Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem
Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem – Zusammenfassung Erfahre, wie waagerechte und senkrechte Geraden bestimmt werden und welche Eigenschaften sie haben. Horizontale Geraden verlaufen parallel zur $x$-Achse mit einer Null-Steigung, während senkrechte Geraden parallel zur $y$-Achse eine undefinierte Steigung besitzen. Interessant? Das und mehr erfährst du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem
Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem – Mathematik
Wie man die Geradengleichungen von horizontalen und vertikalen Geraden im Koordinatensystem bestimmt und welche Eigenschaften die Steigungen dieser Geraden haben, wollen wir uns im folgenden Text genauer anschauen.
Was sind horizontale und vertikale Geraden? – Definition
Kann eine Parallele zur $y$-Achse der Graph einer Funktion sein? Und was ist eigentlich eine konstante Funktion? Um diese Fragen zu klären, wird sich in diesem Text mit horizontalen und vertikalen Geraden beschäftigt. Schauen wir uns die waagerechten und senkrechten Geradengleichungen im Folgenden gemeinsam an.
Was ist eine waagerechte Geradengleichung?
Betrachten wir zunächst das Koordinatensystem. Die waagerechte Linie von links nach rechts ist die $x$-Achse. Die senkrechte Linie von unten nach oben ist die $y$-Achse.
Untersuchen wir nun die horizontale Gerade. Diese ist orange im Koordinatensystem eingezeichnet. Horizontale Geraden werden auch waagerechte Geraden genannt.
Wenn wir Punkte entlang dieser Geraden untersuchen, können wir eine Gleichung aufstellen, die die Gerade beschreibt. Wählen wir die folgenden Wertepaare: $(-5\vert-2)$, $(-3\vert-2)$, $(0\vert-2)$ und $(2\vert-2)$. Der $x$-Wert jedes Punkts ist unterschiedlich. Der $y$-Wert hingegen ist immer $-2$. Die Gleichung für diese horizontale Gerade lautet daher:
$y = -2$
In der Grafik ist zu erkennen, dass die Gerade parallel zur $x$-Achse verläuft. Aber wann ist eine Gerade parallel zur $x$-Achse? Das ist immer dann der Fall, wenn sich der $y$-Wert nicht ändert. Da diese Eigenschaft erfüllt ist, verlaufen horizontale Geraden parallel zur $x$-Achse.
Betrachten wir weitere Eigenschaften horizontaler Geraden:
- Horizontale Geraden verlaufen parallel zur $x$-Achse.
- Sie besitzen keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
- Den Schnittpunkt mit der $y$-Achse kann man aus der Gleichung ablesen. In diesem Beispiel liegt er bei $(0|-2)$.
- Horizontale Geraden sind orthogonal zur $y$-Achse. Das bedeutet, sie stehen im rechten Winkel zur $y$-Achse.
Doch was ist die Steigung einer Geraden, die parallel zur $x$-Achse verläuft?
Betrachten wir die Steigung horizontaler Geraden. Dafür können wir zwei beliebige Punkte in die Steigungsformel einsetzen. Die Formel für die Steigung $m$ lautet:
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 -x_1}$
Setzen wir die Punkte $(-5\vert-2)$ und $(-3\vert-2)$ ein.
$m = \dfrac{-2 -(-2)}{-3 - (-5)} = \dfrac{0}{2} = 0$
Null geteilt durch eine beliebige Zahl ergibt immer null. Wir erhalten die Steigung $m=0$.
$\Rightarrow$ Horizontale Geraden haben immer die Steigung $\mathbf{m = 0}$, da die $y$-Werte aller Punkte gleich sind.
Funktionen, die parallel zur $x$-Achse verlaufen, werden auch konstante Funktionen genannt.
Was ist eine senkrechte Gerade?
Untersuchen wir nun die senkrechte Gerade. Diese ist orange im folgenden Koordinatensystem eingezeichnet. Senkrechte Geraden werden auch vertikale Geraden genannt.
Wählen wir uns folgende Punkte aus, um die Gerade zu untersuchen: $(5\vert3)$, $(5\vert2)$, $(5\vert0)$ und $(5\vert-2)$. Bei senkrechten Geraden bleibt der $x$-Wert stets gleich. In diesem Fall ist der
$x=5$
In der Grafik ist zu erkennen, dass die Gerade parallel zur $y$-Achse verläuft. Aber wann ist eine Gerade parallel zur $y$-Achse? Das ist immer dann der Fall, wenn sich der $x$-Wert nicht ändert. Da diese Eigenschaft erfüllt ist, verlaufen senkrechte Geraden parallel zur $y$-Achse.
Betrachten wir weitere Eigenschaften senkrechter Geraden:
- Senkrechte Geraden liegen parallel zur $y$-Achse.
- Sie besitzen keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
- Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse kann man aus der Gleichung ablesen. In diesem Beispiel liegt er bei $(5\vert0)$.
- Senkrechte Geraden sind orthogonal zur $x$-Achse. Das heißt, sie stehen im rechten Winkel auf der $x$-Achse.
- Senkrechte Geraden sind orthogonal zu allen anderen waagerechten Geraden. $x= 5$ ist zum Beispiel auch orthogonal zu $y=-2$.
Was für eine Steigung hat eine Gerade parallel zur $y$-Achse?
Betrachten wir die Steigung $\mathbf{m}$ der senkrechten Geraden. Setzen wir dafür wieder zwei beliebige Punkte in die Steigungsformel ein:
$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 -x_1}$
Wählen wir uns als beliebige Punkte die Punkte $(5\vert3)$ und $(5\vert2)$ aus.
$m = \dfrac{2 - 3}{5 -5} = \dfrac{-1}{0}= \text{nicht definiert}$
Da wir nicht durch $0$ teilen dürfen, ist diese Steigung nicht definiert.
$\Rightarrow$ Alle senkrechten Geraden haben eine nicht definierte Steigung, da sich ihr $x$-Wert nicht verändert.
Die Gerade ist keine Funktion bezüglich $x$. Eine Funktion hat die Eigenschaft, dass jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet werden kann. Da diese Eigenschaft nicht erfüllt wird, handelt es sich bei senkrechten Geraden nicht um Funktionen.
Horizontale und vertikale Geraden – Zusammenfassung
Horizontale Gerade
- Alle horizontalen Geraden haben die Gleichung $y=C$ mit der Konstanten $C$.
- Horizontale Geraden haben keinen $x$-Term, da ihre Steigung stets null ist.
- Die Steigung horizontaler Geraden ist immer null, da die $y$-Werte aller Punkte der Geraden gleich sind.
Vertikale Gerade
- Vertikale Geraden haben immer die Gleichung $x=C$. $C$ ist hier ebenfalls wieder eine beliebige Konstante.
- Vertikale Geraden haben keinen $y$-Term in ihren Gleichungen.
- Die Steigung vertikaler Geraden ist nicht definiert, da sich die $x$-Werte der Gleichung nicht ändern.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du auf dieser Seite noch Arbeitsblätter und Übungen zu horizontalen und vertikalen Geraden im Koordinatensystem.
Transkript Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem
Stefanie steht total auf Retro-Computerspiele. Jetzt lernt sie zu programmieren, um eigenen Spiele machen zu können. Um ihren Charakter 8bitbot die richtigen Wege gehen zu lassen, muss sie sich mit horizontalen und vertikalen Geraden beschäftigen. Zuerst erstellen wir ein Koordinatensystem. Wir zeichnen und benennen die x-Achse und die y-Achse. Untersuchen wir die horizontale Gerade, auf der 8bitbot sich entlangbewegen soll. Wenn wir Punkte entlang dieser Geraden untersuchen, können wir eine Gleichung aufstellen, die die Gerade beschreibt. Wir wählen einfach ein paar Wertepaare aus: -5 und -2, -3 und -2, 0 und -2 und 2 und -2. Erkennst du ein Muster? Während sich der x-Wert verändert, ist der y-Wert immer -2. Die Gleichung für diese horizontale Gerade lautet also y = -2. Welche Eigenschaften hat diese horizontale Gerade noch? Sie liegt parallel zur x-Achse. Sie wird die x-Achse also niemals schneiden. Also besitzt sie keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Sie hat aber einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei 0 | -2 und ist orthogonal zur y-Achse. Fällt dir auch etwas zur Steigung dieser horizontalen Geraden auf? Sie scheint überhaupt keine zu haben. Überprüfen wir das, indem wir zwei Punkte der Geraden in die Steigungsformel einsetzen. Wir erinnern uns: Die Formel für die Steigung m lautet y2 minus y1 geteilt durch x2 minus x1. Wir werden die Punkte (-5|-2) und (-3|-2) einsetzen, um die Steigung zu berechnen. Das ergibt 0 geteilt durch 2. Moment mal! 0 geteilt durch eine beliebige Zahl ergibt doch immer 0. Also ist die Steigung m gleich 0. Jetzt versteht Stefanie horizontale Geraden. Sie gibt die Gleichung y = -2 in ihr Programm ein. Und schon legt 8bitbot los. Aber er muss sich auch in eine andere Richtung bewegen können. Untersuchen wir also die vertikale Gerade Ebene. Wie bei der horizontalen Geraden können wir einige beliebige Punkte auswählen. Erkennst du ein Muster in diesen Wertepaaren? Ähnlich wie bei der horizontalen Geraden, bei der sich der y-Wert nicht geändert hat, bleibt bei vertikalen Geraden der x-Wert stets gleich. Darum können wir die Gleichung x = 5 aufstellen. Welche anderen Eigenschaften haben vertikale Geraden? Diese vertikale Gerade liegt parallel zur y-Achse, also besitzt sie keinen Schnittpunkt mit der y-Achse. Sie hat aber einen Schnittpunkt mit der x-Achse bei (5|0) und ist orthogonal zur x-Achse, die ja horizontal verläuft. Die vertikale Gerade ist auch orthogonal zu der horizontalen Geraden aus dem ersten Beispiel. Was bedeutet das aber für die Steigung dieser bzw. für die Steigungen aller vertikalen Geraden? Untersuchen wir die Steigung algebraisch mit der Steigungsformel und zwei beliebigen Punkten der Geraden. Das ergibt -1 geteilt durch 0. Stopp, Stopp, Stopp! Einen Moment mal! Man darf nicht durch 0 teilen. Diese Steigung ist also nicht definiert. Tatsächlich haben alle vertikalen Geraden eine nicht definierte Steigung, da sich ihr x-Wert nicht verändert. Puh, gut zu wissen. Stefanie tippt x = 5 ein, damit 8bitbot sich vertikal bewegen kann. Schau, wie er klettert! Bevor Stefanie ihr Programm fertigstellt, fassen wir noch mal zusammen. Unser erstes Beispiel war eine horizontale Gerade mit der Geradengleichung y = -2. Schauen wir uns einige andere horizontale Geraden an. Alle horizontalen Geraden haben die Gleichung: y = irgendeine Konstante. Es gibt keinen x-Term bei horizontalen Geraden, da ihre Steigung stets 0 ist. Die Steigung von horizontalen Geraden ist immer 0, weil die y-Werte der alle Punkte der Geraden gleich sind. Unsere vertikale Gerade hatte die Gleichung x = 5. Im Unterschied zu horizontalen Geraden hat eine vertikale Gerade also immer die Gleichung: x ist gleich irgendeine Konstante. Vertikale Geraden haben keinen y-Term in ihren Gleichungen. Für alle vertikalen Geraden ist die Steigung undefiniert, da sich die x-Werte der Punkte niemals ändert. Weil Stefanie die Eigenschaften von horizontalen und vertikalen Geraden versteht, konnte sie die Bewegung von 8bitbot programmieren. Aber was macht 8bitbot denn jetzt? Oh, arme Stefanie. War wohl ein langer Tag.
Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem Übung
-
Bestimme die Eigenschaften horizontaler und vertikaler Geraden.
TippsDie $y$-Achse ist eine vertikale Gerade.
Läuft 8bit-Bot längs einer horizontalen Geraden, so ändert sich nur seine $x$-Koordinate.
Mit dem Steigungsdreieck bestimmt Stefanie die Steigung einer Geraden.
LösungStefanie programmiert die Bewegung des Charakters 8bit-Bot entlang der Geraden $y=-2$. Diese Gerade ist horizontal. Alle Punkte auf der Geraden haben dieselben $y$-Werte und verschiedene $x$-Werte. Mit dem Steigungsdreieck rechnet Stefanie nicht etwa die Länge der Geraden aus, sondern die Steigung. Dazu wählt sie zwei verschiedene Punkte auf der Geraden aus. Die $y$-Werte der beiden Punkte sind dieselben, daher ist die Steigung der Geraden $0$.
Beim Hoch- oder Runterklettern einer Leiter bewegt sich 8bit-Bot entlang einer vertikalen Geraden. Die Gerade hat z. B. die Gleichung $x=5$. Je zwei verschiedene Punkte auf der Geraden haben dieselben $x$-Werte, aber ihre $y$-Werte sind verschieden. Setzt Stefanie z. B. die $x$- und $y$-Werte der Punkte $(5|2)$ und $(5|3)$ in die Formel für die Steigung ein, so erhält sie den Bruch $\frac{-1}{0}$. Da dieser Bruch nicht existiert, ist die Steigung dieser vertikalen Geraden nicht definiert. Gleiches gilt für alle vertikalen Geraden.
-
Gib die Punkte und Eigenschaften der Geraden an.
TippsZwei verschiedene Punkte einer horizontalen Geraden haben dieselben $y$-Koordinaten und verschiedene $x$-Koordinaten.
Die Steigung einer vertikalen Gerade ist nicht definiert.
Die Punkte $(2|0)$ und $(2|-1)$ liegen auf der Gerade $x=2$.
LösungDie Gerade $y=-2$ ist horizontal. Alle ihre Punkte haben den $y$-Wert $-2$. Die Steigung ist $0$. Das findest Du heraus, wenn Du zwei Punkte der Geraden in die Steigungsformel einsetzt.
Die Gerade $x=5$ ist vertikal. Alle Punkte der Geraden haben den $x$-Wert $5$. Die Steigung der Geraden ist nicht definiert. Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier Punkte der Geraden in die Steigungsformel ein, so ergibt sich ein Bruch mit $0$ im Nenner.
Du erhältst also folgende Zuordnung:
Gerade $y=-2$
- $(0|-2)$
- $(-5|-2)$
- $(-3|-2)$
- horizontal
- $m=0$
- $(5|3)$
- $(5|2)$
- $(5|0)$
- vertikal
- $m$ nicht def.
-
Charakterisiere die Geraden.
TippsDie Gleichung $y=0$ beschreibt eine horizontale Gerade, nämlich die $x$-Achse.
Die Steigung der $x$-Achse ist $0$.
Die Steigung der $y$-Achse ist nicht definiert.
LösungHorizontale Geraden haben eine Gleichung der Form $y=C$ mit einer Konstanten $C$. Für vertikale Geraden lautet die Gleichung $x=C$.
Horizontale Geraden sind parallel zur $x$-Achse und orthogonal zur $y$-Achse. Damit sind sie dann auch orthogonal zu allen Parallelen der $y$-Achse, also zu allen vertikalen Geraden. Bei vertikalen Geraden ist es umgekehrt.
Alle Punkte einer horizontalen Geraden haben denselben $y$-Wert, nämlich den Wert $C$ der Konstanten aus der Gleichung $y=C$. Die Punkte einer horizontalen Geraden $x=C$ haben alle den $x$-Wert $C$. Damit erhältst Du folgende Zuordnung:
Die Steigung horizontaler Geraden ist $0$, die Steigung vertikaler Geraden ist nicht definiert.
horizontale Geraden:
- $y=5$
- $y=-2$
- $m=0$
- parallel zu $x$-Achse
- orthog. zu $x=-2$
- gleiche $y$-Werte
- $x=-2$
- $x=5$
- $m$ nicht def.
- parallel zu $y$-Achse
- orthog. zu $y=5$
- gleiche $x$-Werte
-
Ermittle die Geradengleichung.
TippsWenn zwei Punkte beide den $x$-Wert $5$ haben, so liegen sie auf der Geraden $x=5$.
LösungEine horizontale Gerade erfüllt eine Gleichung der Form $y=C$ mit einer beliebigen Konstanten $C$. Alle ihre Punkte haben den $y$-Wert $C$. Für eine horizontale Gerade lautet die Gleichung $x=C$ mit einer Konstanten $C$ und alle ihre Punkte haben den $x$-Wert $C$.
Zu zwei Punkten im Koordinatensystem gibt es genau eine Gerade, die beide Punkte enthält. Haben die beiden Punkte denselben $x$-Wert $C$, so ist dies die vertikale Gerade $x=C$. Haben die Punkte dagegen denselben $y$-Wert $C$, so lautet die Gerade $y=C$ und ist horizontal.
Du erhältst daher die folgende Zuordnung:
- Die Gerade der ersten Abbildung enthält die Punkte $(2|-1)$ und $(2|3)$. Da der $x$-Wert bei beiden Punkte derselbe ist, liegen die Punkte auf der Geraden $x=2$. Die markierten Punkte sind nur zwei von unendlich vielen Punkten auf der Geraden. Man hätte andere Punkte auf der Geraden auswählen können. Es handelt sich hierbei um eine vertikale Gerade und damit ist diese Zuordnung keine Funktion.
- Bei der zweiten Geraden sind die beiden Punkte $(-1|-2)$ und $(3|-2)$ markiert. Sie haben beide denselben $y$-Wert. Die Gleichung lautet $y=-2$. Es ist eine horizontale Gerade und damit eine Funktion.
- Die dritte Gerade verläuft vertikal durch die Punkte $(-1|-2)$ und $(-1|3)$. Der $x$-Wert ist jeweils gleich. Somit lautet die Geradengleichung: $x=-1$. Es handelt sich hierbei um keine Funktion.
- Die vierte Gerade verläuft horizontal durch die Punkte $(-2|3)$ und $(2|3)$. Sie hat die Gleichung $y=3$ und ist somit eine Funktion.
-
Bestimme die Eigenschaften der Geraden.
TippsIst eine Gerade parallel zur $y$-Achse, so ändern sich längs dieser Geraden nur die $y$-Koordinaten, nicht die $x$-Koordinaten.
Die $x$-Achse ist eine horizontale Gerade.
Setzt Du die Punkte $(-1|-3)$ und $(-1|-2)$ der vertikalen Gerade $x=-1$ in die Formel für die Steigung ein, so kommst Du auf die Gleichung:
$m = \frac{-1}{0}$.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Eine horizontale Gerade ist orthogonal zur $y$-Achse.“ Diese Aussage gilt für jede horizontale Gerade.
- „Die Gerade $y=-2$ ist nicht parallel zur $y$-Achse.“ Die Gerade enthält keinen $x$-Term und ist daher horizontal, also parallel zur $x$-Achse und orthogonal zur $y$-Achse.
- „Die Steigung einer vertikalen Geraden ist nicht definiert.“ Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier Punkte der Geraden in die Formel für die Steigung ein, so erhältst Du stets einen undefinierten Bruch mit $0$ im Nenner.
- „Die Steigung jeder horizontalen Geraden ist $0$.“ Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier verschiedener Punkte der Geraden in die Steigungsformel ein, so erhältst Du im Zähler $0$, im Nenner einen Wert $\neq 0$. Daher ist die Steigung einer horizontalen Geraden stets $0$.
- „Eine vertikale Gerade schneidet die $x$-Achse nicht.“ Jede vertikale Gerade schneidet die $x$-Achse. Erfüllt die Gerade die Gleichung $x=C$, so ist der Schnittpunkt $(0|C)$.
- „Die Gerade $x=C$ ist parallel zur $x$-Achse.“ Diese Gerade ist vertikal, also parallel zur $y$-Achse und orthogonal zur $x$-Achse.
- „Die Steigung einer vertikalen Geraden ist stets $0$.“ Diese Steigung ist nicht definiert. Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier verschiedener Punkte einer vertikalen Geraden in die Steigungsformel ein, so erhältst Du einen Bruch mit $0$ im Zähler und einem Wert $\neq 0$ im Nenner. Dieser Bruch existiert nicht. Daher ist die Steigung nicht definiert.
-
Analysiere die Aussagen.
TippsJede vertikale Gerade ist orthogonal zu jeder horizontalen Geraden.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Haben die Punkte einer Geraden alle dieselben $x$- oder $y$-Koordinaten, so ist die Gerade vertikal oder horizontal.“ Sind die $x$-Werte gleich, so ist die Gerade vertikal, sind die $y$-Werte gleich, so ist sie horizontal.
- „Die Gerade $y=-x$ ist weder vertikal noch horizontal.“ Eine horizontale Gleichung hat die Form $ y=C$ mit einer Konstanten $C$, die Gleichung einer vertikalen Geraden lautet $x=C$.
- „Ist die Steigung einer Geraden $m \neq 0$, so ist die Gerade weder vertikal noch horizontal.“ Die Steigung einer vertikalen Geraden ist nicht definiert, also auch nicht $\neq 0$. Die Steigung einer horizontalen Geraden ist $0$. Da beides nicht zutrifft, ist eine Gerade mit Steigung $\neq 0$ weder horizontal noch vertikal.
- „Haben zwei Geraden mit konstanten $x$- oder $y$-Werten genau einen Schnittpunkt, so ist eine der beiden vertikal, die andere horizontal.“ Haben beide Geraden dieselben $x$-Werte, so sind die Geraden beide vertikal, also entweder identisch oder parallel. Dann können sie aber nicht genau einen Schnittpunkt haben. Dasselbe gilt für zwei horizontale Geraden. Also muss eine Gerade konstante $x$-Werte haben, die andere konstante $y$-Werte. Dann ist die eine Gerade vertikal, die andere horizontal, und sie haben genau einen Schnittpunkt.
- „Jede zu $y=-2$ orthogonale Gerade ist horizontal.“ Die Gerade $y=-2$ ist selbst horizontal. Jede zu ihr orthogonale Gerade ist vertikal.
- „Auf einer horizontalen Geraden gibt es keine zwei verschiedenen Punkte mit denselben Koordinaten, auf einer vertikalen Geraden aber schon.“ Sind die Koordinaten zweier Punkte gleich, so sind die Punkte identisch und nicht verschieden.
- „Jede horizontale Gerade hat mit der $x$-Achse keinen Punkt gemeinsam.“ Die $x$-Achse ist selbst auch eine horizontale Gerade. Für sie stimmt die Aussage nicht. Für jede andere horizontale Gerade ist die Aussage aber richtig.
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