Mengen abschätzen und vergleichen mit Zehnerpotenzen

Mengen abschätzen und vergleichen mit Zehnerpotenzen Übung

• Beschreibe, wie man Anzahlen abschätzt und vergleicht.

  Tipps

  Die Zahl $a$ ist ungefähr $30$ mal so groß wie $b$, wenn $a:b \approx 30$.

  Wähle als Schätzwert eine Zahl, die nur eine Ziffer $\neq 0$ enthält. Dabei soll der Schätzwert so nahe wie möglich an der abzuschätzenden Zahl liegen.

  $17\,853 \approx 20\,000$, denn der Abstand zu $20\,000$ ist kleiner als der Abstand zu $10\,000$.

  Lösung

  Um zu vergleichen, um wieviel eine Zahl größer oder kleiner ist als eine andere, kannst du ihr Verhältnis ausrechnen, d. h. den Quotienten der beiden Zahlen. Bei großen Zahlen ist das sehr mühsam. Wenn aber der exakte Wert nicht wichtig ist, kannst du die Zahlen zuerst abschätzen und dann den Quotienten der Schätzwerte berechnen.

  Um also herauszufinden, um wie viel mehr Haare der junge Dr. E im Vergleich zu dem alten Dr. E hatte, müsstest du die beiden Anzahlen dividieren. Statt den genauen Wert des Quotienten auszurechnen, kannst du die beiden Zahlen zuerst abschätzen.

  Ein gut handhabbarer Schätzwert enthält nur eine von $0$ verschiedene Ziffer, nämlich die vorderste, d. h. die Ziffer der größten Stelle. Du ersetzt also den exakten Wert durch einen Schätzwert dieser Form, und zwar durch denjenigen, der am nächsten an der exakten Zahl liegt.

  Die Zahl $184\,362$ z. B. kannst du mit $200\,000$ abschätzen. Der andere mögliche Schätzwert $100\,000$ kommt hier nicht in Betracht, denn der Abstand von $184\,362$ zu $200\,000$ ist kleiner als der zu $100\,000$.

  Für die Zahl $7\,820$ kommen zunächst die Schätzwerte $7\,000$ und $8\,000$ in Betracht. Hier wählst du als Schätzwert $8\,000$, denn der Abstand von $7\,820$ zu $7\,000$ ist größer als der Abstand zu $8\,000$. Zur Vereinfachung kannst du nun die Schätzwerte mit Zehnerpotenzen beschreiben. Du ersetzt dabei einfach die Nullen des Schätzwertes durch die Zehnerpotenz. Der Exponent entspricht genau der Anzahl der Nullen:

  $184\,362 \approx 200\,000 = 2 \cdot 10^5$

  $7\,820 \approx 8\,000 = 8 \cdot 10^3$

  Nachdem du die Zahlen abgeschätzt hast, kannst du nun die Schätzwerte dividieren. Zehnerpotenzen dividierst du mit dem Potenzgesetz:

  $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  Für den Quotienten der Schätzwerte von oben erhältst du dann:

  $2 \cdot 10^5: 8 \cdot 10^3 = 2 \cdot 10^2 : 8 = 0,25 \cdot 10^2=25$

  Der junge Dr. E besaß also etwa $25$ mal mehr Haare als der alte Dr. E.

• Gib die Abschätzungen der Zahlen und die Werte der Quotienten an.

  Tipps

  Verwende zur Division von Potenzen das Potenzgesetz:

  $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  Wähle als Schätzwert eine Zahl, die nur eine Ziffer $\neq 0$ enthält. Dabei soll der Schätzwert so nahe wie möglich an der abzuschätzenden Zahl liegen.

  $23\,456 \approx 20\,000$, da $23\,456 - 20\,000<30\,000-23\,456$.

  Lösung

  Große Zahlen kannst du durch Schätzwerte annähern, die nur eine von $0$ verschiedene Ziffer enthalten. Diese Ziffer ist entweder die vorderste Ziffer der abzuschätzenden Zahl oder die Vorgängerin oder die Nachfolgerin dieser Ziffer. Ist die vorderste Ziffer der abzuschätzenden Zahl $9$, so kann der Schätzwert auch als vorderste Ziffer die $1$ an der nächstgrößeren Stelle haben. Du wählst als Abschätzung unter allen Schätzwerten dieser Form immer denjenigen mit dem kleinsten Abstand zu der abzuschätzenden Zahl. Du rundest also auf die höchste Stelle (Hunderter, Tausender, Hunderttausender...).

  Schätzwerte der oben beschriebenen Form kannst du leicht durcheinander divideren, denn für die Zehnerpotenzen musst du nur das Potenzgesetz anwenden:

  $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

  So erhältst du folgende Zuordnungen:

  • $2 \cdot 10^5 : 8 \cdot 10^3= \frac{2}{8} \cdot 10^{5-3} = 0,25 \cdot 20^2 = 25$
  • $4 \cdot 10^{14} : 8 \cdot 10^6 \frac{4}{8} \cdot 10^{14-6} = 0,5 \cdot 10^8 =5 \cdot 10^7$
  • $184\,362 \approx 200\,000 = 2 \cdot 10^5$
  • $7\,820 \approx 8\,000 = 8 \cdot 10^3$
  • $3\,758\,300\,000 \approx 4\,000\,000\,000 = 4 \cdot 10^9$

• Gib die passende Abschätzung an.

  Tipps

  Nur wenn die vorderste Ziffer $9$ ist, kann der Schätzwert mehr Stellen haben als die abzuschätzende Zahl selbst.

  Betrachte bei der Abschätzung die Differenz zwischen der abzuschätzenden Zahl und dem Schätzwert. Diese sollte möglichst klein sein.

  Für $98\,765$ ist der Schätzwert $100\,000$, denn:

  $100\,000-98\,765 = 1\,235 < 8\,765 = 98\,765-90\,000$

  Lösung

  Du kannst große Zahlen abschätzen, indem du sie durch geeignete Schätzwerte ersetzt. Als Schätzwert wählst du am besten eine Zahl, mit der sich leicht rechnen lässt. Am einfachsten zum Rechnen sind Zehnerpotenzen. Schätzt du nur durch Zehnerpotenzen ab, so werden die Abschätzungen sehr grob. Etwas bessere Abschätzungen erhältst du, indem du Zehnerpotenzen und Produkte von Zehnerpotenzen mit einer einstelligen Zahl als Schätzwerte zulässt. Solche Schätzwerte sind dann Zahlen, deren vorderste Ziffer zwischen $1$ und $9$ liegt und die hinter der vordersten Ziffer nur Nullen haben.

  Du wählst als Schätzwert immer die Zahl der oben beschriebenen Form, die am nächsten an dem exakten Wert liegt. Der Schätzwert hat entweder genauso viele Ziffern oder eine Ziffer mehr als die abzuschätzende Zahl. Liegt die erste Ziffer des exakten Wertes zwischen $1$ und $8$, so ist die erste Ziffer des Schätzwertes dieselbe, wie die erste Ziffer des exakten Wertes oder dessen Nachfolger. Zum Beispiel schätzt du $76\,543$ durch $80\,000$ ab, denn der Abstand zu $80\,000$ ist kleiner als der Abstand zu $70\,000$. Ist die erste Ziffer des exakten Wertes $9$, so kommt es auch vor, dass du die Ziffer $9$ durch $10$ ersetzt, d. h. durch eine $1$ an der nächsten Stelle und eine $0$ an der Stelle der $9$. Zum Beispiel ist die Abschätzung für $98\,765\,432$ die Zahl $100\,000\,000$, die eine Stelle mehr hat als der exakte Wert. Im Grund rundest du auf die vorderste Stelle.

  Auf diese Weise erhältst du folgende Abschätzungen:

  • $189\,392 \approx 200\,000$
  • $98\,765 \approx 100\,000$
  • $654\,321 \approx 700\,000$
  • $10\,123 \approx 10\,000$
  • $56\,789 \approx 60\,000$
  • $54\,321 \approx 50\,000$

• Vergleiche die Zahlen

  Tipps

  Ersetze Dividend und Divisor durch Schätzwerte und dividiere diese. Dabei kann es auch sinnvoll sein, $10$er-Potenzen zu nutzen, wie zum Beispiel:

  $200\,000=2\cdot 10^5$

  $3\,000=3\cdot10^3$

  Lösung

  Um den Quotienten großer Zahlen abzuschätzen, ist es nützlich, zuerst die Zahlen selbst durch Schätzwerte zu ersetzen. Als Schätzwert einer Zahl wählst du unter allen Zahlen, bei denen nur die vorderste Ziffer von $0$ verschieden ist, diejenige Zahl, die dem exakten Wert am nächsten liegt.

  So kannst du z. B. in dem Quotienten $185\,678 : 8\,012$ den Dividenden durch $200\,000$ abschätzen und den Divisor durch $8\,000$. Du erhältst daher:

  $185\,678 : 8\,012 \approx 200\,000 : 8\,000 = \frac{2\cdot 10^5}{8\cdot 10^3}= \frac28 \cdot 10^{5-3} = 0,25 \cdot 10^2= 25$

  So erhältst du folgende Zuordnungen:

  $25$:

  • $185\,678 : 8\,012 \approx 200\,000:8\,000=25$
  • $12\,345:398 \approx 10\,000 : 400= \frac{1\cdot 10^4}{4\cdot10^2}= \frac14 \cdot 10^{4-2} =0,25 \cdot 10^2=25$

  $3$:

  • $9\,019:3\,234 \approx 9\,000 : 3\,000 = 3$
  • $27\,492 : 9\,874 \approx 30\,000 : 10\,000=3$

  $50$:

  • $46\,836: 987 \approx 50\,000 : 1\,000 = 50$
  • $123\,456 : 2\,345 \approx 100\,000 : 2\,000 = 50$

  $200$:

  • $987\,654 : 4\,543 \approx 1\,000\,000 : 5\,000 = 200$
  • $10\,961\,572 : 53\,573 \approx 10\,000\,000 : 50\,000 = 200$

• Berechne die Zehnerpotenzen.

  Tipps

  Bei einer Zehnerpotenz ist der Exponent identisch mit der Anzahl der Nullen.

  Für negative Exponenten gilt:

  $5\cdot 10^{-1} =5\cdot \frac{1}{10^1} = 0,\!5$

  und $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = 0,\!01$

  Das heißt, du verschiebst das Komma um die entsprechenden Stellen nach links.

  Multiplizierst du eine einstelligen Zahl mit einer Zehnerpotenz, so musst du nur die vorderste Stelle der Zehnerpotenz ersetzen:

  $7\cdot 10^4 = 7 \cdot 10\,000 = 70\,000$

  Lösung

  Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden beiden Potenzgesetze:

  $x^{m} \cdot x^n = x^{m+n}$ und $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  Ist die Basis $x=10$, so kannst du die Potenz direkt ausrechnen, denn jede Zehnerpotenz hat eine $1$ an der vordersten Stelle und dahninter genau so viele Nullen, wie der Exponent angibt.

  Für negative Potenzen gilt: $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$. Als Dezimalbruch enthält $10^{-n}$ ebenfalls $n$ Nullen, wenn du die eine $0$ vor dem Komma mitzählst:

  $ \begin{array}{rcl} 10^{-1} &=& \frac{1}{10^1} &=& 0,\!1 & \\ 10^{-2} &=& \frac{1}{10^2} &=& 0,\!01 & \\ 10^{-3} &=& \frac{1}{10^3} &=& 0,\!001 & \text{usw.} \end{array} $

  Folgende Formeln sind richtig:

  • $10^3 = 1\,000$: Die Anzahl der Nullen entspricht genau dem Exponenten.
  • $10^5 = 100\,000$: Ebenfalls entspricht die Anzahl der Nullen dem Exponenten.
  • $4 \cdot 10^9 = 4\,000\,000\,000$: Bei der Multiplikation einer einstelligen Zahl mit einer Zehnerpotenz ersetzt du die vorderste Ziffer der Zehnerpotenz durch die einstellige Zahl.
  • $2 \cdot 10^{-2} = 0,\!02$: Die Zehnerpotenz $10^{-2}$ ist dasselbe wie $\frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}= 0,\!01$. Daher ist das Zweifache davon $2 \cdot 10^{-2} = 0,\!02$.

  Folgende Formeln sind falsch:

  • $2 \cdot 10^4 \neq 200\,000$: Die Zehnerpotenz $10^4$ enthält nur vier Nullen, daher ist $2 \cdot 10^4 = 20\,000$.
  • $10^{-1} = 0,\!5$: Die Zehnerpotenz $10^{-1}$ ist der Kehrwert der Zehnerpotenz $10^1$, es ist also $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,\!1$.
  • $8 \cdot 10^3 = 800$: Die Zehnerpotenz $10^3$ enthält drei Nullen, daher ist $8 \cdot 10^3 = 8\,000$.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Der Schätzwert zu $987\,654$ ist nicht $900\,000$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Ist eine Zahl größer als ihr Schätzwert, so hat sie genauso viele Ziffern wie der Schätzwert.“ Der Schätzwert hat mindestens so viele Ziffern wie die abzuschätzende Zahl. Ist die erste Ziffer des exakten Wertes $9$, so kann der Schätzwert auch eine Ziffer mehr enthalten als der exakte Wert. In diesem Fall ist der Schätzwert größer als die abzuschätzende Zahl.

  • „Die Differenz zwischen einem tatsächlichen Wert und dem Schätzwert hat mindestens eine Ziffer weniger als der Schätzwert.“ Die erste Ziffer des Schätzwertes stimmt mit der ersten Ziffer des abzuschätzenden Wertes überein oder ist die Nachfolgerzahl dieser Ziffer. Daher ist die Differenz des Schätzwertes zum abzuschätzenden Wert eine Zahl mit mindestens einer Stelle weniger als der Schätzwert.

  • „Stimmen der Schätzwert und der tatsächliche Wert in der vordersten Ziffer nicht überein, so ist der Schätzwert größer als der tatsächliche Wert.“ Ist die erste Ziffer der abzuschätzenden Zahl nicht $9$, so ersetzt du beim Abschätzen diese Ziffer allenfalls durch die nächstgrößere Ziffer. Dadurch wird der Schätzwert größer als die abzuschätzende Zahl. Dasselbe gilt, wenn du die vorderste Ziffer $9$ beim Abschätzen durch $10$ ersetzt, also durch $0$ an der Stelle der Ziffer $9$ und $1$ an der nächstgrößeren Stelle. Ist dagegen der Schätzwert kleiner als die abzuschätzende Zahl, so stimmen die vorderste Ziffer der abzuschätzenden Zahl und die des Schätzwertes überein.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Jede Zahl hat genauso viele Ziffern wie ihr Schätzwert.“ Die Zahl $98\,765$ schätzt du durch $100\,000$ ab.

  • „Zu jeder Zahl gibt es genau eine nächste Zahl, bei der nur die vorderste Ziffer von $0$ verschieden ist.“ Ist die zweite Ziffer von vorne eine $5$ und alle weiteren Ziffern $0$, so liegt die Zahl genau in der Mitte zwischen den beiden möglichen Schätzwerten. So hat z. B. $150$ denselben Abstand zu $100$ wie zu $200$; analog hat auch $65\,000$ denselben Abstand zu $60\,000$ wie zu $70\,000$.

  • „Der Quotient zweier Schätzwerte ist mindestens so groß wie der Quotient der tatsächlichen Werte.“ Der Quotient kann auch kleiner sein als der Quotient der tatsächlichen Werte. Z. B. ist $148\,000 : 37\,000 = 4$. Schätzt du die Zahlen zuerst ab, so erhältst du $148\,000 \approx 100\,000$ und $37\,000 \approx 40\,000$. Der Quotient ist $100\,000 : 40\,000 = 2,5$.

  • „Ist der Quotient der Schätzwerte gleich dem Quotienten der tatsächlichen Werte, so stimmen die tatsächlichen Werte mit den Schätzwerten überein.“ Hier ist ein Gegenbeispiel: Für die exakten Werte ist $123\,450:12\,345 = 10$. Schätzt du die Werte ab, so erhältst du die Schätzwerte $123\,450 \approx 100\,000$ und $12\,345 \approx 10\,000$. Der Quotient der Schätzwerte ist $100\,000 : 10\,000 = 10$.