Graphen proportionaler Zuordnungen

Graphen proportionaler Zuordnungen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Graphen proportionaler Zuordnungen.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$.

  In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Steigung $m$ der Geraden einer proportionalen Zuordnung kannst du am $y$-Wert von $x=0$ ablesen.“

  • Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$, also ist der $y$-Wert bei $x=0$ immer null. Die Steigung kannst du am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.

  „Auch wenn der Graph einer Geraden nicht durch den Ursprung verläuft, kann er eine proportionale Zuordnung beschreiben.“

  • Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Ursprung.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade.“

  „Die Steigung $m$ des Graphen einer proportionalen Zuordnung ist gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor $k$.“

  „Den Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du, bis auf die Ausnahme des Ursprungs $(0|0)$, aus jedem beliebigen Punkt der Geraden einer proportionalen Zuordnung bestimmen.“

  • In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.

• Berechne den Proportionalitätsfaktor der proportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.

  Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  „Zunächst prüft er, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt. Dazu betrachtet er den Graphen der Zuordnung. Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Damit sind die Voraussetzungen für eine proportionale Zuordnung erfüllt.“

  • Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.

  „Anschließend bestimmt er den Proportionalitätsfaktor $k$ der Zuordnung. Dazu betrachtet er einen beliebigen Punkt der Geraden und teilt den $y$-Wert durch den $x$-Wert.

  Dabei kann er sich zwischen allen Punkten auf der Geraden, außer dem Punkt $(0 \vert 0)$, entscheiden. Das liegt daran, dass man in der Mathematik nicht durch null teilen darf.“

  • Grundsätzlich darfst du nie durch null teilen.

  “Er wählt den Punkt $(3 \vert 6)$ und erhält:

  $k=\frac{y}{x}= \frac{6}{3}=2$.“

  • Den Proportionalitätsfaktor kannst du aus jedem beliebigen Wertepaar (außer dem Punkt $(0 \vert 0)$) bestimmen. Er ist nämlich für jedes Wertepaar gleich.

  „Um das zu überprüfen, setzt er im Folgenden auch den Punkt $(1 \vert 2)$ ein und erhält ebenfalls:

  $k= \frac{y}{x}= \frac{2}{1}=2$.

  Damit kann er die Gleichung dieser proportionalen Zuordnung angeben als:

  $y=2x$.“

  • Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$. Hier ist die Steigung $m$ gleich dem Proportionalitätsfaktor $k$.

• Ermittle den Proportionalitätsfaktor.

  Tipps

  Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.

  Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$, außer $(0\vert 0)$, aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:

  • $k=\frac yx$.

  Lösung

  Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen und entsprechend zuordnen. Hier entspricht dieser Faktor der Steigung der Geraden. Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:

  • $k=\frac yx$.

  Bei der Geraden ganz links können wir wie folgt vorgehen:

  • Die Gerade verläuft durch den Punkt $(1 \vert 3)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=3$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=3$.

  Damit kannst du auch die Faktoren der anderen Geraden bestimmen.

  • Für die zweite Gerade von links kannst du das Wertepaar $(4\vert 2)$ betrachten und erhältst so: $k=\frac 24=\frac{1}{2}$.

  • Die zweite Gerade von rechts verläuft durch den Punkt $(1\vert -2)$, sodass der Proportionalitätsfaktor $k=-2$ folgt.

  • Und die letzte Gerade hat einen Proportionalitätsfaktor von $k=2$.

• Leite die Funktionsgleichung der proportionalen Zuordnungen ab.

  Tipps

  Der Proportionalitätsfaktor $k$ ist gleichzeitig die Steigung $m$ der Geraden.

  Den Proportionalitätsfaktor $k$ einer proportionalen Zuordnung kannst du mit einem beliebigen Wertepaar $(x\vert y)$, außer $(0\vert 0)$, wie folgt bestimmen:

  • $k=\frac yx$.

  Lösung

  Wenn wir die Geradengleichung $y=mx$ einer proportionalen Zuordnung aufstellen möchten, so müssen wir den Proportionalitätsfaktor $k$ bestimmen, da $m=k$ gilt. Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen. Bei der ersten Geraden gilt:

  • Sie verläuft durch den Punkt $(1 \vert 1)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=1$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=1$. Dieser Faktor ist gleichzeitig die Steigung der Geraden, also lautet die Geradengleichung $y=x$.

  • Die zweite Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung, da sie nicht durch den Ursprung verläuft.

  • Die dritte Gerade verläuft durch den Ursprung und den Punkt $(1 \vert \frac{3}{2})$. Die Geradengleichung lautet also $y=\frac{3}{2}x$

  • Die vierte Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung.

  • Die Gleichung der letzten Geraden lautet $y=\frac{1}{2}x$ und beschreibt eine proportionale Zuordnung.

• Gib an, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

  Tipps

  Alle Graphen von Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, beschreiben einen proportionalen Zusammenhang. Eine solche Gerade nennt man auch Ursprungsgerade.

  Der Proportionalitätsfaktor eines proportionalen Zusammenhangs kann auch negativ sein.

  Lösung

  Der Graph einer proportionalen Zuordnung

  • ist eine Gerade und
  • verläuft durch den Ursprung.

  Der hier abgebildete Graph verläuft durch den Punkt $(0 \vert 0)$, also durch den Ursprung. Außerdem verändert sich der $y$-Wert immer gleichmäßig mit dem $x$-Wert. (Erhöht sich der $x$-Wert um $1$, dann erhöht sich der $y$-Wert um $3$). Der abgebildete Graph beschreibt also eine Gerade.

  Wenn du bei allen Graphen diese Bedingungen überprüfst, kannst du entscheiden, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Die Steigung der Geraden kann dabei auch negativ sein.

• Ermittle die Werte der proportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Wenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, kannst du einen proportionalen Zusammenhang annehmen.

  Du kannst die Wertetabelle vervollständigen, indem du die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmst.

  Lösung

  Wenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, können wir einen proportionalen Zusammenhang annehmen. Indem wir die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmen, können wir die Wertetabelle vervollständigen. Dazu bestimmen wir zunächst den Proportionalitätsfaktor $k$. Zur Übersichtlichkeit lassen wir alle Einheiten weg:

  $k=\frac{y}{x}= \frac{6~000}{9}=666,\overline{6}$.

  Damit lautet die Geradengleichung:

  $y=666,\overline{6} \cdot x$.

  Hier bezeichnet $x$ die zurückgelegte Zeit in Stunden. Durch Einsetzen können wir also die Werte der Tabelle bestimmen. Für $x=1$ erhalten wir:

  $y=666,\overline{6} \cdot 1 \approx 667$.

  Für $y=2~000$ erhalten wir nach Umstellen der Gleichung:

  $x=\frac{2~000}{666,\overline{6}}= 3$.

  Die vollständige Tabelle lautet also:

  $\begin{array}{cc} \text{Zeit in Stunden} &\text{Strecke in Kilometer}\\ 1 & 667\\ 3 & 2~000\\ 4 & 2~667\\ 5 & 3~333\\ 9 & 6~000\\ \end{array}$