Lineare Funktionen zeichnen
Erfahrt, wie man lineare Funktionen grafisch darstellt. Von der Form einer linearen Funktion bis hin zum Gebrauch von Steigungsdreiecken – entdeckt verschiedene Methoden zur Erstellung von Graphen. Interessiert? Das und mehr findet ihr im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Lineare Funktionen zeichnen
Einführung: lineare Funktionen zeichnen
Bergwandern ist ein tolles Hobby. Aber nicht nur der Weg selbst ist dabei entscheidend, sondern auch wie steil es aufwärts oder abwärts geht. Bergwanderungen können also auch durch die Steigung des Wegs charakterisiert werden. In der Mathematik können wir einen konstanten Anstieg durch eine lineare Funktion darstellen. Aber wie zeichnet man eine lineare Funktion? Dieser Frage gehen wir im Folgenden nach.
Was ist eine lineare Funktion?
Eine lineare Funktion wird durch eine Funktionsgleichung der Form
$f(x)=m \cdot x+b$
beschrieben. Dabei steht $m$ für die Steigung und $b$ für den y-Achsenabschnitt. Der $y$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$.
Betrachten wir nun zwei Vorgehensweisen, um eine solche lineare Funktion als Gerade in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.
Lineare Funktionen durch zwei Punkte zeichnen
Um den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, können wir mithilfe der Funktionsgleichung zwei Punkte bestimmen. Wir betrachten die Funktion:
$f(x)=2x+3$
Um als Beispiel diese lineare Funktion zu zeichnen, ermitteln wir zwei Punkte. Dazu setzen wir zuerst für $x=0$ ein und erhalten:
$f(0)=2 \cdot 0+3 = 3$
Wir kennen somit den Punkt $(0|3)$, der auf dem Funktionsgraphen liegt.
Um einen zweiten Punkt zu erhalten, setzen wir für $x=5$ ein und erhalten
$f(5)= 2 \cdot 5+3=13$,
also den Punkt $(5|13)$.
Wir wissen, dass der Funktionsgraph durch diese beiden Punkte läuft. Um den Graphen zu zeichnen, tragen wir daher die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichnen eine Gerade durch die beiden Punkte.
Um eine lineare Funktion mithilfe zweier Punkte zu zeichnen, wählen wir also zwei beliebige $x$-Werte. Wir setzen diese Werte in die Funktionsgleichung ein und bestimmen so die zugehörigen $y$-Werte. Die somit erhaltenen Wertepaare tragen wir im Koordinatensystem als Punkte ein und zeichnen dann eine Gerade durch die beiden Punkte.
Lineare Funktionen zeichnen mithilfe eines Steigungsdreiecks
Alternativ können wir lineare Funktionen auch mithilfe des $y$-Achsenabschnitts $b$ und der Steigung $m$ zeichnen. Wir betrachten dazu die folgende Funktion:
$f(x)=\frac{1}{2}x+1$
Wir wollen diese lineare Funktion grafisch darstellen. Dazu tragen wir zuerst den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ein. Dieser lautet $(0|1)$, da gilt: $b = 1$. Anschließend stellen wir die Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks dar. Dazu gehen wir von dem markierten Punkt auf der $y$-Achse zwei Einheiten nach rechts und eine Einheit nach oben. Alternativ ist es auch möglich zwei Einheiten nach links und eine Einheit nach unten zu gehen. Damit erhalten wir folgende Zeichnung der linearen Funktion.
Wir wollen noch für eine weitere lineare Funktion den Graphen zeichnen:
$f(x)=-\frac{1}{2}x+6$
Wir tragen wieder zuerst den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ein: Hier ist $b= 6$, der Punkt liegt daher bei $(0|6)$. Beim Zeichnen des Steigungsdreiecks gehen wir zunächst $4$ Einheiten nach rechts. Um die weiteren Schritte zu ermitteln, multiplizieren wir die $4$ dann mit der Steigung:
$4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$
Da die Steigung negativ ist, gehen wir $2$ Einheiten nach unten.
Allgemein gilt: Ist die Steigung negativ, können wir entweder zuerst nach rechts und dann nach unten gehen oder zuerst nach links und dann nach oben.
Wir erhalten den folgenden Graphen:
Besondere lineare Funktionen
Bei linearen Funktionen kann die Funktionsgleichung eine spezielle Form haben:
$m=0$ und $b=0 \quad \Rightarrow \quad f(x) = 0$
Es handelt sich um eine Gerade, die auf der $x$-Achse verläuft.
$m=0$ und $b\neq 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) = b$
Es handelt sich um eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse verläuft.
$m \neq 0$ und $b=0 \quad \Rightarrow \quad f(x) = m \cdot x$
Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft, auch Ursprungsgerade genannt. Sie repräsentiert eine proportionale Funktion.
Zusammenfassung: lineare Funktionen zeichnen
In diesem Video zum Zeichnen von linearen Funktionen wird zunächst die Möglichkeit des Zeichnens einer linearen Funktion mithilfe zweier Punkte an einem Beispiel erläutert. Anschließend wird anhand verschiedener Funktionen gezeigt, wie man den Funktionsgraphen einer linearen Funktion mithilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen kann. Somit wird das Zeichnen linearer Funktionen einfach erklärt. Abschließend wird noch auf Spezialfälle linearer Funktionen eingegangen.
Weitere Aufgaben zum Zeichnen linearer Funktionen findest du hier bei sofatutor.
Transkript Lineare Funktionen zeichnen
Susi ist eine leidenschaftliche Bergsteigerin und hält ihre Wanderungen immer in einem Tagebuch fest. Da sie besonders an den Steigungen interessiert ist, kann sie ihre Wanderwege als Lineare Funktionen zeichnen. Wiederholen wir dazu doch einmal, was eine lineare Funktion überhaupt ist. Eine Funktion mit der Gleichung f von x gleich m mal x plus b heißt lineare Funktion. m ist dabei die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist dabei der Funktionswert an der Stelle x=0. Um den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, welcher immer eine Gerade ist, gibt es mehrere Möglichkeiten. Beginnen wir dazu mit dieser Gleichung: f von x ist gleich 2x plus 3. Es genügt, mithilfe dieser Funktionsgleichung die Koordinaten zweier Punkte zu bestimmen. Setzen wir für x 0 ein, so erhalten wir 3. Wir haben also als ersten Punkt 0 3. Um einen zweiten Punkt zu erhalten, setzen wir nun für x 5 ein. Wir erhalten 13 und daher als zweiten Punkt 5 13. Wir wissen also, dass der Graph zu der Funktionsgleichung durch diese beiden Punkte verläuft. Tragen wir sie im Koordinatensystem ein und zeichnen eine Gerade durch die beiden Punkte so sehen wir, wie der Graph der linearen Funktion aussieht. Susi möchte nun die Graphen ihrer Wanderrouten in ihr Tagebuch zeichnen. Die erste Funktion, die sie sich notiert hat, lautet f von x ist gleich einhalb x plus 1. Zum Einzeichnen des zugehörigen Graphens in ein Koordinatensystem, müssen wir nicht immer zwei Punkte berechnen. Man kann ihn auch mithilfe von einem Punkt und der Steigung zeichnen. Oft bietet sich der Schnittpunkt mit der y-Achse als Ausgangspunkt an, hier also 0 1. Die Steigung beträgt ein Halb. Zum Einzeichnen des Steigungsdreiecks gehen wir also 1 Einheit nach rechts und dann eine halbe Einheit nach oben. Einfacher ist es manchmal Vielfache zu verwenden, also 2 Einheiten nach rechts und eine Einheit nach oben zu gehen. Verbinden wir den Ausgangspunkt nun mit diesem Punkt, haben wir den zugehörigen Graphen der linearen Funktion gefunden. Susi musste sich bei dieser Steigung ganz schön anstrengen! Beachte bei der Einzeichnung des Steigungsdreiecks, dass dies auf zwei verschiedene Weisen möglich ist: Bei einer positiven Steigung kann man entweder zuerst nach rechts und dann nach oben gehen oder zuerst nach links und dann nach unten. Für den nächsten Abschnitt ihrer Reise hat Susi die folgende Funktionsgleichung aufgeschrieben: f von x ist gleich minus ein Halb x plus 6. Wir können von dem Punkt 0 6 ausgehen und mithilfe der Steigung ein Steigungsdreieck einzeichnen. Wir gehen diesmal 4 Einheiten nach rechts. Da wir ein minus vor der Steigung haben, gehen wir diesmal nach unten. Aber wie viele Einheiten eigentlich? Da wir 4 Einheiten nach rechts gegangen sind, rechnen wir 4 mal minus ein Halb. Wir gehen also 2 Einheiten. nach unten. Das ging aber ganz schön schnell bergab für Susi. Beachte bei der Einzeichnung des Steigungsdreiecks, dass dies auch hier auf zwei verschiedene Weisen möglich ist: Bei einer negativen Steigung kann man entweder zuerst nach rechts und dann nach unten gehen oder zuerst nach links und dann nach oben. Schauen wir uns doch noch ein paar spezielle Funktionsgleichungen an und betrachten zunächst eine Gleichung, bei der sowohl die Steigung als auch der y-Achsenabschnitt gleich 0 ist. Dann bleibt als Gleichung ja nur noch f von x ist gleich 0. Die zugehörige Gerade ist identisch zur x-Achse. Susi ist wohl ganz unten angekommen. Wäre es nicht schön, wenn man einfach und schnell nach oben auf einen Berg kommen könnte? Ist m gleich 0, aber b ungleich 0, also zum Beispiel 4, so verschiebt sich die Gerade. Es ergibt sich eine zur x-Achse parallele Gerade. Ist andersherum m ungleich 0 und b gleich null, ergibt sich eine Funktionsgleichung der Form f von x ist gleich mx. Dann liegen proportionale Funktionen vor. Solche Funktionen verlaufen immer durch den Ursprung. Hui, da hat sie sich wohl mit einer Bergziege angefreundet. Während die beiden ihren Weg aufwärts fortführen, fassen wir zusammen. Möchte man den zugehörigen Graphen einer linearen Funktion zeichnen, so hat man die Möglichkeit zwei Punkte der Funktion zu verbinden oder den Graphen mithilfe der Steigung zu zeichnen. Dabei ist es wichtig darauf zu achten, ob die Steigung positiv oder negativ ist. Außerdem gibt es noch folgende Besonderheiten: Ist m=0 und b=0, so ist die Gerade identisch zur x-Achse. Ist m=0 und b ungleich 0, so ist die Gerade parallel zur x-Achse. Ist m ungleich 0 und b gleich 0, so liegt eine proportionale Funktion vor und die zugehörige Gerade verläuft durch den Ursprung. Und Susi hat es geschafft alles in ihr Tagebuch einzutragen. Doch was ist das?
Lineare Funktionen zeichnen Übung
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Beschreibe das Vorgehen beim Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion.
TippsHier siehst du ein mögliches Steigungsdreieck an dem Graphen der linearen Funktion $f(x)=\frac 32 x$.
Die Normalform einer linearen Gleichung lautet:
- $f(x)=mx+b$
Du siehst hier eine Gerade mit negativer Steigung (grün) und eine Gerade mit positiver Steigung (rot). Wie könnten die Steigungsdreiecke jeweils aussehen?
LösungDu kannst den Graphen einer linearen Funktion, welcher eine Gerade ist, auf zwei Arten bestimmen. Zum einen kannst du zwei Punkte der Funktion berechnen und mit diesen dann die Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen. Und zum anderen kannst du den $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0\vert b)$, den du mithilfe des $y$-Achsenabschnitts erhältst, und die Steigung nutzen, um über ein Steigungsdreieck die Gerade zu zeichnen. Dabei gehst du wie folgt vor:
Variante 1
Du berechnest zwei Punkte $P_1$ und $P_2$, indem du zwei beliebige $x$-Werte jeweils in die Funktion einsetzt und den zugehörigen $y$-Wert berechnest. Diese beiden Punkte trägst du dann in ein Koordinatensystem ein und zeichnest die Gerade durch diese Punkte durch.
Variante 2
Liegt die Funktionsgleichung in der Normalform $f(x)=mx+b$ vor, so erhältst du den $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0\vert b)$. Dann setzt du im $y$-Achsenschnittpunkt an und zeichnest das Steigungsdreieck ein. Dieses orientiert sich an dem Vorzeichen der Steigung. Für eine positive Steigung, also eine steigende Gerade, gehst du ....
- ... nach rechts und nach oben oder ...
- ... nach links und nach unten.
- ... nach links und nach oben oder ...
- ... nach rechts und nach unten.
-
Skizziere die Graphen der gegebenen linearen Funktionen.
TippsDu kannst zwei Punkte einer linearen Funktion berechnen, indem du zwei $x$-Werte jeweils in die Funktionsgleichung einsetzt und den zugehörigen $y$-Wert bestimmst. Durch diese beiden Punkte zeichnest du dann die jeweilige Gerade.
Du kannst den Graphen einer linearen Funktion auch mithilfe der Steigung und eines Punktes der Funktion zeichnen. Da alle Funktionsgleichungen in der Normalform $f(x)=mx+b$ vorliegen, bietet sich der $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0\vert b)$ an.
LösungDu kannst den Graphen einer linearen Funktion, welcher eine Gerade ist, auf zwei Arten bestimmen.
Variante 1
Du verwendest zwei Punkte der Funktion, um die Gerade durch diese Punkte in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.
Variante 2
Du nutzt den $y$-Achsenschnittpunkt, den du mithilfe des $y$-Achsenabschnitts erhältst, und die Steigung, um über ein Steigungsdreieck die Gerade zu zeichnen.
Wir nutzen im Folgenden die zweite Variante und erhalten die hier abgebildeten Geraden wie folgt:
Blaue Gerade: $~f(x)= 2x+3$
- Die Steigung $m=2$ ist positiv. Ausgehend von $S_y(0\vert 3)$ gehst du also einen Schritt nach rechts und zwei Schritte nach oben.
- Die Steigung $m=0$ zeigt, dass die Gerade weder steigt, noch fällt. Sie ist also parallel zur $x$-Achse und verläuft durch den Punkt $S_y(0\vert 4)$.
- Die Steigung $m=-\frac 12$ ist negativ. Ausgehend von $S_y(0\vert 6)$ gehst du also zwei Schritte nach rechts und einen Schritt nach unten.
- Diesmal nutzen wir die Variante 1 und berechnen zwei Punkte der Funktion, durch diese die zugehörige Gerade verläuft. Wir rechnen hierzu die Funktionswerte für $x=0$ und $x=2$ und erhalten die folgenden beiden Punkte der grünen Gerade:
$\qquad f(2)=\frac 12 \cdot 2+1=1+1=2\quad \rightarrow \quad P_2(2\vert 2)$
-
Ermittle die Geraden der jeweiligen linearen Funktionen.
TippsDie Normalform einer linearen Funktion lautet: $f(x)=mx+b$
Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Ist also in einer Funktionsgleichung kein $x$ enthalten, so ist $m=0$.
Der $y$-Achsenabschnitt ist dabei der Funktionswert an der Stelle $x=0$.
LösungDu kannst die Gerade einer linearen Funktion zeichnen, indem du den $y$-Achsenschnittpunkt und die Steigung nutzt. Den $y$-Achsenschnittpunkt kannst du über den $y$-Achsenabschnitt in der Normalform einer linearen Funktion ermitteln. Mit einem Steigungsdreieck gelangst du dann zu der jeweiligen Geraden. Damit erhalten wir folgende Geraden:
Grüne Gerade: $~f_1(x)= \frac 14x+1$
- Die Steigung $m=\frac 14$ ist positiv. Ausgehend von $S_y(0\vert 1)$ gehst du also vier Schritte nach rechts und einen Schritt nach oben.
- Die Steigung $m=4$ ist ebenfalls positiv. Ausgehend von $S_y(0\vert 1)$ gehst du also einen Schritt nach rechts und vier Schritte nach oben.
- Die Steigung $m=-1$ ist negativ. Ausgehend von $S_y(0\vert -1)$ gehst du also einen Schritt nach rechts und einen Schritt nach unten.
- Die Steigung $m=0$ zeigt, dass die Gerade weder steigt, noch fällt. Sie ist also parallel zur $x$-Achse und verläuft durch den Punkt $S_y(0\vert -1)$.
-
Leite die Funktionsgleichungen der linearen Funktionen der jeweiligen Geraden her.
TippsVor der Variablen $x$ steht die Steigung. Diese kannst du wie folgt ermitteln:
positive Steigung: $m>0$
- $\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}$
- $\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach links gehst}}$
- $\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach links gehst}}$
- $\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}$
Die Normalform einer linearen Funktion lautet $f(x)=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Damit ist $b$ die Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.
LösungUm die Funktionsgleichungen der linearen Funktionen ausgehend von ihren Graphen ermitteln zu können, müssen wir den jeweiligen Geraden die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt entnehmen. Diese können wir dann in die Normalform von linearen Funktionen, nämlich $f(x)=mx+b$ einsetzen.
Die Steigungen ermitteln wir, indem wir die Schritte ausgehend von einem Punkt der Geraden zu einem weiteren Punkt der Geraden zählen. Dann rechnen wir wie folgt:
positive Steigung: $m>0$
- $\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}$
- $\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach links gehst}}$
- $-\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach links gehst}}$
- $-\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}$
Damit erhalten wir folgende Funktionsgleichungen:
Gerade $f$
Die Gerade schneidet die $y$-Achse bei $3$, also ist $b=3$. Wir zählen ausgehend von $(0\vert 3)$ zwei Schritte nach rechts und drei Schritte nach unten und kommen bei einem weiteren Punkt auf der Geraden an. Da wir nach rechts und nach unten gegangen sind, ist die Steigung negativ. Sie beträgt:
- $m=-\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}=-\frac 32$
Gerade $g$
Genauso gehen wir auch bei dieser Geraden vor. Damit erhalten wir den $y$-Achsenabschnitt $b=0$ und folgende Steigung $m$:
- $m=\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}\frac {2}{1}=2$
Gerade $h$
Mit dem $y$-Achsenabschnitt $-2$ und der positiven Steigung $1$ erhalten wir: $~h(x)=1x-2=x-2$
-
Gib die Definition einer linearen Funktion wieder.
TippsDer Graph einer linearen Funktion mit dem $y$-Achsenabschnitt $0$ ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.
Die Gerade einer linearen Funktion in Normalform schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\vert b)$.
LösungEine Funktion mit der Gleichung $f(x)=mx+b$ heißt lineare Funktion. $m$ ist dabei die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Der $y$-Achsenabschnitt ist dabei der Funktionswert an der Stelle $x=0$. Wir betrachten nun noch folgende Spezialfälle:
Spezialfall $m=0$
Der Graph einer linearen Funktion $f(x)=mx+b$ mit der Steigung $m=0$ ist eine zur $x$-Achse parallele Gerade, die die $y$-Achse bei $b$ schneidet. Eine solche lineare Funktion nennt man auch konstante Funktion.
Spezialfall $b=0$
Der Graph einer linearen Funktion $f(x)=mx+b$ mit dem $y$-Achsenabschnitt $b=0$ ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Eine solche lineare Funktion nennt man auch proportionale Funktion.
-
Entscheide, welche Lage die Geraden der jeweiligen linearen Funktionen zueinander haben.
TippsDu siehst hier zwei zueinander parallele Geraden. Parallele Geraden haben stets denselben Abstand zueinander und schneiden sich somit nie.
Hier siehst du einen rechten Winkel. Ein rechter Winkel hat genau $90^\circ$.
Sind zwei Geraden parallel zueinander, so haben sie dieselbe Steigung $m$.
Hat eine Gerade die Steigung $m$ und eine andere die Steigung $-\frac 1m$, so schneiden sich diese Geraden in einem rechten Winkel.
LösungZunächst zeichnen wir die Geraden der jeweiligen Funktionen. Wir erhalten folgende Geraden:
- Für die Funktion $f$ erhalten wir die blaue Gerade mit der Steigung $3$ und dem $y$-Achsenabschnitt $-1$. Beim Zeichnen dieser Geraden gehst du also vom Punkt $(0\vert -1)$ einen Schritt nach rechts und drei Schritte nach oben.
- Die gelbe Gerade erhalten wir für die Funktion $g$. Sie hat die Steigung $-\frac 13$ und den $y$-Achsenabschnitt $-1$. Beim Zeichnen dieser Geraden gehst du also vom Punkt $(0\vert -1)$ drei Schritte nach rechts und einen Schritt nach unten.
- Für die Funktion $h$ erhalten wir die grüne Gerade mit der Steigung $3$ und dem $y$-Achsenabschnitt $1$. Beim Zeichnen dieser Geraden gehst du also vom Punkt $(0\vert 1)$ einen Schritt nach rechts und drei Schritte nach oben.
- Die rosafarbene Gerade erhalten wir für die Funktion $i$. Sie hat die Steigung $2$ und den $y$-Achsenabschnitt $0$. Es handelt sich also um eine proportionale Funktion. Die Gerade einer solchen Funktion verläuft durch den Koordinatenursprung. Beim Zeichnen dieser Geraden gehst du also vom Punkt $(0\vert 0)$ einen Schritt nach rechts und zwei Schritte nach oben.
- Die Geraden $f$ und $h$ sind parallel zueinander.
- Die Geraden $f$ und $g$ schneiden sich in einem rechten Winkel im Punkt $(0\vert -1)$.
- Die Geraden $h$ und $i$ schneiden sich im Punkt $(-1\vert -2)$.
- Die Geraden $f$ und $i$ schneiden sich im Punkt $(1\vert 2)$.
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War sehr hilfreich😎
Hallo Dima, du kannst auch 6 Einheiten nach rechts gehen. Wichtig ist nur, dass das Verhältnis der Steigung eingehalten wird, also dass du dann auch drei Schritte anstatt nur zwei Schritte nach unten gehst. Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
Liebe Grüße aus der Redaktion
Sehr schönes Video, aber mir bleibt eine Frage offen: Warum wurde bei der dritten Funktion anstatt 6 Einheiten nur 4 Einheiten nach rechts gegangen? Könntet ihr mir bitte helfen, Teamdigital?🤷♀️
Sehr gut
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*
……
War echt super, vielen Dank :)