Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen

Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen Übung

• Bestimme die Nullstelle.

  Tipps

  Eine Nullstelle einer Funktion ist ein $x$-Wert, für den $f(x)=0$ gilt.

  Notiere rechts neben den Rechnungen den Umformungsschritt zur nächsten Zeile.

  In der letzten Zeile steht eine Gleichung für den $x$-Wert.

  Lösung

  Die Nullstelle einer Funktion kannst du berechnen, indem du den Funktionsterm gleich $0$ setzt und diese Gleichung nach der Variablen auflöst. Eine lineare Funktion $f(x) = m \cdot x +b$ mit $m \neq 0$ oder $b\neq 0$ hat höchstens eine Nullstelle, d. h. die Gleichung ist entweder eindeutig oder gar nicht lösbar. Ist $m =0$ und $b\neq 0$, so hat die Gleichung $mx+b=0$ keine Lösung.

  Löst du im Fall $m\neq 0$ die Gleichung $mx+b=0$ nach $x$ auf, so findest du die eindeutige Nullstelle $x=-\frac{b}{m}$.

• Bestimme die Nullstellen.

  Tipps

  Jede lineare Funktion außer $f(x)= 0$ hat höchstens eine Nullstelle.

  Überlege, was du für $x$ in die Funktion $f(x) =-1$ einsetzen kannst, sodass $f(x) =0$ gilt.

  Setze die $x$-Werte in die Funktionen ein, um die Nullstellen zu finden.

  Lösung

  Die Nullstelle einer linearen Funktion $f(x) =mx+b$ findest du, indem du den Funktionsterm gleich $0$ setzt. Die Gleichung $mx+b=0$ hat unendlich viele Lösungen, wenn $m=b=0$ ist, andernfalls höchstens eine Lösung. Genau dann hat sie keine Lösung, wenn $m=0$ ist und $b\neq 0$. Ist $m \neq 0$, so kannst du die Gleichung $mx+b=0$ nach $x$ auflösen und findest die Nullstelle $x= - \frac{b}{m}$. Für konkrete Werte von $m$ und $b$ kannst du ganz analog vorgehen.

  Hier sind die passenden Zuordnungen:

  • Die Funktion $f(x) = 2x-10$ hat die eindeutige Nullstelle $x=5$, denn die Gleichung $2x-10=0$ kannst du nach $x$ auflösen und erhältst $x=5$.

  • Die Funktion $f(x) = 0$ hat unendlich viele Nullstellen.

  • Die Funktion $f(x) = 10$ hat keine Nullstelle, denn für jedes $x$ ist $f(x) =10 \neq 0$.

  • Die Funktion $f(x) = 1 \cdot x$ hat die Nullstelle $x=0$, denn $f(0) = 1 \cdot 0 =0$. Die Nullstelle ist eindeutig, denn für jedes $x \neq 0$ ist $f(x) = 1 \cdot x = x \neq 0$.

• Bestimme die Nullstellen.

  Tipps

  Setze den Funktionsterm $=0$ und löse die Gleichung nach der Variablen auf.

  Beachte die Vorzeichen bei den Umformungen.

  In der letzten Zeile der Rechnung steht jeweils die Gleichung der Nullstelle.

  Lösung

  Die Nullstelle einer linearen Funktion kannst du bestimmen, indem du den Funktionsterm $=0$ setzt und die Gleichung nach der Variablen auflöst. Das geht immer, wenn die Funktion eine Nullstelle besitzt und der Funktionsterm nicht selbst $0$ ist. Um die Rechnung nachvollziehen zu können, notierst du am besten rechts neben jeder Zeile den Umformungsschritt zur nächsten Zeile.

  Für die Nullstelle der ersten Funktion ergibt sich dann folgende Rechnung:

  $\begin{array}{rll} f(x) &=& -3x +18 & \\ -3x +18 &=& 0 &|-18 \\ -3x &=& -18 &| :(-3) \\ x &=& 6 & \end{array}$

  Und für die Nullstelle der zweiten Funktion sieht die Rechnung so aus:

  $\begin{array}{rll} f(x) &=& 2,3 x -16,1 & \\ 2,3x -16,1 &=& 0 & |+16,1 \\ 2,3x &=& 16,1& | :2,3 \\ x &=& 7 & \end{array}$

• Bestimme Nullstelle, Steigung und $y$-Achsenabschnitt.

  Tipps

  Setze die $x$-Werte in die Funktionsterme ein.

  Jede lineare Funktion $f(x) =m \cdot x+b$ mit $m\neq 0$ hat eine Nullstelle.

  Lösung

  Eine lineare Funktion ist stets von der Form $f(x) =mx+b$ mit der Steigung $m$. Der Graph dieser Funktion ist die Gerade mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b$. Ist $m \neq 0$, so kannst du die eindeutige Nullstelle bestimmen, indem du die Gleichung $mx+b=0$ nach $x$ auflöst. Die Nullstelle ist dann von der Form $x=-\frac{b}{m}$. Die Nullstelle kannst du in dieser Aufgabe auch herausfinden, indem du die verschiedenen $x$-Werte in die Funktionen einsetzt.

  Hier sind die passenden Zuordnungen:

  $f(x) = -7x + 14$:

  • Die Nullstelle ist $x=2$, denn $f(2) = -7 \cdot 2 + 14 =0$.
  • Die Steigung ist $m = -7$.
  • Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $y=14$, da der $y$-Achsenabschnitt $b=14$.

  $f(x) = 3 x$:

  • Die Steigung des Graphen der Funktion ist der Koeffizient der Variablen, also $m=3$.
  • Die eindeutige Nullstelle ist $x=0$, denn $f(0) = 3\cdot 0 =0$ und für jedes $x \neq 0$ ist $f(x) = 3 \cdot x \neq 0$.
  • Der Funktionswert bei $x=0$ ist $b=f(0)=0$.

  $f(x) = -7$:

  • Die Steigung des Graphen ist $m=0$. Dies entspricht der Steigung einer konstanten Funktion.
  • Der $y$-Achsenabschnitt des Graphen ist der konstante Funktionswert $b=-7$.
  • Die Funktion hat keine Nullstelle, denn für jedes $x$ ist $f(x) = -7 \neq 0$.

  $f(x)= -3 x + 3$:

  • Die Funktion hat die Nullstelle $x=1$, denn du kannst die Gleichung $-3x+3=0$ nach $x$ auflösen und erhältst $x=-1$.
  • Der $y$-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen ist der Funktionswert an der Stelle $0$, also $f(0) = -3 \cdot 0 +3=3$.
  • Die Steigung des Graphen ist $m=-3$, der Koeffizient des linearen Terms.

• Gib die Eigenschaften linearer Funktionen wieder.

  Tipps

  Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

  Setzt du eine Nullstelle in den Funktionsterm ein, so ergibt sich der Funktionswert $0$.

  Der $y$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei $x=0$.

  Lösung

  Eine lineare Funktion ist eine Funktion mit konstanter Wachstumsrate. Du kannst eine lineare Funktion immer als $f(x) =mx+b$ schreiben. Hierbei ist $m$ die Wachstumsrate. Der Graph einer linearen Funktion $f(x) =mx+b$ ist eine Gerade mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b$.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „$f(x) = mx +b$ ist eine lineare Funktion.“ Der Koeffizient $m$ ist die konstante Wachstumsrate der linearen Funktion $f$.

  • „Der Graph der linearen Funktion $f(x) = mx +b$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0|b)$.“ Die $y$-Achse ist die Menge aller Punkte der Form $(0|y)$. Setzt du $x=0$ in die Funktion $f$ ein, so erhältst du den Funktionswert $f(0)=b$. Daher ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$-Achse der Punkt $(0|f(0))=(0|b)$.

  • „Die lineare Funktion $f(x) = mx +b$ mit $m \neq 0$ hat die Nullstelle $x = -\frac{b}{m}$.“

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „$b$ ist die Steigung des Graphen der linearen Funktion $f(x) = mx + b$.“ Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion ist immer der Koeffizient der Variablen, also $m$.

  • „Jede lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.“ Die Funktion $f(x) =10$ hat keine Nullstelle, denn für jedes $x$ ist $f(x) =10\neq 0$.

• Zeige die Funktionsgraphen.

  Tipps

  Der Graph der Funktion $f(x) =m\cdot x +b$ mit $m\neq 0$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $(-\frac{b}{m}|0)$.

  Lösung

  Jede lineare Funktion ist von der Form $f(x) = mx+b$. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Der Koeffizient $m$ des linearen Terms ist die Steigung der Geraden. Du kannst sie an einem Steigungsdreieck ablesen. Ist $m>0$, so steigt die Gerade von links nach rechts an, ist $m<0$, so fällt sie ab. Bei $m=0$ verläuft die Gerade parallel zur $x$-Achse. Die Parallelen zur $y$-Achse sind die einzigen Geraden in der Ebene, die nicht Funktionsgraphen einer linearen Funktion $f(x) = mx+b$ sind. Der Funktionsgraph von $f(x) = mx+b$ schneidet die $y$-Achse in dem Punkt $(0|b)$, d. h. die $y$-Koordinate dieses Punktes ist das Absolutglied des Funktionsterms.

  In dem Bild siehst du die korrekt markierten Geraden.