Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b)

Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b) Übung

• Stelle die gesuchte lineare Funktion auf.

  Tipps

  Die Normalform einer linearen Funktion lautet $y=mx+b$.

  Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Der Marsrover verbraucht $\mathbf{2}$ Energieeinheiten pro Kilometer. Es handelt sich um eine Energieabnahme, also eine fallende Gerade.

  Bevor der Marsrover losfährt, hat er genau $\mathbf{20}$ Energieeinheiten. Der Punkt $\mathbf{(0\ \vert\ 20)}$ liegt also auf der Geraden.

  Lösung

  Gesucht ist die Normalform einer linearen Funktion. Diese lautet allgemein $y=mx+b$.

  Dabei ist $\mathbf{m}$ die Steigung und $\mathbf{b}$ der $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt.

  Steigung

  Die Steigung $m$ ist für eine steigende Gerade positiv und für eine fallende Gerade negativ.

  Da der Marsrover pro Kilometer $\mathbf{2}$ Energieeinheiten verbraucht, handelt es sich um eine Energieabnahme, also eine fallende Gerade. Die gesuchte lineare Funktion hat demnach eine negative Steigung, nämlich $m=-2$.

  $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt

  Außerdem ist bekannt, dass der Marsrover vor dem Losfahren $\mathbf{20}$ Energieeinheiten hat. Somit ist der Punkt $(0\ \vert\ 20)$ gegeben. Die $y$-Koordinate dieses Punktes ist der gesuchte $y$-Achsenabschnitt $b$.

  Nun können wir die lineare Funktion in Normalform aufstellen. Diese lautet:

  $y=-2x+20$

  Um zu bestimmen, wie weit der Rover mit seiner übrigen Energie noch kommt, setzen wir für $y$ den Wert 0$ ein. Genau dann hat der Marsrover nämlich keine Energie mehr übrig. Wir erhalten:

  $ \begin{array}{llll} 0 & = & -2x+20 & \vert +2x\\ 2x & = & 20 & \vert :(2) \\ x &=& 10 & \end{array} $

  Der Marsrover kann mit seinen $20$ Energieeinheiten noch $10\ \text{km}$ zurücklegen und besitzt demzufolge für die geplante Mission genügend Energie.

• Bestimme die gesuchte Geradengleichung.

  Tipps

  Wenn zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kannst du die Steigung wie folgt berechnen:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Wenn ein Punkt $P(x\ \vert\ y)$ und die Steigung $m$ einer Geraden bekannt sind, dann kannst du den $y$-Achsenabschnitt berechnen. Schaue dir das folgende Beispiel an:

  Mit $m=2$ und $P(1\ \vert\ 0)$ erhalten wir diese Berechnung für den $y$-Achsenabschnitt:

  $ \begin{array}{llll} 0 & = & 2\cdot 1+b & \\ 0 & = & 2+b & \vert -2 \\ -2 & = & b \end{array} $

  Somit lautet die Geradengleichung in Normalform:

  $y=2x-2$

  Lösung

  Zunächst soll die Steigung zwischen den Punkten $S_1$ und $F$ sowie den Punkten $S_2$ und $F$ berechnet werden.

  Da je zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kann die Steigung wie folgt bestimmt werden:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Angewendet auf die Punkte $S_1(1\ \vert\ 0)$ und $F(7\ \vert\ 6)$ erhalten wir:

  $m_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6-0}{7-1}=\frac{6}{6}=1$

  Angewendet auf die Punkte $S_2(5\ \vert\ 0)$ und $F(7\ \vert\ 6)$ erhalten wir:

  $m_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6-0}{7-5}=\frac{6}{2}=3$

  Da der Marsrover lediglich eine maximale Steigung von $2,5$ überwinden kann, eliminieren wir die Route von dem Punkt $S_2$ zu dem Punkt $F$, da $3>2,5$.

  Somit kennen wir die Steigung von $m=1$ für die gesuchte Geradengleichung in Normalform:

  $y=1\cdot x+b$

  Jetzt muss nur noch der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet werden. Dafür setzen wir einen der bekannten Punkte in unsere Gleichung ein. Mit dem Punkt $S_1(1\ \vert\ 0)$ ergibt sich:

  $ \begin{array}{llll} 0 & = & 1\cdot 1+b & \\ 0 & = & 1+b & \vert -1 \\ -1 & = & b \end{array} $

  Die vollständige Geradengleichung in Normalform lautet:

  ${y=1\cdot x-1}$

• Ermittle die Geradengleichung in Normalform für die abgebildeten Funktionsgraphen.

  Tipps

  Die Steigung $m$ ist wie folgt definiert:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

  Die Steigung des abgebildeten Funktionsgraphen lautet somit:

  $m=\frac{1}{2}=0,5$

  Der $y$-Achsenabschnitt entspricht der $y$-Koordinate des Schnittpunktes mit der $y$-Achse.

  Lösung

  Das Vorgehen soll anhand des erstens Beispiels verdeutlicht werden: Die Gerade verläuft durch den Ursprung $P(0\ \vert\ 0)$. Demnach ist der $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Für die Steigung erhalten wir Folgendes:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2}=0,5$

  Somit erhalten wir $y=0,5x$.

• Leite die gesuchte lineare Funktion her.

  Tipps

  Die Steigung $m$ beschreibt den Kerosinverbrauch in Litern pro Kilometer.

  Der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist das verbrauchte Kerosin in Litern bei $0$ Kilometern zurückgelegter Strecke.

  Lösung

  Diese Angabe ist uns bekannt:

  • Das Flugzeug verbraucht $700$ Liter Kerosin pro $100$ Kilometer.

  Außerdem wissen wir, dass das Flugzeug vor dem Abflug, also bei $0\ \text{km}$ zurückgelegter Strecke, noch keinen Kraftstoff verbraucht hat. Wir kennen also den Punkt $P(0\ \vert\ 0)$ und somit den $y$-Achsenabschnitt $b=0$.

  Die Steigung ergibt sich durch:

  $m=\frac{700}{100}=7$

  Daraus resultiert folgende Geradengleichung in Normalform:

  $y=7x+0$ bzw. $y=7x$

• Beschreibe die Normalform einer linearen Funktion.

  Tipps

  Die Normalform einer linearen Funktion lautet in Worten:

  $y$-Koordinate = Steigung $\cdot$ $x$-Koordinate + $y$-Achsenabschnitt

  Wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind, dann kann ihre Steigung wie folgt berechnet werden:

  ${m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$

  Lösung

  Die Normalform einer linearen Funktion lautet:

  $y=mx+b$

  Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Wenn zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, dann kannst du die Steigung wie folgt berechnen:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  In dem abgebildeten Beispiel mit $P(3\ \vert\ 2)$ und $Q(4\ \vert\ 5)$ resultiert diese Steigung:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-2}{4-3}=\frac{3}{1}=3$

• Bestimme die jeweilige Geradengleichung.

  Tipps

  Schaue dir das folgende Beispiel an:

  • gegeben: $m=2$ und $P(1\ \vert\ 2)$
  • gesucht: $b$

  Die Angaben eingesetzt in die Normalform der Geradengleichung liefern diese Berechnung:

  $ \begin{array}{llll} 2 & = & 2\cdot 1+b & \\ 2 & = & 2+b & \vert -2 \\ 0 & = & b \end{array} $

  Wenn zwei Punkte gegeben sind, dann kannst du die Steigung wie folgt bestimmen:

  • gegeben: $P(1\ \vert\ 2)$ und $Q(5\ \vert\ 10)$
  • gesucht: $m$

  Für die Steigung resultiert diese Berechnung:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2$

  Lösung

  Das Vorgehen soll anhand der ersten drei Beispiele verdeutlicht werden:

  Beispiel 1

  • gegeben: $m=2,5$ und $P(2\ \vert\ 7)$
  • gesucht: $b$

  Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

  $ \begin{array}{llll} 7 & = & 2,5\cdot 2+b & \\ 7 & = & 5+b & \vert -5 \\ 2 & = & b & \end{array} $

  Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2,5x+2$.

  Beispiel 2

  • gegeben: $b=7$ und $P(2\ \vert\ 19)$
  • gesucht: $m$

  Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

  $ \begin{array}{llll} 19 & = & m\cdot 2+7 & \vert -7 \\ 12 & = & m\cdot 2 & \vert :2 \\ 6 & = & m & \end{array} $

  Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=6x+7$.

  Beispiel 3

  • gegeben: $P(-2\ \vert\ 8)$ und $Q(0\ \vert\ 12)$
  • gesucht: $m$ und $b$

  Für die Steigung resultiert folgende Berechnung:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12-8}{0-(-2)}=\frac{4}{2}=2$

  Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden nun in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ wird ermittelt:

  $ \begin{array}{llll} 8 & = & 2\cdot (-2)+b & \\ 8 & = & -4+b & \vert +4 \\ 12 & = & b & \end{array} $

  Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2x+12$.