Geraden, Strecken und rechte Winkel

Geraden, Strecken und rechte Winkel Übung

• Benenne die geometrischen Größen.

  Tipps

  Jede Strecke hat einen Anfangs- und Endpunkt.

  Einen Strahl nennt man auch Halbgerade.

  Ein spitzer Winkel ist kleiner als $90^\circ$.

  Lösung

  In der Geometrie unterscheiden wir verschiedene gerade Linien und Winkel:

  • Eine Strecke hat einen Anfangs- und Endpunkt. Man kann daher die Länge einer Strecke messen.
  • Eine Halbgerade nennt man auch Strahl. Ein Strahl hat einen Anfangs- aber keinen Endpunkt. Du kannst dir einen Laserstrahl vorstellen, der im Weltall bis in die Unendlichkeit strahlt. Ein Sonnenstrahl, der von der Sonne bis zur Erde reicht, ist aber kein Strahl im Sinne der Geometrie.
  • Eine Gerade hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt. Sie ist in beide Richtungen unendlich lang.
  • Zwei Geraden, die nicht dieselbe Richtung haben, schneiden sich. Dabei entstehen verschiedene Winkel. Einen rechten Winkel bilden z.B. die obere und eine seitliche Kante deines Bildschirms. Auch die meisten Fenster und Türen haben rechte Winkel zwischen ihren benachbarten Kanten.

• Definiere die Begriffe.

  Tipps

  Der Abstand zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ ist die Länge der Strecke $\overline{AB} $.

  Ein Strahl hat keine endliche Länge.

  Jede Strecke ist gerade.

  Lösung

  Die Begriffe Strecke, Strahl bzw. Halbgerade und Gerade bezeichnen verschiedene gerade Linien. Keine dieser Linien enthält Krümmungen oder Bögen, sondern sie sind alle gerade. Eine Strecke hat einen Anfangs- und Endpunkt, daher kann man ihre Länge messen. Der Abstand zweier Punkte ist die Länge der Verbindungsstrecke der beiden Punkte. Außerdem ist dies die Länge der kürzesten Verbindung zwischen den beiden Punkten. Denn wenn du anders als auf einer geraden Linie von einem Punkt zum anderen fährst, ist der Umweg länger als der direkte Weg. Ein Strahl hat einen Anfangs- aber keinen Endpunkt. Eine Gerade hat weder Anfangs- noch Endpunkt.

  So findest du die folgenden korrekten Sätze:

  • Die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten ... ist eine Strecke.
  • Eine gerade Linie mit einem Anfangspunkt aber ohne Endpunkt ... ist ein Strahl.
  • Eine gerade Linie ohne Anfangs- und Endpunkt ... heißt Gerade.
  • Eine gekrümmte Linie ... ist weder eine Strecke, noch ein Strahl, noch eine Gerade.

• Zeige die Geraden, Strahlen, Strecken und rechten Winkel.

  Tipps

  Zwei gerade Linien schneiden sich genau dann im rechten Winkel, wenn alle vier Winkel an dem Schnittpunkt dieselbe Größe haben.

  Eine Halbgerade ist dasselbe wie ein Strahl und hat nur einen Anfangs- aber keinen Endpunkt.

  Diese Geraden schneiden sich nicht im rechten Winkel.

  Lösung

  Geraden, Halbgeraden und Strecken sind gerade Linien. Dagegen sind Linien mit Kurven oder Krümmungen weder Geraden noch Halbgeraden oder Strecken.

  Strecken haben einen Anfangs- und Endpunkt, Strahlen bzw. Halbgeraden nur einen Anfangspunkt. Geraden haben weder Anfangs- noch Endpunkt, sondern sind in jeder Richtung unendlich.

  Schneiden sich zwei Geraden, Halbgeraden oder Strecken, so entstehen verschiedene Winkel. Einen rechten Winkel erkennst du z. B. daran, dass alle Winkel an dem Schnittpunkt dieselbe Größe haben.

  Im Bild siehst du alle korrekt markierten Geraden, Strahlen, Strecken und rechten Winkel.

• Erschließe die passenden Begriffe.

  Tipps

  Die Zahlengerade ist in beide Richtungen unendlich lang.

  Strecken enthalten keine Krümmungen.

  Lösung

  In der Geometrie unterscheidet man gerade Linien in Strecken, Strahlen bzw. Halbgeraden und Geraden. Die Strecken haben einen Anfangs- und Endpunkt, Strahlen bzw. Halbgeraden haben nur einen Anfangs- aber keinen Endpunkt und Geraden haben weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt. Durch die unterschiedlichen Eigenschaften kannst du Strecken, Halbgeraden und Geraden verschieden verwenden. Hier ist die korrekte Zuordnung mit Erläuterung:

  Strecke:

  • Die genaue Länge kannst du nur von einer Strecke messen, denn dazu brauchst du einen Anfangs- und Endpunkt.
  • Jede Seite eines Dreiecks ist eine Strecke zwischen zwei Eckpunkten des Dreiecks.
  • Jede Strecke ist beidseitig endlich.

  Halbgerade:

  • Der Zahlenstrahl ist ein Strahl, also eine Halbgerade.
  • Eine Halbgerade hat einen Anfangs- aber keinen Endpunkt, sie ist daher einseitig unendlich.

  Gerade:

  • Die Zahlengerade ist keine Halbgerade, sondern eine Gerade.
  • Eine Gerade hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt, sie ist also beidseitig unendlich.

  nicht passend:

  • Kein Halbkreisbogen ist gerade, er beschreibt also weder eine Strecke noch eine Halbgerade noch eine Gerade.
  • Keine Strecke, Halbgerade oder Gerade ist gekrümmt, sondern alle sind gerade.

• Gib die Eigenschaften von Strecken, Strahlen und Geraden wieder.

  Tipps

  Eine gekrümmte Linie ist keine Gerade.

  Dies ist eine Strecke.

  Schneiden sich zwei Geraden, so bilden sie einen spitzen, rechten oder stumpfen Winkel.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Keine Gerade ist gekrümmt.“ Denn Geraden sind gerade.

  • „Die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten ist gerade.“ Jede Krümmung führt zu einem Umweg. Die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten ist die Verbindungsstrecke, ihre Länge ist der Abstand dieser Punkte.

  • „Die Zahlen, die du zum Zählen verwendest, also $1$, $2$, $3$,..., liegen auf dem Zahlenstrahl.“ Du kannst mit dem Zählen bei $0$ oder bei $1$ anfangen. Aber du kommst beim Weiterzählen nie an ein Ende. Daher haben die Zahlen einen Anfangs- aber keinen Endpunkt und liegen auf einem Strahl, dem Zahlenstrahl.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Eine Halbgerade ist die Hälfte einer Strecke.“ Jede Strecke hat eine endliche Länge, aber eine Halbgerade ist in einer Richtung unendlich lang.

  • „Jede Gerade hat einen Anfangs- und Endpunkt.“ Eine gerade Linie mit Anfangs- und Endpunkt heißt Strecke.

  • „Zwei Geraden schneiden sich immer im rechten Winkel.“ Haben zwei Geraden dieselbe Richtung, so schneiden sie einander gar nicht. Haben Sie nicht dieselbe Richtung, so schneiden sie sich, aber ihr Winkel ist nicht immer ein rechter Winkel.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Es gibt unendlich viele Zahlen, denn beim Weiterzählen kommst du nie zu einem Ende.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Horizontale und vertikale Linien stehen zueinander im rechten Winkel.“ Solche Linien sind z. B. die oberen und unteren bzw. rechten und linken Seiten deines Bildschirms.

  • „Die Sonnenstrahlen, die von der Sonne bis zur Erde reichen, sind keine Strahlen.“ Die Sonnenstrahlen sind gerade Linien, die bei der Sonne beginnen und auf der Erde enden. Im geometrischen Sinne sind diese Sonnenstrahlen also keine Strahlen, sondern Strecken.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Alle Zahlen kann man mit gleichen Abständen auf einer Strecke abtragen.“ Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Du kannst sie nicht mit gleichen Abständen auf einer Strecke abtragen, denn jede Strecke hat eine endliche Länge. Zum Abtragen der natürlichen Zahlen eignet sich der Zahlenstrahl. Für die ganzen Zahlen brauchst du die Zahlengerade.

  • „Die Seiten eines Siebenecks sind Strahlen.“ Die Seiten sind die Verbindungen zwischen den Eckpunkten des Siebenecks. Sie sind daher keine Strahlen, sondern Strecken.

  • „In jedem Dreieck gibt es einen rechten Winkel.“ Jedes Dreieck hat höchstens einen rechten Winkel. Es gibt aber auch Dreiecke mit drei spitzen Winkeln, z. B. gleichseitige Dreiecke. Auch ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel hat keinen rechten Winkel.