Kantenlänge eines Quaders bestimmen

Kantenlänge eines Quaders bestimmen Übung

• Gib die passende Kantenlänge des Würfels an.

  Tipps

  Ein Würfel hat genau zwölf gleich lange Kanten.

  Die Formel für die Gesamtkantenlänge $l$ eines Würfels lautet $l=12a$.

  Setze die Gesamtkantenlänge $l=120~cm$ in die Gleichung ein und löse sie nach $a$ auf.

  Lösung

  Die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Quaders lautet $l=4\cdot(a+b+c)$. Nun brauchen wir die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Würfels.

  Er unterscheidet sich vom Quader, da er nicht jeweils vier, sondern genau zwölf gleich lange Kanten hat. Deshalb sieht die Formel für die Gesamtkantenlänge so aus:

  $l=12a$

  Die Länge des Drahtes ist bereits angegeben, wir können sie in die Formel einsetzen:

  $120~cm=12a$

  Wenn wir zum Schluss noch durch zwölf teilen, erhalten wir die gesuchte Kantenlänge $a$:

  $a=120~cm : 12 = 10~cm$

  Die Kantenlänge des gesuchten Würfels beträgt also $10~cm$.

• Ergänze die Kantenlängen des Aquariums.

  Tipps

  Bedenke, dass jede Kante viermal vorkommt.

  Die Formel für die Gesamtkantenlänge $l$ für einen Quader lautet $l=4\cdot(a+b+c)$.

  $a$, $b$ und $c$ müssen zusammen $120~cm$ ergeben.

  Lösung

  In diesem Beispiel beträgt die Gesamtkantenlänge $4,80~m$ bzw. $480~cm$.

  Die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Quaders lautet:

  $l = 4(a + b + c)$

  Da wir die Gesamtkantenlänge $l=480~cm$ bereits kennen, können wir diese schon in die Formel einsetzen.

  $480~cm = 4(a + b+ c)$

  Wenn wir nun durch vier teilen, erhalten wir:

  $120 ~cm= a + b + c$

  Jetzt wissen wir, dass die Summe von $a$, $b$ und $c$ $120~cm$ betragen muss. Jetzt musst du nur noch die jeweils fehlende Länge ergänzen. Für unsere drei Beispiele bedeutet das:

  $a=120~cm-40~cm-35~cm=45~cm$

  $b=120~cm-50~cm-40~cm=30~cm$

  $c=120~cm-55~cm-35~cm=30~cm$

• Berechne die Kantenlänge des Würfels.

  Tipps

  Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Würfel? Wie nennt man diese Flächen?

  Wie groß ist der Flächeninhalt einer Begrenzungsfläche?

  Lösung

  Zunächst müssen wir herausfinden, wie groß eine einzelne Begrenzungsfläche des Würfels ist. Der Würfel besteht aus Quadraten.

  Die Oberfläche eines Würfels besteht aus sechs Quadraten. Deswegen teilen wir den Oberflächeninhalt des Würfels durch sechs und erhalten so den Flächeninhalt einer Begrenzungsfläche:

  $486 : 6=81~cm^2$

  Das ist also der Flächeninhalt eines Quadrats. Da alle Würfelflächen Quadrate sind, erhalten wir eine Quadratseite und somit die Kantenlänge des Würfels durch Ziehen der Wurzel:

  $a=\sqrt{81~cm^2}=9~cm$

  Die Kantenlänge des Würfels beträgt also $9~cm$.

• Bestimme die fehlende Kantenlänge des Aquariums.

  Tipps

  Du musst dich bei der Rechnung für eine Maßeinheit entscheiden. Also schreibe erst alle Angaben in der gleichen Einheit auf.

  Überlege dir, wie viel Material Fidibus schon verplant hat und wie viel ihm danach noch übrig bleibt.

  Die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Quaders lautet $l=4\cdot (a+b+c)$.

  Lösung

  Zuerst ist es wichtig, dass wir uns für eine Maßeinheit entscheiden, in der wir rechnen möchten. Da das Ergebnis in $cm$ angegeben werden soll, nehmen wir diese Einheit.

  Wir rechnen um:

  Länge: $a=8~dm=80~cm$

  Breite: $b=200~mm=20~cm$

  Insgesamt stehen ihm $l=5,60~m = 560~cm$ Material für den Rahmen, also die Gesamtkantenlänge des Quaders, zur Verfügung. Gesucht ist die Höhe $c$ des Quaders bzw. des Aquariums. Die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Quaders lautet $l=4\cdot (a+b+c)$.

  Wir setzen die bekannten Größen ein und erhalten:

  $560~cm=4\cdot(80 ~cm+20~cm+c)$

  Wir teilen durch vier und rechnen die Länge und Breite zusammen und erhalten:

  $140~cm=100~cm+c$

  Wir ziehen $100~cm$ auf beiden Seiten ab und erhalten das Ergebnis:

  $c=40~cm$.

  Die Höhe des Aquariums beträgt also $40~cm$.

• Ordne die Formeln dem richtigen Körper zu.

  Tipps

  Denk an das Kantenmodell eines Quaders. Es gibt immer eine Länge, eine Breite und eine Höhe.

  Bei einem Quader kommen alle drei Kantenlängen viermal vor. Was ist das Spezielle bei einem Würfel?

  Lösung

  Jeder Quader besitzt 12 Kanten. Vier Kanten entsprechen der Länge, vier Kanten der Breite und vier Kanten der Höhe.

  Da man sie mit a, b und c bezeichnet und jede dieser Längen viermal vorkommt, ergibt sich die Formel für die Gesamtkantenlänge $l$ eines Quaders:

  $l = 4a + 4b +4c$

  Wenn du die 4 ausklammerst, ergibt sich diese Formel:

  $l = 4(a + b + c)$

  Da bei einem Würfel alle Kanten gleich lang sind, also $a = b = c$ gilt, kommt diese eine Kantenlänge insgesamt zwölfmal vor. Also erhalten wir die Formel für die Gesamtkantenlänge eines Würfels:

  $l = 4(a + a + a) = 4 \cdot 3a = 12a$

• Ermittle die gesuchten Kantenlängen der Würfel.

  Tipps

  Aus wie vielen Flächen besteht ein Würfel?

  Teile den Oberflächeninhalt auf alle Flächen des Würfels auf. Dann musst du nur noch überlegen, welche Kantenlänge zu dem berechneten Flächeninhalt einer Würfelfläche gehört.

  Die Formel für den Oberflächeninhalt lautet: $O=6 \cdot a^2$

  Lösung

  Beginnen wir mit dem einfachsten dieser vier Würfel, um das Prinzip zu verstehen.

  Ein Würfel soll den Oberflächeninhalt $6~cm^2$ besitzen.

  Jeder Würfel besteht aus sechs gleich großen Quadraten. Das heißt, eine dieser Flächen hat dann einen Flächeninhalt von $1~cm^2$. Nun hast du also ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $1~cm^2$.

  Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats lautet:

  $A=a\cdot a=a^2$

  Wenn wir sie ein bisschen umstellen und die gegebene Zahl einsetzen erhalten wir:

  $a^2=1~cm^2$ also ist $a=1~cm$ – Wir ziehen hier die Wurzel, beziehungsweise überlegen, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den angegebenen Flächeninhalt ergibt.

  Nun die übrigen Würfel:

  $54~cm^2 : 6=9~cm^2$, also $a^2=9~cm^2$ bzw. $a=3~cm$

  $150~cm^2 : 6=25~cm^2$, also $a^2=25~cm^2$ bzw. $a=5~cm$

  $24~cm^2 : 6=4~cm^2$, also $a^2=4~cm^2$ bzw. $a=2~cm$