Proprotionale Zuordnungen vergleichen

Proprotionale Zuordnungen vergleichen Übung

• Bestimme die Punkte der Zordnung und die Größen in der Gleichung.

  Tipps

  Setze verschiedene Werte für $t$ in die Formel ein und berechne die zugehörigen Werte für $s$.

  Trage die Werte für $t$ auf der horizontalen Achse ab, die Werte für $s$ auf der vertikalen Achse.

  Diese proportionale Zuordnung wird durch die Formel $y = 3 \cdot x$ beschrieben.

  Lösung

  Im Koordinatensystem kannst du die Punkte eintragen, die zu einer proportionalen Zuordnung gehören. Verbindest du alle diese Punkte, so findest du eine Gerade, die durch den Punkt $(0|0)$ verläuft.

  Ist die proportionale Zuordnung durch eine Gleichung gegeben, so kannst du die Koordinaten der zugehörigen Punkte berechnen. Die Gleichung

  $s = \frac{1}{4} \cdot t+0$

  beschreibt eine proportionale Zuordnung, denn der Graph dieser Funktion ist eine Gerade mit dem $y$-Achsenabschnitt $0$. Die Steigung der Geraden ist dasselbe wie die Proportionalitätskonstante der Zuordnung, nämlich $\frac{1}{4}$. Du erhältst die Punkte $(t|s)$ der Zuordnung, indem du in die Gleichung verschiedene Werte für $t$ einsetzt und die zugehörigen Werte für $s$ ausrechnest:

  $ \begin{array}{|r|r|} \hline t & s \\ \hline 0 & 0 \\ \hline 2 & 0,5 \\ \hline 4 & 1 \\ \hline 6 & 1,5 \\ \hline 8 & 2 \\ \hline 10 & 2,5 \\ \hline \end{array} $

• Beschreibe, wie man die Formel einer proportionalen Zuordnung erschließt.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft durch den Ursprung.

  Die Steigung einer Geraden entspricht der Proportionalitätskonstante einer proportionalen Zuordnung.

  Die Zuordnung $y=2\cdot x+3$ hier im Bild ist keine proportionale Zuordnung.

  Lösung

  Zuordnungen kannst du auf verschiedene Weisen beschreiben: durch Wertetabellen, durch Gleichungen, durch Diagramme oder auch durch Beschreibungen, z. B. in Textaufgaben.

  Eine Wertetabelle beschreibt die Zuordnung der Werte zweier verschiedener Größen zueinander. In der einen Spalte der Tabelle stehen die Werte der einen Größe, z. B. der Zeit $t$, direkt daneben, in der zweiten Spalte, die zugeordneten Werte der zweiten Größe, z. B. des Weges $s$.

  Bei einer proportionalen Zuordnung wird dem Wert $0$ stets der Wert $0$ zugeordnet. Beschreibst du die Zuordnung durch die Gleichung $s = a \cdot t + b$, so gilt für eine proportionale Zuordnung stets $b=0$. Denn wäre $b \neq 0$, so würde dem Wert $t=0$ der Wert $b\neq 0$ zugeordnet werden und es würde sich nicht mehr um eine proportionale Zuordnung handeln.

  Den Wert der Proportionalitätskonstante $a$ kannst du in der Tabelle ablesen, denn $a$ ist immer der Wert, der $1$ zugeordnet wird: Setzt du $t=1$ ein, so erhältst du nämlich $s= a \cdot 1+0 =a$. Für die hier angegebene Tabelle erhältst du also die Formel:

  $s = 4 \cdot t +0$

  Du kannst die Gleichung einer proportionalen Zuordnung auch aus einem Diagramm ablesen. Die Zuordnung ist genau dann proportional, wenn der Graph eine Gerade ist, die durch den Ursprung, also den Punkt $(0|0)$, verläuft. Dabei ist die Steigung der Geraden die Proportionalitätskonstante und der $y$-Achsenabschnitt ist $0$. Im Steigungsdreieck zwischen den $x$-Werten $0$ und $1$ kannst du die Steigung ablesen: Sie entspricht genau dem $y$-Wert bei $x=1$.

  Die zugehörige Gleichung lautet also:

  $y=\frac{1}{4} \cdot x + 0$

• Bestimme die entsprechenden Gleichungen zu den Graphen.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft stets durch den Ursprung, daher ist der $y$-Achsenabschnitt der zugehörigen Geradengleichung $0$.

  Du kannst die Steigung aus einem Steigungsdreieck ablesen. Die Steigung entspricht der Proportionalitätskonstanten.

  Je steiler die Gerade ist, desto größer ist der Faktor vor dem $t$ in der Gleichung.

  Lösung

  Proportionale Zuordnungen kannst du durch Diagramme oder Gleichungen beschreiben. Jedem Diagramm entspricht eine eindeutige Gleichung und umgekehrt. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Ihre Steigung ist die Proportionalitätskonstante der Zuordnung. Der $y$-Achsenabschnitt ist stets $0$, wenn es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

  In den Bildern sind die Achsen stets mit $t$ und $s$ statt mit $x$ und $y$ bezeichnet. Die Steigung der Geraden kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks ablesen. Sie entspricht auch dem $s$-Wert zu $t=1$. Der Geraden durch den Ursprung $(0|0)$ mit der Steigung $m$ entspricht dann die Gleichung:

  $s = m \cdot t +0$

  Hier kommen folgende Diagramme und Gleichungen vor:

  Beispiel 1:

  • Die Gerade verläuft durch die Punkte $(0|0)$ und $(1|2)$.
  • Der $s$-Wert zu $t=1$ ist daher $s=2$. Dieser Wert $2$ entspricht der Proportionalitätskonstanten der Zuordnung bzw. der Steigung der Geraden.
  • Die zugehörige Gleichung lautet daher $s=2 \cdot t+0$.

  Beispiel 2:

  • Diese Gerade verläuft durch die Punkte $(0|0)$ und $(1|3)$.
  • Aus dem Steigungsdreieck für diese Punkte erhältst du $m= \frac{3-0}{1-0} =3$.
  • Daher lautet die proportionale Zuordnung: $s = 3 \cdot t +0$.

  Beispiel 3:

  • Hier verläuft die Gerade durch die Punkte $(2|3)$ und $(4|6)$.
  • Verwendest du diese beiden Punkte im Steigungsdreieck, so erhältst du $m = \frac{6-3}{4-2} = 1,5$.
  • Die Gleichung lautet demnach: $s=1,5 \cdot t +0$.

  Beispiel 4:

  • Die Gerade verläuft durch die Punkte $(0|0)$ und $(3|2)$.
  • Im Steigungsdreieck dieser Punkte findest du $m=\frac{2-0}{3-0} = \frac{2}{3} = 0,\overline{6}$.
  • Die Gleichung der proportionalen Zuordnung ist daher $s=0,\overline{6} \cdot t+0$.

• Erschließe die zueinander passenden Darstellungen.

  Tipps

  Die Proportionalitätskonstante entspricht dem Wert in der rechten Spalte der Tabelle, der zu dem Wert $1$ links gehört.

  Die Steigung der Geraden gibt an, um wie viel sich der $s$-Wert ändert, wenn der $t$-Wert um $1$ größer wird.

  Lösung

  Du kannst eine proportionale Zuordnung durch eine Gleichung, ein Diagramm oder eine Wertetabelle angeben.

  • In der Wertetabelle genügen zwei Wertepaare, um eine lineare Zuordnung eindeutig festzulegen. Wenn du schon weißt, dass die Zuordnung proportional ist, so genügt sogar ein Wertepaar $\neq (0|0)$. Aus dem $s$-Wert zu $t=1$ kannst du die Steigung der Geraden bzw. die Proportionalitätskonstante ablesen, denn jede proportionale Zuordnung enthält das eindeutig bestimmte Wertepaar $(1|m)$. Diesem Wertepaar entspricht also die Gerade mit Steigung $m$ und die Gleichung $s = m \cdot t + 0$.

  • Aus einem Diagramm erschließt du die Gleichung, indem du die Steigung als Proportionalitätskonstante verwendest. Die Steigung kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks ermitteln.

  • Aus einer linearen Gleichung $s = a \cdot t + b$ kannst du die Steigung $m$ der Geraden ablesen: Sie entspricht dem Koeffizienten $a$, d. h. $m=a$. Eine Wertetabelle erhältst du, indem du verschiedene Werte für $t$ einsetzt und die zugehörigen Werte für $t$ ausrechnest. Ob eine vorgegebene Wertetabelle passt, kannst du am einfachsten an dem $s$-Wert zu $t=1$ ablesen: Dieser Wert muss dem Koeffizienten $a$ der Gleichung entsprechen.

  So erhältst du folgende Zuordnungen:

  Beispiel 1:

  • Die Gerade verläuft durch die Punkte $(0|0)$ und $(5|4)$, daher ist die Steigung $m=\frac{4-0}{5-0} = 0,8$.
  • Die zugehörige Wertetabelle enthält die Werte $t=5$ und $s=4$ sowie $t=15$ und $s=12$.
  • Die Gleichung lautet $s = 0,8 \cdot t +0$.

  Beispiel 2:

  • Die Wertetabelle enthält die Wertepaare $t=4$ und $s=6$ sowie $t=6$ und $s=9$.
  • Die zugehörige Gerade verläuft durch die Punkte $(0|0)$ und $(4|6)$ und $(6|9)$.
  • Die Steigung der Geraden ist $m = \frac{9-6}{6-4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
  • Die Gleichung lautet $s = 1,5 \cdot t +0$.

  Beispiel 3:

  • Zu der Gleichung $s=2t+0$ gehört eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung $m=2$. Diese Gerade verläuft durch die Punkte $(1|2)$ und $(2|4)$.
  • Die Wertetabelle der Zuordnung enthält das Wertepaar $t=1$ und $s=2$.

  Beispiel 4:

  • Die Gerade verläuft durch die Punkte $(0|1)$ und $(2|2)$.
  • Die Steigung der Geraden ist $m= \frac{2-1}{2-0} = 0,5$, der $y$-Achsenabschnitt ist $b=1$.
  • Zu der Geraden gehört die Gleichung $s=0,5 \cdot t +1$.
  • Die Wertetabelle enthält die Wertepaare $t=4$ und $s=3$ sowie $t=2$ und $s=2$.
  • Die Zuordnung ist nicht proportional, da die Gerade nicht durch den Ursprung verläuft bzw. das Absolutglied $b$ in der Geradengleichung $s=m \cdot t + b = 0,5 \cdot t + 1$ nicht null ist, sondern $b=1$.

• Vervollständige die Tabelle.

  Tipps

  Der $s$-Wert zu $t=2$ ist doppelt so groß wie der $s$-Wert zu $t=1$.

  Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(t|s)= (0|0)$.

  Hier siehst du die Wertetabelle für die proportionale Zuordnung $s=2 \cdot t +0$.

  Lösung

  Eine proportionale Zuordnung kannst du z. B. durch eine Wertetabelle beschreiben. Um die Zuordnung eindeutig festzulegen, genügt es, dass der dem Wert $t=1$ zugeordnete Wert $s$ vorgegeben ist.

  • In der Tabelle siehst du, dass zu $t=1$ der Wert $s=4$ gehört.

  Dass die Zuordnung proportional ist, bedeutet: Verdoppelst du den Wert für $t$, so verdoppelt sich auch der zugehörige Wert für $s$.

  • Zu $t = 2$ gehört also der Wert $s=4 \cdot 2 = 8$.
  • Analog verdreifacht sich der zugeordnete $s$-Wert, wenn du den $t$-Wert verdreifachst. Zu $t=3$ gehört also der Wert $s= 4 \cdot 3 = 12$.

  Bei einer proportionalen Zuordnung wird dem Wert $0$ in der linken Spalte stets der Wert $0$ in der rechten Spalte zugeordnet:

  • Zu $t=0$ gehört der Wert $s=0$, da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

  Aus dem zugeordneten Wert für $t=1$ und der Tatsache, dass es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, kannst du die Gleichung der Zuordnung bestimmen. Du erhältst für jede proportionale Zuordnung eine Geradengleichung mit der Proportionalitätskonstante als Steigung und dem $y$-Achsenabschnitt $0$. Die Gleichung zu der Tabelle lautet also:

  $s=4 \cdot t +0$

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Jede Gerade in der Ebene ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt.

  Hier siehst du einige Punkte, die zu einer antiproportionalen Zuordnung gehören.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Steigung einer Geraden entspricht dem Proportionalitätsfaktor der Zuordnung.“ Denn die Steigung misst die Änderungsrate der Werte der vertikalen Achse in Abhängigkeit von den Werten der horizontalen Achse.

  • „Eine proportionale Zuordnung ist durch die Angabe eines geeigneten Wertepaars eindeutig festgelegt.“ Ist ein Wertepaar $(x|y) \neq (0|0)$ gegeben, so kannst du die Zuordnung durch die Gleichung $y= m \cdot x+0$ eindeutig beschreiben. Hierbei ist $m=\frac{y-0}{x-0} =\frac{y}{x}$.

  • „Es gibt proportionale Zuordnungen, bei denen der $y$-Wert im gleichen Maß zunimmt, wie der $x$-Wert abnimmt.“ Solche Zuordnungen haben eine negative Proportionalitätskonstante.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Jede Gerade im Koordinatensystem ist der Graph einer proportionalen Zuordnung.“ Nur Geraden durch den Ursprung gehören zu proportionalen Zuordnungen.

  • „Jede Gerade im Koordinatensystem, die durch $(0|0)$ verläuft, ist der Graph einer proportionalen Zuordnung.“ Die $y$-Achse ist nicht der Graph einer proportionalen Zuordnung.

  • „Eine Gerade mit negativer Steigung ist der Graph einer antiproportionalen Zuordnung.“ Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist keine Gerade, sondern ein Hyperbelast.

  • „Jedes Wertepaar einer proportionalen Zuordnung legt den Proportionalitätsfaktor eindeutig fest.“ Das Wertepaar $(0|0)$ gehört zu jeder proportionalen Zuordnung und legt daher keine Zuordnung eindeutig fest. Jedes andere Wertepaar dagegen legt die Zuordnung eindeutig fest.