Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen

Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen Übung

• Beschreibe, wie Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion bestimmt werden.

  Tipps

  Bestimme zuerst die Nullstellen der Zählerfunktion $p(x)$.

  Schreibe zuletzt alle Nullstellen der Zählerfunktion $p(x)$ auf, die keine Nullstellen der Nennerfunktion $q(x)$ sind. Nur diese sind Nullstellen von $f$.

  Notiere die Lösungen einer Gleichung direkt, nachdem du die Gleichung gelöst hast.

  Lösung

  Eine gebrochenrationale Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ nimmt an einer Stelle $x$ genau dann den Wert $0$ an, wenn der Zähler den Wert $0$ annimmt. Um mögliche Nullstellen von $f$ zu finden, löst du die also die Gleichung $p(x)=0$.
  Die Nullstellen des Nenners $q(x)=$ sind Definitionslücken der Funktion $f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$. Nur diejenigen Nullstellen der Zählerfunktion $p$, die keine Definitionslücken von $f$ sind, sind auch Nullstellen der Funktion $f$.
  Um Definitionslücken auszuschließen, bestimmst du also noch die Nullstellen der Nennerfunktion $q$. Als Nullstellen von $f$ schreibst du alle Nullstellen der Zählerfunktion $p$ auf, die keine Nullstellen der Nennerfunktion $q$ sind.

  
  

  Bei der konkreten Funktion $f(x)= \dfrac{x^2+4x-5}{x-2}$ gehst du also in der folgenden Reihenfolge vor:

  1. Setze den Funktionsterm $p(x) = x^2+4x-5$ gleich null.

  2. Löse die Gleichung $x^2+4x-5=0$ mit der $pq$-Formel.

  3. Notiere die Lösungen als potenzielle Nullstellen.

  4. Setze den Funktionsterm $q(x)=x-2$ gleich null.

  5. Löse die Gleichung $x-2=0$.

  6. Notiere die Lösungen als Definitionslücken der Funktion $f$.

  7. Schreibe alle Lösungen der Gleichung $p(x)=0$ auf, die keine Definitionslücken von $f$ sind. Dies sind Nullstellen von $f$.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Setze $x$ in die Funktion $f$ oder $g$ ein: Nur wenn $0$ herauskommt, kann dieses $x$ eine Nullstelle der Funktion sein.

  Ist $x$ eine Definitionslücke von $f$, so gehört es nicht zu den Nullstellen.

  Um die möglichen Nullstellen von ${f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}}$ zu finden, musst du die Gleichung $p(x)=0$ lösen.
  Um die Definitionslücken zu finden, löst du die Gleichung $q(x)=0$.

  Lösung

  Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind Nullstellen der Zählerfunktion $p(x)$. Denn der Bruch $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ ist genau dann null, wenn der Zähler null ist. Um die möglichen Nullstellen der gebrochenrationalen Gleichung zu finden, musst du also die Gleichung $p(x)=0$ lösen.

  Hat die Nennerfunktion $q(x)$ eine Nullstelle, so ist der Bruch $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ nicht definiert. Die Nullstellen der Nennerfunktion sind daher Definitionslücken der Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$. Um die Definitionslücken zu finden, musst du die Gleichung $q(x)=0$ lösen.

  Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind dann alle diejenigen Nullstellen von $p(x)$, die nicht zugleich Nullstellen von $q(x)$ sind.

  
  

  Die Nullstellen der Zählerfunktion von $f(x)=\dfrac{x^2+4x-5}{x-2}$ sind $x_1=1$ und $x_2=-5$. Die einzige Nullstelle der Nennerfunktion, also die Definitionslücken von $f$, ist $x=2$. Daher sind $x_1=1$ und $x_2=-5$ die Nullstellen von $f$.

  Bei der Funktion $g(x)=\dfrac{x^2-2x-15}{(x-1)\cdot(x^2-9)}$ kannst du die Nullstellen des Zählers mit der $pq$-Formel bestimmen und erhältst $x_1=5$ und $x_2=-3$.

  Als Nullstellen des Nenners erhältst du $x_1=1$ und $x_2=3$ und $x_3=-3$.

  Die Stelle $x=-3$ ist also zwar eine Nullstelle des Zählers, gehört aber nicht zum Definitionsbereich der Funktion $f$, sondern ist eine Definitionslücke von $f$. Die einzige Nullstelle von $f$ ist demnach $x=5$.

  
  

  Du erhältst also folgende korrekt vervollständigten Sätze:

  • $x=2$ ist eine Definitionslücke der Funktion $f$.
  • $x=-5$ ist eine Nullstelle der Funktion $f$.
  • $x=-3$ ist eine Nullstelle von $p(x)=x^2-2x-15$, aber keine Nullstelle von $g$.
  • $x=5$ ist die einzige Nullstelle der Funktion $g$.

• Bestimme die Nullstellen der beiden gebrochenrationalen Funktionen.

  Tipps

  Setze den Zähler gleich null, um mögliche Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion zu finden.

  Setze den Nenner gleich null, um die Definitionslücken zu ermitteln.

  Die einzige Nullstelle der Funktion ${h(x)=\dfrac{(x-2)\cdot(x+1)}{(x^2-1)}}$ ist $x=2$, denn $x=-1$ ist eine Definitionslücke.

  Lösung

  Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind diejenigen Nullstellen des Zählers $p(x)$, die keine Definitionslücken von $f$ sind. Die Definitionslücken der Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind die Nullstellen des Nenners $q(x)$.

  
  

  Um die Nullstellen und Definitionslücken der Funktion $f(x)=\dfrac{x^2+2x}{x+3}$ zu bestimmen, berechnen wir also die Nullstellen des Zählers $p(x) = x^2+2x$ und des Nenners $q(x) = x+3$.
  Setzen wir den Zähler gleich null, erhalten wir die Gleichung $x^2+2x=0$.
  Mit der $pq$-Formel oder durch den Satz vom Nullprodukt ermitteln wir die Lösungen $x_1=0$ und $x_2=-2$.
  Setzen wir den Nenner gleich null, ergibt sich die lineare Gleichung $x+3=0$ mit der Lösung $x=-3$.
  Da die Definitionslücke $x=-3$ keine Nullstelle des Zählers ist, sind alle Nullstellen des Zählers auch Nullstellen der Funktion $f$.

  
  

  Ganz analog verfahren wir mit der Funktion $g(x)=\dfrac{x^2-1}{(x+1)\cdot (x-2)}$: Setzen wir den Zähler gleich null, ermitteln wir mit der $pq$-Formel die Lösungen $x_1=1$ und $x_2=-1$.
  Der Nenner liegt bereits in faktorisierter Form vor und wir lesen die Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=2$ anhand der Linearfaktoren ab.
  Da $-1$ eine Definitionslücke der Funktion $f$ ist, gehört sie nicht zu deren Nullstellen, obwohl der Zähler von $f$ bei $x=-1$ den Wert $0$ annimmt.

  
  

  Wir erhalten also die folgenden Zuordnungen:

  1. Funktion: $\boldsymbol{f(x)= f(x)=\dfrac{x^2+2x}{x+3}}$

  • Nullstellen: $x=0$ und $x=-2$
  • Definitionslücke: $x=-3$

  2. Funktion: $\boldsymbol{g(x)=\dfrac{x^2-1}{(x+1)\cdot (x-2)}}$

  • Nullstelle: $x=1$
  • Definitionslücken: $x=-1$ und $x=2$

• Bestimme die Nullstellen und Definitionslücken.

  Tipps

  Wende die $pq$-Formel auf die erste Klammer im Zähler von $f$ an.

  Nullstellen der Nennerfunktion zählen nicht zu den Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion.

  Die Funktion $\dfrac{(x+2)\cdot (x-3)}{(x-2) \cdot (x-3)}$ hat nur die Nullstelle $x=-2$.

  Lösung

  Um die potenziellen Nullstellen zu finden, bestimmst du die Nullstellen der Zählerfunktion und der Nennerfunktion. Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind alle Nullstellen von $p$, die keine Nullstellen von $q$ sind.

  
  

  Funktion $f$:

  • Die Zählerfunktion $p(x)=(x^2-7x+12)\cdot (x+2)$ hat die Nullstellen $x=3$, $x=4$ und $x=-2$. Die beiden ersten Nullstellen erhältst du aus der $pq$-Formel, die auf die erste Klammer angewandt wurde.
  • Die Nennerfunktion $q(x)=x^2-5x+6$ hat die Nullstellen $x=2$ und $x=3$.
  • Da $x=3$ eine Definitionslücke von $f$ ist, sind die Nullstellen von $f$ nur $x=4$ und $x=-2$.

  Funktion $g$:

  • Die Zählerfunktion $p(x)=x^2-4x-5$ hat die Nullstellen $x=-1$ und $x=5$.
  • Die Nennerfunktion $q(x)=x^2-1$ hat die Nullstellen $x=1$ und $x=-1$.
  • Die einzige Nullstelle von $f$ ist $x=5$, denn $x=-1$ ist eine Definitionslücke.

• Gib die Funktionsgraphen an, die Nullstellen besitzen.

  Tipps

  Die Nullstellen einer Funktion entsprechen den Punkten ${(x|y)=(x|f(x))}$, bei denen $y=0$ ist.

  Die Gleichung $y=0$ charakterisiert die $x$-Achse.

  Dieser Funktionsgraph gehört zu einer Funktion mit den Nullstellen $x=-1$ und $x=3$.

  Lösung

  Die Nullstellen einer Funktion $f$ entsprechen den Punkten $(x|y)=(x|f(x))$ des Funktionsgraphen, für die $y=f(x)=0$ gilt. Diese Punkte sind genau die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der $x$-Achse: $y=0$. Die Nullstellen der Funktion $f$ sind also die Schnittstellen mit der $x$-Achse.

  Eine Funktion $f$ hat Nullstellen genau dann, wenn der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet:
  In dieser Aufgabe haben drei Funktionsgraphen solche Schnittpunkte mit der $x$-Achse. Die anderen beiden Funktionsgraphen schneiden die $x$-Achse nicht, weshalb die zugehörigen Funktionen keine Nullstellen haben.

• Erschließe die Funkionsterme.

  Tipps

  Bestimme die Nullstellen der Funktionen und vergleiche mit den Funktionsgraphen.

  Definitionslücken einer Funktion können zu Polstellen im Funktionsgraphen führen.

  Lösung

  Die Zuordnung der Funktionsterme ergibt sich aus den Nullstellen und gegebenenfalls den Definitionslücken:

  Funktionsterme zu den Funktionsgraphen:

  • $f(x)=\dfrac{x^3-7x^2+12x}{x-3}$ hat nur die Nullstellen $x=0$ und $x=4$, denn die Nullstelle der Zählerfunktion $x=3$ ist auch eine Nullstelle der Nennerfunktion und somit eine Definitionslücke der Funktion $f$.
  • $f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x-5}$ hat die Nullstellen $x=-2$ und $x=3$. Die Definitionslücke $x=5$ ist eine Polstelle, ist aber in dem Ausschnitt des Funktionsgraphen nicht zu sehen.
  • $f(x)=\dfrac{x^4-3x^3-4x^2}{x-4}$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x=0$ und eine einfache Nullstelle bei $x=-1$. Die Nullstelle der Zählerfunktion $x=4$ ist hier auch gleichzeitig eine Nullstelle der Nennerfunktion und somit liegt eine Definitionslücke vor.
  • $f(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{x^2}$ hat eine Polstelle bei der Definitionslücke $x=0$ und hat die Nullstellen $x=-3$ und $x=1$.