Graphisches Ableiten – Übung (2)

Graphisches Ableiten – Übung (2) Übung

• Bestimme den Ableitungsgraphen der Sinusfunktion.

  Tipps

  Bei Extremstellen von $f(x)$ besitzt $f'(x)$ seine Nullstellen.

  Bei Wendestellen von $f(x)$ besitzt $f'(x)$ seine Extremstellen.

  Die Ableitungsfunktion ist $f'(x)=\cos(x)$.

  Lösung

  Es gibt einige Regeln und Merksätze, die man beim graphischen Ableiten beachten sollte.

  Unsere Ausgangsfunktion besitzt bei $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$ und $\frac32\pi$ Extremstellen. Dort finden wir die Nullstellen des Ableitungsgraphen.

  Außerdem verläuft überall dort, wo der Ausgangsgraph eine positive Steigung hat, der Ableitungsgraph im positiven Wertebereich.

  Für eine negative Steigung der Ausgangsfunktion verläuft der Ableitungsgraph dort im negativen Wertebereich.

  An Wendestellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Extremstellen. In diesem Beispiel wäre eine Extremstelle z.B. bei $x=0$.

  Diese Kriterien treffen auf den Graphen im zweiten Bild zu. Es handelt sich dabei um den Graphen der Kosinusfunktion. Es gilt also $f'(x)=\cos(x)$.

• Benenne markante Punkte des Ableitungsgraphen.

  Tipps

  Die Extremstellen der Ausgangsfunktion liegen bei $-\pi$, $0$ und $\pi$.

  Bei Extremstellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Nullstellen.

  Die Wendestellen der Ausgangsfunktion liegen bei $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$.

  Bei Wendestellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Extremstellen.

  Lösung

  Betrachten wir markante Punkte der Ausgangsfunktion.

  • Tiefpunkte bei $x=-\pi$ und $x=\pi$

  • Hochpunkt bei $x=0$

  An diesen Stellen muss der Ableitungsgraph Nullstellen aufweisen.

  Außerdem sieht man beim Ausgangsgraph

  • Wendestellen bei $x=-\frac{\pi}{2}$ und $x=\frac{\pi}{2}$

  Hier finden wir Extremstellen des Ableitungsgraphen.

  Außerdem ist die Steigung des Ausgangsgraphen

  • zwischen dem Tief- und Hochpunkt positiv und

  • zwischen dem Hoch- und Tiefpunkt negativ.

  In diesem Bereichen verläuft der Ableitungsgraph analog dazu im positiven bzw. negativen Wertebereich, also über bzw. unter der $x$-Achse.

  Mit Hilfe all dieser markanten Stellen lässt sich der Graph im Bild als Ableitungsgraph zeichnen. Wenn man ihn genau betrachtet sieht man, dass es sich um den an der $x$-Achse gespiegelten Graphen der Sinusfunktion handelt.

  Es gilt $f'(x)=-\sin(x)$.

• Entscheide, bei welchem Graphen es sich um den der Ableitungsfunktion handelt.

  Tipps

  Bei Extremstellen von $f(x)$ besitzt $f'(x)$ seine Nullstellen.

  Bei Wendestellen von $f(x)$ besitzt $f'(x)$ seine Extremstellen.

  Der Funktionswert der Ableitung gibt dir immer die Steigung der Ausgangsfunktion an der jeweiligen Stelle an.

  Die Ableitung von $f$ führt dich wieder zu einer dir bekannten Winkelfunktion.

  Lösung

  Wählen wir einige markante Punkte der gegebenen Funktion aus, um daraus den Graphen der Ableitungsfunktion zu ermitteln.

  Der Ausgangsgraph besitzt Extremstellen bei $-\pi$, $0$ und $\pi$. Hier müsste der Ableitungsgraph Nullstellen aufweisen. Das trifft auf die ersten drei Graphen zu, der vierte scheidet bereits hier aus.

  Nach dem ersten Hochpunkt im Bild, fällt der Graph. Sein Ableitungsgraph muss also nach der ersten Nullstelle im negativen Bereich verlaufen. Das trifft auf den zweiten Graphen und bedingt auf den ersten Graphen zu. Der dritte scheidet aus.

  Untersuchen wir nun die Wendestellen. Bei $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$ finden wir Wendestellen der Ausgangsfunktion. An diesen Stellen müssen sich Extremstellen des Ableitungsgraphen finden lassen.

  Diese finden wir tatsächlich nur beim zweiten Graphen. Er ist der Ableitungsgraph zu $f$.

  Vielleicht kennst du ihn - es ist der Graph der Sinusfunktion!

  Merke:

  • $f(x)=-cos(x)$

  • $f'(x)=sin(x)$

• Zeige markante Punkte des Ableitungsgraphen.

  Tipps

  In dem Bild ist der Funktionsgraph zur Funktion $f(x)=-\sin(x)$ zu sehen.

  Der normale Wertebereich bei den Winkelfunktionen $\sin$ und $\cos$ ist $-1\le y \le +1$

  Bei Extremstellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Nullstellen.

  Bei Wendestellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Extremstellen.

  Die Ableitungsfunktion lautet $f'(x)=-\cos(x)$.

  Lösung

  Im Bild siehst du den Ableitungsgraphen. Er gehört zu $f'(x)=-cos(x)$.

  Wenn wir uns markante Punkte des Ausgangsgraphen betrachten, können wir Schlüsse über den Ableitungsgraphen ziehen.

  Gehen wir die Lücken der Reihe nach durch.

  Zuerst wird nach der ersten positiven Nullstelle gefragt. Ein Ableitungsgraph besitzt immer dort eine Nullstelle, wo sein Ausgangsgraph eine Extremstelle besitzt. Wir müssen also nach der ersten positiven Extremstelle von $f$ suchen.

  Diese liegt exakt zwischen den beiden Nullstellen $0$ und $\pi$. Daher ist die Extremstelle bei $x=\frac{\pi}{2}$.

  Als nächstes wird nach der ersten positiven Extremstelle gefragt. Sie muss dort liegen, wo der Ausgangsgraph eine Wendestelle aufweist. Diese liegt bei $x=\pi$. Bei den Winkelfunktionen liegen die Wendepunkte auf der $x$-Achse.

  In der nächsten Lücke wird die vom Ursprung aus erste negative Wendestelle des Ableitungsgraphen gesucht. Da diese, wie gerade beschrieben, bei einer Nullstelle liegt, muss es sich um die zur ersten positiven Nullstelle analogen Stelle $x=-\frac{\pi}{2}$ handeln.

  Als letztes möchte man die Koordinaten des Tiefpunktes bestimmen. Die Wendestelle des Ausgangsgraphen liegt bei $x=0$, also muss hier die gesuchte Extremstelle bzw. der Tiefpunkt der Ableitungsfunktion liegen.

  Da es ein Tiefpunkt ist, ist der Funktionswert $-1$.

  Die gesuchten Koordinaten sind damit $TP~(0|-1)$.

• Gib wichtige Regeln zum graphischen Ableiten wieder.

  Tipps

  Du kannst alle Regeln mit Hilfe des Bildes herausfinden. Der rote Funktionsgraph gehört zu der Funktion $f(x)=\sin(x)$ und der blaue Funktionsgraph gehört zu der Ableitungsfunktion $f'(x)=\cos(x)$.

  Der Funktionswert der Ableitung gibt dir immer die Steigung der Ausgangsfunktion an der jeweiligen Stelle an.

  Die Steigung ist in Extrempunkten minimal, in Wendepunkten maximal.

  Lösung

  Sehen wir uns das Bild mit den zwei Funktionsgraphen genauer an.

  Der Funktionsgraph von $f(x)=\sin(x)$ ist rot und der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion blau $f'(x)=cos(x)$.

  Man sieht, dass sich für alle Extremstellen von $f$ Nullstellen von $f'$ finden lassen.

  Und an allen Wendestellen von $f$ ($0,\pi,2\pi$,...) besitzt die Ableitung seine Extremstellen.

  Zwischen dem Hoch- und Tiefpunkt fällt der rote Graph von $f$. In diesem ganzen Bereich verläuft die blaue Ableitungsfunktion im negativen Bereich, also unter der $x$-Achse.

  Dasselbe gilt umgekehrt, bzw. für jede Steigung, die der Graph der Ausgangsfunktion besitzt. Man kann sagen:

  • bei positiver Steigung $f(a) \to f'(a)>0$

  • bei negativer Steigung $f(a) \to f'(a)<0$

  • für jede Steigung $a$ bei $f(x_1) \to f'(x_1) = a$

• Prüfe die Aussagen über den Graphen der zweiten Ableitung.

  Tipps

  Bei Extremstellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Nullstellen.

  Bei Wendestellen der Ausgangsfunktion besitzt der Ableitungsgraph Extremstellen

  Der Funktionswert der Ableitung gibt dir immer die Steigung der Ausgangsfunktion an der jeweiligen Stelle an.

  Du siehst den Graphen der Funktion $f(x)=\cos(x)$. Die Ableitungsfunktionen lauten $f'(x)=-\sin(x)$ und $f''(x)=-\cos(x)$.

  Lösung

  Wir wählen markante Punkte des Ausgangsgraphen und leiten gedanklich zwei Mal ab.

  Beginnen wir mit dem Hochpunkt bei $(0|1)$. Leiten wir einmal ab, findet sich hier eine Nullstelle. Wir wissen, dass die Nullstellen bei normalen Winkelfunktionen gleichzeitig Wendestellen sind. Das heißt, beim erneuten Ableiten wird hier wieder eine Extremstelle entstehen.

  Vor dem Hochpunkt steigt der Graph der Ausgangsfunktion. Also ist der Graph der Ableitung vor dieser Nullstelle im positiven, danach im negativen Bereich. Innerhalb dieser Nullstelle (Wendestelle) ist die Steigung der ersten Ableitung also negativ, weshalb der Graph der zweiten Ableitung hier im negativen Bereich verläuft. Wir haben hier also einen Tiefpunkt bei $(0|-1)$.

  Von diesem Punkt aus können wir uns nun den restlichen Graphen zusammenbauen (Bild).

  Da in die Funktionsgleichung keine weiteren Parameter eingebaut sind, verändert sich die Amplitude beim Ableiten nicht. Der Graph wird auch nicht gestreckt oder gestaucht (was kürzere bzw. längere Intervalle zwischen zwei Hoch- bzw. Tiefpunkten zur Folge hätte).

  Aufgrund dieses Wissens kann man sagen, dass der Abstand zwischen zwei Extremstellen $\pi$ ist. Somit ist der Graph der zweiten Ableitung nichts weiter als eine Spiegelung des Ausgangsgraphen an der $x$-Achse.

  Merke:

  • $f(x)=cos(x)$

  • $f'(x)=-sin(x)$

  • $f''(x)=-cos(x)$

  Die restlichen Aussagen lassen sich jetzt viel einfacher treffen, denn der Graph der zweiten Ableitung besitzt

  • zwei Hochpunkte

  • vier Nullstellen und

  • verläuft größtenteils im positiven Bereich in dem Intervall $[-5,5]$