Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum Übung

• Beschreibe, in welchen Fällen es sich um exponentielles Wachstum handelt.

  Tipps

  Ein Baum wird in den Garten gepflanzt. Zu diesem Zeitpunkt schaut er um $10 \text{ cm}$ aus dem Boden. Pro Jahr wächst er um ca. $25 \text{ cm}$. Das Wachstum des Baumes kann durch ein lineares Wachstum beschrieben werden:

  $f(x)=25 \cdot x +10$

  Bei einem exponentiellen Wachstum handelt es sich um eine konstante prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit.

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind richtig:

  • Legt ein Biologe eine Bakterienkolonie an, in der sich die Bakterien ungehindert teilen dürfen, handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.

  Es handelt sich also um eine konstante prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit.

  • Der radioaktive Zerfall kann mit einem exponentiellen Wachstum beschrieben werden, wenn die Basis $0<a<1$ gewählt wird.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Bei der Weltbevölkerung handelt es sich um eine lineare Wachstumsfunktion.

  Die Weltbevölkerung steigt nicht pro Zeiteinheit um denselben Summanden an, sondern wächst exponentiell mit der Zeit. Es handelt sich also um eine konstante prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit. Das heißt bei der Weltbevölkerung handelt es sich um eine exponentielle Wachstumsfunktion.

  • Der radioaktive Zerfall kann mit einem exponentiellen Wachstum beschrieben werden, wenn die Basis $a<0$ gewählt wird.

  Die Basis $a$ darf nicht negativ sein, da sonst kein stetiges Wachstum zu verzeichnen ist. Die Funktion würde bei geraden Exponenten dann immer einen positiven Wert und bei ungeraden einen negativen Wert liefern. Betrachte: $f(x)=c\cdot (-2)^x$:

  $f(1)=c\cdot (-2)^1=-2$ $f(2)=c\cdot (-2)^2=4$ $f(3)=c\cdot (-2)^3=-8$ $f(4)=c\cdot (-2)^4=16$ usw.

  Für den radioaktiven Zerfall muss $0<a<1$ gelten.

  • Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Am Anfang sind $100$ Liter Wasser im Becken. Pro Minute laufen nun $20$ Liter Wasser in das Becken. Bei der Wasserzunahme handelt es sich um exponentielles Wachstum.

  Da die Wassermenge pro Zeiteinheit (hier eine Minute) immer um einen konstanten Summanden ($20$ Liter) zunimmt, handelt es sich nicht um exponentielles, sondern lineares Wachstum. Das könntest du durch folgendes Beispiel angeben: $f(x)=20 \cdot x +100$.

• Stelle mit Hilfe der Wertepaare die rekursive und explizite exponentielle Funktion auf.

  Tipps

  Eine Exponentialfunktion können wir allgemein beschreiben durch:

  $f(x)=c\cdot a^x$, wobei $c$ der Anfangswert und $a$ die Basis ist.

  Die rekursive Funktionsgleichung zeichnet sich dadurch aus, dass man vorherige Funktionswerte kennen muss. Das heißt, dass du zum Beispiel $f(n)$ anhand von $f(n-1)$ berechnest.

  Bei der expliziten Funktionsgleichung kannst du das Ergebnis direkt berechnen.

  Lösung

  Der altindische Mathelehrer Budhiram gilt als Erfinder des Schachspiels. Als er es seinem König vorstellte, war dieser so begeistert, dass sich Budhiram eine beliebige Belohnung aussuchen durfte.

  Er wollte nur etwas Bescheidenes: $1$ Reiskorn auf dem ersten Schachfeld, $2$ auf dem zweiten, $4$ auf dem dritten, $8$ auf dem vierten und so weiter bis das ganze Schachbrett fertig ist. Also auf jedem Feld doppelt so viele Reiskörner wie auf dem vorherigen.

  Erst war der König beleidigt, da sich Budhiram auch Gold oder Diamanten hätte wünschen können, aber später stellte er fest, dass alle Reisspeicher des Landes nicht ausreichten. Rechnen wir mal nach. Dazu beschreibe $f(n)$ die Reiskörner auf dem $n$ -ten Schachfeld.

  • $f(1)=1$
  • $f(2)=2\cdot 1= 2$
  • $f(3)=2\cdot 2= 4$
  • $f(4)=2\cdot 4= 8$
  • $f(5)=2\cdot 8= 16$

  Die rekursive Funktionsgleichung lautet:

  • $f(n+1)=2\cdot f(n)$

  Denn wir multiplizieren ja für das neue Feld immer die Anzahl der Reiskörner auf dem vorherigen Feld mit $2$.

  Anhand der rekursiven Funktionsgleichung können wir nun auch die explizite Funktionsgleichung bilden:

  • $f(n)=2^{n-1}$

  Alleine für das $64.$ Feld müsste Budhiram also über $9$ Trillionen Reiskörner bekommen:

  $f(64)=2^{64-1}= 9.223.372.036.854.775.808$

  Addiert man alle Felder, übersteigt es bei weitem die Menge an Reis, die in $800$ Jahren weltweit produziert wird.

  Dabei handelt es sich also um eine Exponentialfunktion und somit reden wir von einem exponentiellen Wachstum, da eine konstante prozentuale Zunahme von $100\%$ pro Feldeinheit vorliegt.

• Entscheide, ob es sich um exponentiellen Zuwachs oder Zerfall handelt.

  Tipps

  Bei einer Exponentialfunktion muss für die Basis $a$ gelten: $0<a$ und $a \neq 1$.

  Bei $f(x)=4x^2$ liegt quadratisches Wachstum vor.

  Bei $f(x)=5\cdot (0,1)^x$ handelt es sich um exponentiellen Zerfall, da die Basis kleiner als $1$ ist.

  Lösung

  Du kannst die Funktionsterme wie folgt zuordnen:

  Exponentieller Zuwachs

  Hierbei handelt es sich um eine Exponentialfunktion mit der Gleichung: $f(x)=c\cdot a^x$, wobei $c$ der Anfangswert ist und $a$ die Basis, die für einen Zuwachs größer als $1$ sein muss.

  • $f(x)=2^{x-1}$, da wir es auch schreiben können als $2^{x-1}=2^x\cdot 2^{-1}= 2^x\cdot \frac12=\frac12 \cdot 2^x$.
  • $f(x)=1,002\cdot (1,93)^x$
  • $f(x)=c \cdot (1,001)^x$

  Exponentieller Zerfall

  Hierbei handelt es sich um eine Exponentialfunktion mit der Gleichung: $f(x)=c\cdot a^x$, wobei $c$ der Anfangswert ist und $a$ die Basis, die für einen Zerfall kleiner als $1$ sein muss.

  • $f(x)=25\cdot (0,95)^x$
  • $f(x)=37,2\cdot (0,37)^x$
  • $f(x)=25\cdot (0,001)^x$

  Keine Exponentialfunktion

  • $f(x)=25\cdot (-0,95)^x$: Bei einer Exponentialfunktion darf die Basis $a$ niemals negativ sein.
  • $f(x)=x^2+3$: Hier liegt quadratisches Wachstum vor.
  • $f(x)=c \cdot (1,0)^x$: Bei einer Exponentialfunktion muss die Basis $a$ immer ungleich $1$ sein, da $1$ hoch eine beliebige Zahl immer $1$ ist. Dieser Funktionsterm ist damit $c \cdot (1,0)^x=c \cdot 1 = c$ konstant.

• Bestimme die Exponentialfunktion für das Wachstum oder den Zerfall.

  Tipps

  So kannst du vorgehen:

  Am Anfang leben $10$ Kaninchen im Park. Sie vermehren sich pro Jahr um $50\%$.

  • Der Anfangswert beträgt hier $c=10$. Für die Basis der Exponentialfunktion betrachten wir die $50\%$ als Dezimalbruch $50\%=0,5$. Da die Kaninchenpopulation wächst, müssen wir $0,5$ zu einem Ganzen addieren:

  • $a=1+0,5=1,5$

  Steigt deine Menge, muss die Basis $a$ größer als $1$ sein, sinkt sie, muss $0<a<1$ gelten.

  Lösung

  Eine Exponentialfunktion kann allgemein durch folgende Gleichung beschrieben werden:

  $f(x)=c \cdot a^x$, wobei $c$ der Anfangswert und $a$ die Basis der Exponentialfunktion ist.

  $1.$ Am Anfang sind $100$ Bakterien vorhanden. Die Bakterienkultur wächst in $1$ Stunde um $75\%$. Wie verläuft das Wachstum?

  • Der Anfangswert beträgt hier $c=100$. Für die Basis betrachten wir die $75\%$ als Dezimalbruch $75\%=0,75$. Da die Bakterienkultur wächst, müssen wir dieses zu einem Ganzen, also zu $1$ addieren, um die Basis $a$ zu erhalten:

  $a=1+0,75=1,75$

  Damit ergibt sich als Exponentialfunktion:

  $f(x)=100\cdot (1,75)^x$

  $2.$ Zu Beginn lebten $75$ Aliens auf dem Planeten Pandeor. Pro Jahr wächst die Bevölkerung um $25\%$. Wie verläuft das Wachstum?

  • Der Anfangswert beträgt hier $c=75$. Für die Basis betrachten wir die $25\%$ als Dezimalbruch $25\%=0,25$. Da die Bevölkerung wächst, müssen wir dieses wieder zu einem Ganzen addieren, um die Basis $a$ zu erhalten:

  $a=1+0,25=1,25$

  Damit ergibt sich als Exponentialfunktion:

  $f(x)=75\cdot (1,25)^x$

  $3.$ Ein radioaktiver Stoff zerfällt so, dass die ursprüngliche Masse von $75\text{ g}$ jährlich um $25\%$ abnimmt. Wie verläuft das Wachstum?

  • Der Anfangswert beträgt hier $c=75$. Für die Basis betrachten wir die $25\%$ wieder als Dezimalbruch $25\%=0,25$. Da die Masse geringer wird, müssen wir diesen Wert diesmal von einem Ganzen abziehen, um die Basis $a$ zu erhalten:

  $a=1-0,25=0,75$

  Damit ergibt sich als Exponentialfunktion:

  $f(x)=75\cdot (0,75)^x$

  $4.$ Der Luftdruck der Erdatmosphäre nimmt um ungefähr $12 \%$ je $1 \text{ km}$ Höhenunterschied ab. Auf Höhe des Meeresspiegels beträgt er ungefähr $1,013\text{ bar}$. Wie entwickelt sich der Luftdruck mit zunehmender Höhe?

  • Der Anfangswert beträgt hier $c=1,013$. Für die Basis betrachten wir die $12\%$ als Dezimalbruch $12\%=0,12$ und ziehen diesen für die Basis $a$ von einem Ganzen ab, da es sich um eine Abnahme handelt:

  $a=1-0,12=0,88$

  Damit ergibt sich als Exponentialfunktion:

  $f(x)=1,013\cdot (0,88)^x$

• Bestimme, bei welchen Graphen und Funktionsgleichungen es sich um lineares, quadratisches oder exponentielles Wachstum handelt.

  Tipps

  Bei einem linearen Wachstum nimmt der Wert pro Zeiteinheit um denselben Summanden zu.

  Zeichnen wir den Graphen zu einem quadratischen Wachstum, erhalten wir einen Teil einer Parabel.

  Allgemein können wir die Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum als $f(x)=c\cdot a^x$ mit $0<a$ als Wachstumsfaktor und $c$ als Anfangswert schreiben.

  Lösung

  Wir vergleichen drei Wachstumsarten:

  1. Bei einem linearen Wachstum nimmt der Wert pro Zeiteinheit um denselben Summanden zu. Zeichnen wir den Graphen, erhalten wir eine Gerade mit konstanter Steigung. Allgemein können wir die Funktionsgleichung schreiben als $f(x)=mx+b$ mit $m$ als Steigung und $b$ als $y$-Achsenabschnitt. Für unseren Fall beschreibt $g(x)=50\cdot x$ eine Gerade durch den Ursprung $O(0,0)$, also ein lineares Wachstum.
  2. Bei einem quadratischen Wachstum nimmt der Wert mit dem Quadrat zu. Das heißt, dass wir hier die zweite Potenz des Arguments (meist mit $x$ bezeichnet) nehmen. Die Zunahme der Zunahme ist konstant. Zeichnen wir den Graphen, erhalten wir einen Teil einer Parabel. Allgemein können wir die Funktionsgleichung schreiben als $f(x)=a(x-d)^2+e$ mit $a$ als Streckungsfaktor und $d$ als $x$- und $e$ als $y$-Koordinate des Scheitelpunkts. Für unseren Fall beschreibt $h(x)=5\cdot x^2$ eine Parabel durch den Ursprung $O(0,0)$, also ein quadratisches Wachstum.
  3. Man spricht von exponentiellem Wachstum, wenn die prozentuale Zu- oder Abnahme pro Zeiteinheit und damit der Wachstumsfaktor konstant ist. Zeichnen wir den Graphen, erhalten wir einen Teil einer sogenannten $e$-Funktion. Allgemein können wir die Funktionsgleichung schreiben als $f(x)=c\cdot a^x$ mit $0<a$ als Basis und $c$ als Anfangswert. Für unseren Fall beschreibt $f(x)=2^x$ ein exponentielles Wachstum.

• Ermittle die Basis der Exponentialfunktion.

  Tipps

  Haben wir eine Formel für exponentielles Wachstum von Bakterien gegeben:

  • $f(x)=0,5 \cdot 3^x$

  Dann beträgt die Bakterienanzahl nach $7$ Stunden:

  • $f(7)=0,5 \cdot 3^7= 1093,5$

  Lösung

  Hier wollen wir so vorgehen:

  1. Die gegebenen Variablen einsetzen.
  2. Die Gleichung mit den eingesetzten Variablen nach der Basis $a$ umstellen.
  3. Mit Hilfe der Basis die Bakterienanzahl nach $2$ Stunden ausrechnen.

  Milchsäurebakterien haben eine Verdoppelungszeit von ca. $15$ Minuten. Wenn ich am Anfang eine Kultur mit $100$ Bakterien habe, wie viele Bakterien sind dann nach $2$ Stunden vorhanden?

  Wir nutzen die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum mit $x$ für die Zeit in Stunden:

  $f(x)=c \cdot a^x$

  Wir wissen, dass der Anfangswert $c=100$ ist, also setzen wir diesen ein:

  $f(x)=100 \cdot a^x$

  Außerdem verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien nach $15$ Minuten, also $\frac 14$ Stunde. Habe ich also am Anfang $100$ Bakterien, habe ich nach einer Viertelstunde zum Zeitpunkt $x=\frac14$ schon $200$ Bakterien.

  Damit gilt:

  $f(\frac14)=100 \cdot a^{\frac14}=100 \cdot 2=200$

  Dies können wir nach $a$ umstellen, indem wir auf beiden Seiten durch $100$ teilen:

  $a^{\frac14}$$=2$

  Nehmen wir nun die vierte Potenz, gilt:

  $(a^{\frac14})^4=a^{\frac{1\cdot 4}4}=a^1=a$

  Somit erhalten wir:

  $a=2^4=16$

  Unser exponentielles Wachstum kann also mit $c=100$ und $a=16$ beschrieben werden durch:

  $f(x)=c \cdot a^x=100 \cdot 16^x$

  Wir setzen nun die $2$ Stunden ein und erhalten:

  • $f(2)=100 \cdot 16^2= 100 \cdot 256= 25600$