ multiplizierst.

  • Fischfang: Der Anteil der Goldbrassen erhöht sich bei jedem Fang um $\frac{1}{10}$. Er liegt also jeweils bei $\frac{11}{10}$ des vorherigen Anteils. Der Anteil nach vier Fischfangfahrten beträgt dann $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{11}{10}\right)^4 \neq \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^4$.