Geometrische Grundbegriffe – Überblick

Geometrische Grundbegriffe – Überblick Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu geometrischen Grundbegriffen.

  Tipps

  Hier schneiden sich zwei Geraden.

  Dieses geometrische Konstrukt heißt Strecke.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten heißt Gerade. Sie hat keine Kurven und eine endliche Länge.“

  • Dieses geometrische Objekt heißt Strecke. Eine Gerade kommt aus dem Unendlichen und verschwindet dort.

  
  

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Ein Punkt ist ein geometrische Objekt, das keine Ausdehnung besitzt.“

  • Natürlich hat jeder Punkt, den du auf ein Blatt Papier zeichnest, eine kleine Ausdehnung. Man nimmt allerdings an, dass das mathematische Objekt, das er darstellt, keine Ausdehnung besitzt.

  „Schneiden sich zwei Geraden, entsteht zwischen ihnen immer ein Winkel.“

  • Winkel beschreiben die verschiedenen Möglichkeiten, wie zwei Längen zueinander stehen können. Deshalb spannen zwei sich schneidende Längen immer einen Winkel auf.

  „Schneiden sich zwei Geraden nicht im rechten Winkel, entsteht zwischen ihnen immer ein spitzer und ein stumpfer Winkel.“

  • Eine Seite einer Geraden spannt einen Winkel von $180^{\circ}$ auf. Wird dieser Winkel durch eine weitere Gerade in zwei ungleich große Stücke geteilt, muss einer der beiden Winkel spitz $(\alpha<90^{\circ})$ und der andere stumpf sein $(\beta>90^{\circ})$.

• Beschreibe die Eigenschaften von Flächen und Körpern.

  Tipps

  Dies ist eine Fläche, die nur von einer gekrümmten Linie umgeben wird.

  Das ist ein Körper, der nur von einer gekrümmten Fläche umgeben wird.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Eine Fläche ist in Länge und Breite begrenzt. Der Inhalt dieser Begrenzungen heißt Flächeninhalt. Sie kann von beliebig vielen Linien begrenzt sein, auch von Kurven. Eine Fläche, die von einer gekrümmten Linie begrenzt wird, ist beispielsweise ein Kreis. Die gesamte Länge der Begrenzungslinien nennt man Umfang.“

  • Eine Fläche ist ein zweidimensionales geometrisches Objekt, deshalb wird es von zwei Längen (Länge und Breite) begrenzt.

  „Ein Körper hat eine Länge, eine Breite und eine Höhe. Der Inhalt des Körpers heißt Volumen. Körper sind begrenzt von Flächen. Diese können alle möglichen Formen annehmen. Sie können auch gekrümmt sein. Ein Beispiel für einen Körper, der nur von einer gekrümmten Fläche begrenzt wird, ist eine Kugel. Die Summe aller Begrenzungsflächen eines Körpers heißt Oberfläche.

  • Ein Körper ist ein dreidimensionales geometrisches Objekt. Er dehnt sich in alle drei Richtungen des Raumes (Länge, Breite und Höhe) aus.

• Ermittle die Eigenschaften bestimmter geometrischer Figuren.

  Tipps

  Eine Fläche besitzt einen Inhalt und wird durch eine Linie begrenzt.

  Der Inhalt eines Körpers heißt Volumen. Das Volumen ist durch eine Fläche begrenzt.

  Lösung

  So kannst du die Bezeichnungen zuordnen:

  • Eine Punkt hat keine Ausdehnung.

  • Eine Gerade ist unendlich lang.

  • Ein Kreis ist eine Fläche und besitzt einen Flächeninhalt und einen Umfang.

  • Ein Würfel ist ein Körper, der eine Oberfläche und ein Volumen besitzt.

• Ordne die Bezeichnungen den geometrischen Figuren zu.

  Tipps

  Wir beginnen bei der dreidimensionalen Figur, betrachten dann die zweidimensionale und schließen mit den verschiedenen eindimensionalen Strukturen ab. Diese unterscheiden sich durch die Existenz von Anfangs- bzw. Endpunkten.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du mit Informationen aus dem Video beantworten. Wir beginnen bei der dreidimensionalen Figur, betrachten dann die zweidimensionale und schließen mit den verschiedenen eindimensionalen Strukturen ab. Diese unterscheiden sich durch die Existenz von Anfangs- bzw. Endpunkten:

  „Ein Körper ist eine dreidimensionale Figur, die durch Flächen begrenzt ist. Er hat ein Volumen und eine Oberfläche. Beispiele dafür sind eine Kugel, ein Quader, oder eine Pyramide.“

  „Eine Fläche ist zweidimensional und wird durch Seitenlängen begrenzt. Sie hat einen Flächeninhalt. Beispiele für Flächen sind ein Kreis, ein Quadrat oder eine Raute.“

  „Eine Gerade ist unendlich lang und hat keine Kurven. Sie kann durch zwei Punkte im Raum aufgestellt werden.“

  „Ein Strahl hat einen Anfang, aber kein Ende. Er verschwindet im Unendlichen.“

  „Eine Strecke hat einen Anfangs- und einen Endpunkt. Die Entfernung zwischen diesen beiden Punkten kann gemessen werden.“

  • Alle diese Linien sind gerade. Die Gerade hat jedoch kein Anfang und kein Ende, der Strahl hat einen Anfang und kein Ende und die Strecke hat Anfang und Ende.

• Gib die Bezeichnungen verschiedener geometrischer Figuren wieder.

  Tipps

  Ein Würfel ist ein Körper, der durch seine Oberfläche begrenzt wird.

  Lösung

  Die Linie ist ein Strahl; sie hat einen Anfangs- aber kein Endpunkt.

  Der Winkel ist ein rechter Winkel. Die beiden Linien stehen senkrecht aufeinander.

  Die Fläche ist die Oberfläche eines Würfels.

  Der Körper ist ein Würfel.

• Erschließe die Berechnung einfacher Flächen und Volumen.

  Tipps

  Falls du Probleme hast, Flächen von Volumina zu unterscheiden, schau dir die Einheit der Größe an. Flächeneinheiten werden immer zur zweiten Potenz erhoben (z. B. $\text{m}^2$). Volumeneinheiten zur dritten (z. B. $\text{m}^3$).

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Ein Quadrat ist eine Fläche, die von zwei gleich langen Seitenlängen $a$ begrenzt ist. Du kannst den Flächeninhalt des Quadrats berechnen, indem du die beiden Seitenlängen miteinander multiplizierst, also:

  $A=a \cdot a =a^2$

  Hast du ein Quadrat mit Seitenlänge $a=3~\text{m}$ gegeben, ergibt sich für den Flächeninhalt:

  $A=(3~\text{m})^2 = 3^2 \cdot ~\text{m}^2=9~\text{m}^2$“

  • Um Flächen und Volumina zu berechnen, setze deine gegebenen Längen in die Formel zur Berechnung ein.

  „Ein Würfel ist ein Körper, der von sechs quadratischen Flächen begrenzt wird. Alle Kantenlängen $a$ eines Würfels sind gleich lang. Du kannst das Volumen des Würfels bestimmen, indem du seine Kantenlängen drei mal mit sich selbst multiplizierst.

  $V=a \cdot a\cdot a =a^3$

  Hast du einen Würfel mit Kantenlänge $a=3~\text{m}$ gegeben, ergibt sich für das Volumen:

  $A=(3~\text{m})^3 = 3^3 \cdot ~\text{m}^3=27~\text{m}^3$“

  • Falls du Probleme hast Flächen von Volumina zu unterscheiden, schau dir die Einheit der Größe an. Flächeneinheiten werden immer zur zweiten Potenz erhoben (z. B. $\text{m}^2$). Volumeneinheiten zur dritten (z. B. $\text{m}^3$).