Ableitung – Erklärung

Ableitung – Erklärung Übung

• Beschreibe die Bedeutung der Ableitung an der Stelle $x_0$.

  Tipps

  Die Ableitung $f^\prime(x)$ ist eine Funktion, die den Anstieg der Funktion $f(x)$ beschreibt.

  Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung einer Graden durch zwei Punkte.

  Lösung

  Die Ableitung $f^\prime(x)$ einer Funktion $f(x)$ ist selbst eine Funktion, welche den Anstieg bzw. die Steigung von $f(x)$ beschreibt. Die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt wird auch als momentane oder lokale Änderungsrate bezeichnet.
  Wenn wir eine Gerade so einzeichnen, dass sie den Funktionsgraphen in einem Punkt berührt (Tangente), so hat sie stets die Steigung der Funktion im Berührungspunkt.

  Korrekte Aussagen:

  • $f^\prime(x_0)$ beschreibt die momentane Änderungsrate von $f(x)$ an der Stelle $x_0$.
  • $f^\prime(x_0)$ beschreibt die Steigung einer Tangenten an dem Graphen von $f(x)$ an der Stelle $x_0$.
  • $f^\prime(x_0)$ beschreibt die Steigung des Graphen von $f(x)$ an der Stelle $x_0$.

  Falsche Aussage:

  • $f^\prime(x_0)$ beschreibt die mittlere Änderungsrate von $f(x)$ in einem Intervall um $x_0$.

  Die mittlere Änderungsrate wird stets zwischen zwei Punkten bestimmt. Sie entspricht der Steigung einer Geraden durch diese beiden Punkte. Wir nennen diese Gerade auch Sekante, da sie den Graphen in zwei Punkten schneidet. Die Ableitung hingegen gibt die Steigung des Graphen in einem Punkt an. Man nennt sie auch die momentane oder lokale Änderungsrate.

• Gib an, was durch die Ableitung der Größen beschrieben wird.

  Tipps

  Die Ableitung beschreibt stets eine Änderungsrate.

  Beispiel:

  $f: x \mapsto$ Geschwindigkeit

  $f^\prime: x \mapsto$ Beschleunigung

  Die Beschleunigung gibt an, wie sich die Geschwindigkeit ändert.

  Lösung

  Die Ableitung einer Funktion beschreibt ihre Änderungsrate. Wenn die Funktion $f(x)$ für eine Größe steht, dann beschreibt die Ableitung $f^\prime(x)$ die Änderung dieser Größe.

  Beispiel 1:
  $f: x \mapsto$ zurückgelegter Weg
  Die Ableitung beschreibt, wie sich der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der Zeit verändert. Die Änderung des Weges in Abhängigkeit von der Zeit entspricht der Geschwindigkeit. Dies erkennen wir auch an den Einheiten, wie z.B. $\text{km}$ für den Weg und $\frac{\text{km}}{\text{h}}$, also Weg pro Zeit, für die Geschwindigkeit.
  $\Rightarrow f^\prime: x \mapsto$ Geschwindigkeit

  Beispiel 2:
  $f: x \mapsto$ Gewicht einer Babykatze
  Die Ableitung beschreibt, wie sich das Gewicht verändert, also die Gewichtsänderung.
  $\Rightarrow f^\prime: x \mapsto$ Gewichtsänderung

  Beispiel 3:
  $f: x \mapsto$ Erlös
  Die Ableitung beschreibt, wie sich der Erlös abhängig von der Stückzahl verändert.
  $\Rightarrow f^\prime: x \mapsto$ zusätzlicher Erlös pro Stück

  Beispiel 4:
  $f: x \mapsto$ Kosten
  Die Ableitung beschreibt, wie sich die Kosten abhängig von der Stückzahl verändern.
  $\Rightarrow f^\prime: x \mapsto$ zusätzliche Kosten pro Stück

• Entscheide, welcher Graph die Ableitung der Funktion darstellt.

  Tipps

  In den Bereichen, in denen $f(x)$ steigt gilt: $f^\prime(x) \gt 0$. Dort wo $f(x)$ fällt, ist die Ableitung negativ, also: $f^\prime(x) \lt 0$.

  Beispiel:

  Lösung

  Da die Ableitung einer Funktion stets die Steigung des zugehörigen Funktionsgraphen beschreibt, bestehen die folgenden Zusammenhänge:

  • Graph von $f(x)$ steigt $\Rightarrow f^\prime(x) \gt 0$
  • Graph von $f(x)$ fällt $\Rightarrow f^\prime(x) \lt 0$
  • Graph von $f(x)$ steigt oder fällt nicht $\Rightarrow f^\prime(x) = 0$

  Wir betrachten also, in welchen Bereichen der Graph der Funktion steigt oder fällt und schließen daraus auf den Verlauf der Ableitung.

  Beispiel 1: (vgl. Abbildung)
  Da der Funktionsgraph mit zunehmenden $x$-Werten erst steigt, dann fällt und schließlich wieder fällt, muss der Graph der Ableitung zunächst oberhalb, dann unterhalb und schließlich wieder oberhalb der $x$-Achse verlaufen, damit die Ableitung zunächst positive, dann negative und schließlich wieder positive Werte annimmt. Die Nullstellen der Ableitung befinden sich bei den $x$-Werten, an denen der Funktionsgraph weder steigt noch fällt.

  Beispiel 2:
  Der Funktionsgraph fällt zunächst, steigt dann und fällt schließlich wieder. Der Graph der Ableitung muss daher zunächst unterhalb, dann oberhalb und schließlich wieder unterhalb der $x$-Achse verlaufen. Er hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel. Die Nullstellen liegen bei den $x$-Werten, an denen der Graph von $f(x)$ waagrechte Tangenten hat.

  Beispiel 3:
  Der Funktionsgraph fällt für $x \lt 1$ und steigt für $x \gt 1$. Für $x = 1$ hat er eine waagrechte Tangente. Der Graph der Ableitung muss daher bei $x = 1$ eine Nullstelle haben. Außerdem muss er links davon unterhalb und rechts davon oberhalb der $x$-Achse verlaufen. Der Graph der Ableitung ist eine steigende Gerade.

  Beispiel 4:
  Der Funktionsgraph steigt für $x \lt -1$ und fällt für $x \gt -1$. Für $x = -1$ hat er eine waagrechte Tangente. Der Graph der Ableitung muss daher bei $x = -1$ eine Nullstelle haben. Außerdem muss er links davon oberhalb und rechts davon unterhalb der $x$-Achse verlaufen. Der Graph der Ableitung ist eine fallende Gerade.

• Formuliere eine Aussage über die Ableitung der dargestellten Funktion.

  Tipps

  Die Ableitung beschreibt die Tangentensteigung einer Funktion.

  Überlege, ob die Tangente an dem Funktionsgraph steigt oder fällt.

  An den Nullstellen der Ableitung hat der Graph der Funktion eine waagrechte Tangente.

  Lösung

  Die Ableitung ist eine Funktion, welche die Steigung eines Funktionsgraphen in jedem Punkt beschreibt. Graphisch können wir die Ableitung in einem Punkt bestimmen, indem wir eine Tangente an den Graphen zeichnen. Dabei gilt:

  • die Tangente in $x_0$ steigt $\Rightarrow f^\prime(x_0) \gt 0$
  • die Tangente in $x_0$ fällt $\Rightarrow f^\prime(x_0) \lt 0$
  • die Tangente in $x_0$ ist waagrecht $\Rightarrow f^\prime(x_0) = 0$

  Das bedeutet, die waagrechten Tangenten an den Funktionsgraphen entsprechen den Nullstellen der Ableitung.

  Für die Ableitungen der dargestellten Funktionsgraphen gilt:

  Graph 1:
  Die Tangenten an den Graphen bei $x = -1$ und $x = 1$ fallen beide.
  $\Rightarrow f^\prime(-1) \lt 0$ und $f^\prime(1) \lt 0$

  Graph 2:
  Der Graph hat bei $x = 3$ eine waagrechte Tangente.
  $\Rightarrow f^\prime(3) = 0$

  Graph 3:
  Alle Tangenten an den Graphen steigen.
  $\Rightarrow f^\prime(x) \gt 0$ für $x \in \mathbb{R}$

  Graph 4:
  Der Graph hat drei waagrechte Tangenten bei $x_1 \approx -2,8$; $x_2 = 0$ und $x_3 \approx 2,8$.
  $\Rightarrow f^\prime(x)$ hat drei Nullstellen.

  Graph 5:
  Die Tangente fällt bei $x = -1$, die Tangente steigt bei $x = 1$.
  $\Rightarrow f^\prime(-1) \lt 0$ und $f^\prime(1) \gt 0$

• Vervollständige die Tabelle mit den Ableitungen der Funktionen.

  Tipps

  Die Potenzregel für Ableitungen lautet:

  $f(x)=x^n \Rightarrow f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$

  Für $x$ kann man auch $x^1$ schreiben.

  Beispiel:

  $f(x) = x^8 \Rightarrow f^\prime(x) = 8x^7$

  Lösung

  Die Ableitung einer Potenz von $x$ können wir nach der folgenden Regel bilden:

  $f(x)=x^n \Rightarrow f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$
  Wir multiplizieren also mit dem Exponenten und verringern diesen um $1$.

  Diese Ableitungsregel können wir auch aus der Tabelle ablesen:

  $\begin{array}{c|c} f(x) & f^\prime(x) \\ \hline x & 1 \\ x^2 & 2x \\ x^3 & 3x^2 \\ x^4 & 4x^3 \\ x^5 & 5x^4 \end{array}$

  Hinweis:
  Für $f(x)=x=x^1$ ist die Ableitung laut Regel: $f^\prime(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1 \cdot 1 = 1$

• Bestimme die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Koordinaten des Berührpunktes $P(x_0 \vert f(x_0))$.

  Eine Geradengleichung hat allgemein die Form:

  $y = m \cdot x + b$

  Dabei steht $m$ für die Steigung und $b$ für den $y$-Achsenabschnitt.

  Für eine Tangente gilt:

  $m = f^\prime(x_0)$

  Lösung

  Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen der Funktion in einem Punkt berührt. Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet:
  $y = m \cdot x + b$
  Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Da die Ableitung einer Funktion die Tangentensteigung in jedem Punkt der Funktion angibt, bestimmen wir zunächst die Ableitung von $f(x) = x^7$.
  Wir kennen die Ableitungsregel $f(x) = x^n \Rightarrow f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$ (Potenzregel). Hier ist $n = 7$, es gilt:
  $f^\prime(x) = 7x^6$

  Damit gilt für die Steigung der Tangente in $x_0 = 1$:
  $m = f^\prime(1) = 7 \cdot 1^6 = 7 \cdot 1 = 7$

  Wir setzen diesen Wert in die allgemeine Form der Geradengleichung ein:
  $y = 7\cdot x + b$

  Da die Tangente den Funktionsgraphen bei $x_0 = 1$ berührt, muss sie den Punkt $P(x_0 \vert f(x_0))$ mit der Funktion gemeinsam haben. Hier gilt $x_0 = 1$ und $f(x_0) = f(1) = 1^7 = 1$. Wir setzen $P(1 \vert 1)$ in die Gleichung der Geraden ein:
  $\begin{array}{rcll} 1 & = & 7 \cdot 1 + b & \\ 1 & = & 7 + b & \vert -7 \\ -6 & = & b & \end{array}$

  Damit lautet die Gleichung der Tangente:
  $y = 7 \cdot x - 6$