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Würfel – Volumen und Oberfläche

Schau dir das Video an und lerne, wie man das Volumen und die Oberfläche eines Würfels berechnet. Erfahre die Definitionen und Formeln, um den Flächeninhalt und das Volumen zu bestimmen. Beachte dabei die richtigen Maßeinheiten. Neugierig geworden? Das und noch mehr wirst du im folgenden Text entdecken!

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Wie berechnet man den Oberflächeninhalt eines Würfels?

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Team Digital
Würfel – Volumen und Oberfläche
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Würfel – Volumen und Oberfläche

Oberflächeninhalt von einem Würfel

Ein Würfel ist ein Körper, d. h. er ist dreidimensional. Ein Würfel hat zwölf Kanten, die alle dieselbe Kantenlänge aa haben. Er wird außerdem von sechs quadratischen Flächen begrenzt.

Die Oberfläche des Würfels umschließt den Würfel von allen Seiten. Der Oberflächeninhalt beschreibt, wie groß die Oberfläche des Würfels insgesamt ist. Er ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte aller sechs Flächen des Würfels.
Der Rauminhalt, der in den Würfel hinein passt, heißt Volumen des Würfels.

In der folgenden Abbildung siehst du ein Beispiel eines Würfels mit der Kantenlänge aa.

Würfel Schrägbild

Wusstest du schon?
Beim Zauberwürfel, auch bekannt als Rubik’s Cube, gibt es über 4343 Trillionen mögliche Kombinationen für die Anordnung der bunten Seiten! Aber egal, wie du ihn drehst und wendest, die Oberfläche und das Volumen bleiben immer gleich.
Weißt du, aus wie vielen kleinen bunten Würfeln ein Zauberwürfel zusammengesetzt ist? Und aus wie vielen kleinen bunten Quadraten setzt sich die Oberfläche des gesamten Würfels zusammen?
Es sind 2626 kleine Würfel plus ein Kern in der Mitte – und es gibt 633=546 \cdot 3 \cdot 3 = 54 kleine bunte Quadrate, jeweils 99 in einer der 66 Farben.

Oberfläche von einem Würfel – Formel

Faltet man die Oberfläche eines Würfels auseinander, so erhält man das Körpernetz des Würfels. Es besteht aus sechs gleichen Quadraten der Kantenlänge aa:

Würfel Körpernetz

Der Oberflächeninhalt eines Würfels ist die Summe der Flächeninhalte dieser Quadrate. Jedes einzelne Quadrat hat den Flächeninhalt A=aa=a2A_\Box = a \cdot a = a^2.

Die Würfeloberfläche setzt sich aus sechs Quadraten der Fläche AA_\Box zusammen, daher hat der Würfel WW den Oberflächeninhalt:

AW=6A=6a2A_{W} = 6 \cdot A_\Box = 6 \cdot a^{2}

Mithilfe dieser Formel können wir nun den Oberflächeninhalt eines Würfels berechnen.

Oberfläche von einem Würfel berechnen

Ava möchte ein würfelförmiges Gewächshaus auf einem Planeten errichten. Für die Abschätzung des Baumaterials muss sie die Oberfläche eines Würfels berechnen.

Avas Gewächshaus soll so groß sein, dass sie in jeder Richtung bequem darin stehen und liegen kann. Dazu muss die Kantenlänge a=2 ma = \pu{2 m} groß sein. Den Oberflächeninhalt des Würfels mit der Kantenlänge a=2 ma = \pu{2 m} erhalten wir nun durch Einsetzen in die Formel:

AW=6A=6a2=6(2 m)2=622m2=24 m2A_{W} = 6 \cdot A_\Box = 6 \cdot a^{2} = 6 \cdot (\pu{2 m})^{2} = 6 \cdot 2^{2}\,\pu{m2}= \pu{24 m2}

Die Einheit m2\pu{m2} des Flächeninhalts ist das Quadrat der Einheit m\text{m} und wird daher Quadratmeter genannt. Es gilt: m2=mm\pu{m2} = \text{m} \cdot \text{m}

Zum Bau ihres Gewächshauses braucht Ava nur die Mantel- und Deckfläche, nicht die Bodenfläche. Sie zieht daher den Flächeninhalt A=a2=4 m2A_{\Box} = a^{2} = \pu{4 m2} der Bodenfläche wieder ab und kommt damit auf 20 m2\pu{20 m2} Flächenbedarf für den Bau ihres Gewächshauses.

Kennst du das?
Hast du schon einmal in einem Zimmer gestanden und dich gefragt, wie groß es wohl ist? Indem du die Länge, Breite und Höhe des Zimmers misst, kannst du das Volumen berechnen und weißt, wie viel Luft das Zimmer füllt.
Um die Wände zu streichen, würde man zuerst die gesamte Oberfläche der Wände berechnen. Erkennst du, wie Mathematik dir hilft, dein Umfeld besser zu verstehen?

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Volumen von einem Würfel – Formel

Um das Volumen ihres Gewächshauses zu bestimmen, verwendet Ava die Formel für das Volumen eines Würfels.

Da der Würfel dreidimensional ist und alle Kanten dieselbe Länge haben, ist das Volumen:

V=aaa=a3V= a \cdot a \cdot a = a^3

Mithilfe dieser Formel können wir nun den Rauminhalt berechnen, also das Volumen.

Volumen von einem Würfel berechnen

Um zu wissen, wie viel Luft in das Gewächshaus passt, berechnet Ava das Volumen eines Würfels mit entsprechender Kantenlänge.

Das Volumen von Avas Gewächshaus lässt sich durch Einsetzen von a=2 ma = \pu{2 m} in die Formel für das Würfelvolumen berechnen:

V=a3=(2 m)3=23m3=8 m3V = a^3 = (\pu{2 m})^3 = 2^3\,\pu{m3} = \pu{8 m3}

Die Einheit m3\pu{m3} des Volumens ist die dritte Potenz der Einheit m\text{m} (also m\text{m} hoch drei) und wird Kubikmeter genannt. Es gilt: m3=mmm\pu{m3} = \text{m} \cdot \text{m} \cdot \text{m}

Das Volumen eines Körpers kann auch in der Einheit Liter angegeben werden. Dabei entspricht ein Liter einem Kubikdezimeter, also 0,1 m\pu{0,1 m} hoch drei.
Das ist demnach gleichbedeutend mit 0,0010{,}001 Kubikmetern:

1 =1 dm3=(0,1 m)3=0,001 m31 ~\ell = \pu{1 dm3} = {\left( \pu{0,1 m} \right)}^3 = \pu{0,001m3}

Oberfläche aus dem Volumen eines Würfels berechnen

Ist das Volumen eines Würfels gegeben, kann daraus die Oberfläche des Würfels abgeleitet werden. Dazu muss zuerst die Kantenlänge mithilfe des Volumens berechnet werden. Sehen wir uns ein Beispiel an:

Ein Würfel habe ein Volumen von V=125 cm3V = \pu{125 cm3}.

  • Aus der Formel für das Volumen von Würfeln (V=aaa=a3)\left( V= a \cdot a \cdot a = a^{3} \right) lässt sich die Seitenlänge a=5 cma = \pu{5 cm} ableiten, denn:
    555=1255 \cdot 5 \cdot 5 = 125
  • Die Seitenlänge kann nun in die Formel zur Oberflächenberechnung für Würfel (AW=6A=6a2)\left( A_{W} = 6 \cdot A_{\Box} = 6 \cdot a^2 \right) eingesetzt werden:
    AW=652=150A_{W} = 6 \cdot 5^2 = 150
  • Der Würfel hat also eine Oberfläche von 150 cm2\pu{150 cm2}

Um die Oberfläche eines Würfels aus dessen Volumen zu berechnen, muss zuerst die Kantenlänge bestimmt werden.

Wenn umgekehrt die Oberfläche gegeben ist und das Volumen daraus berechnet werden soll, ist das Vorgehen ähnlich. Wieder muss zuerst die Kantenlänge aa bestimmt werden, in diesem Fall allerdings mithilfe der Formel des Oberflächeninhalts (AW=6a2)\left( A_{W} = 6 \cdot a^2 \right).

Ausblick – das lernst du nach Würfel – Volumen und Oberfläche

Weiter geht's mit geometrischen Körpern! Vertiefe dein Wissen und lerne auch, wie Berechnungen des Volumens und der Oberfläche von Quadern durchgeführt werden. Bist du bereit für das nächste Abenteuer in der Welt der Mathematik?

Zusammenfassung des Würfels – Volumen und Oberfläche

  • Würfel sind dreidimensionale Körper mit zwölf Kanten der Kantenlänge aa und sechs quadratischen Seiten der Fläche A=a2A_{\Box} = a^2.
    Sie besitzen eine Oberfläche und ein Volumen.
  • Die Oberfläche wird mit der Formel AW=6A=6a2A_{W} = 6 \cdot A_{\Box} = 6 \cdot a^2 berechnet.
  • Das Volumen berechnet man mit V=aaa=a3V= a \cdot a \cdot a = a^3 .
  • Ist entweder die Oberfläche oder das Volumen gegeben, kannst du die jeweils andere Größe berechnen, indem du zuerst die Kantenlänge aa bestimmst.

Im Bild siehst du noch einmal die zur Berechnung benötigte Formeln für Oberfläche und Volumen eines Würfels:

Volumen und Oberfläche Würfel

Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen und Oberfläche eines Würfels

Transkript Würfel – Volumen und Oberfläche

Ava hatte mit ihrem Raumschiff eine Bruchlandung und sitzt nun auf diesem einsamen Planeten fest. Wie soll sie hier nur überleben? Ava hat nur noch eine einzige Karotte dabei. Vielleicht kann sie die ja irgendwo einpflanzen? Tatsächlich! Sie findet eine nahezu quadratische Erd-Fläche, aus der seltsame Luftströmungen entweichen! Ihr Analyse-Gerät stellt fest „Leben ist möglich“! Ava möchte die Luft einschließen - wie in einem Gewächshaus. Denn dann hat sie einen kleinen Lebensraum - für sich - und die Karottenpflanze. Das Gewächshaus soll so groß werden, dass sie darin liegen - und stehen kann. Hoffentlich reicht das Baumaterial des kaputten Raumschiffs! Und wie viel Luft hat sie darin zum Atmen? Wir helfen Ava bei ihren Überlegungen, indem wir die Oberfläche und das Volumen des Würfels berechnen! Okay, schauen wir uns so einen Würfel einmal genauer an! Ein Würfel ist ein Körper, das heißt, er ist dreidimensional. Die zwölf Kanten des Würfels haben alle dieselbe Länge. Wir bezeichnen die Kantenlänge hier mit klein a. Der Würfel wird von sechs quadratischen Flächen begrenzt. Die Oberfläche umschließt den Würfel - wie eine Hülle. Man kann außerdem bestimmen, wie viel in den Würfel hineinpasst. Diese Menge heißt Volumen des Würfels. Schau mal! In dieses Glas passt das Volumen von einem Liter Milch nicht hinein. In dieses Aquarium passen zwei Eimer Wasser locker rein, da ist sogar noch Volumen übrig. Und dieser Swimmingpool hat ein Volumen von genau 800 Litern. Zurück zu Avas Überlegungen. Fangen wir mit der Berechnung der Oberfläche des Würfels an! Wenn wir die Würfeloberfläche aufklappen, entsteht das Würfelnetz aus 6 Quadraten, jeweils mit der Seitenlänge a. Sehen wir uns zunächst einmal eines dieser Quadrate an. Für dessen Flächeninhalt rechnen wir a mal a. Das kannst du auch kurz als a hoch zwei, also a zum Quadrat schreiben. Weil der Würfel von sechs quadratischen Flächen begrenzt wird, nehmen wir für den Flächeninhalt der gesamten Würfeloberfläche: Sechs mal den Flächeninhalt eines Quadrats. Hierfür setzen wir a zum Quadrat ein und schon haben wir die Formel für die Oberfläche eines Würfels gefunden! Ava ist mit ihrem Raumanzug fast zwei Meter groß. Deshalb soll das Gewächshaus eine Kantenlänge von 2 Metern bekommen. Wir setzen also 2 Meter für a ein. Hieraus isolieren wir schon einmal 2 hoch 2. Aber Achtung: Wir rechnen hier mit Metern - also einer Einheit! Aus Meter hoch zwei wird eine neue Einheit, nämlich Quadratmeter. Das sind 6 mal 4 Quadratmeter, also ausgerechnet 24 Quadratmeter. Verdammt, das ist ganz schön viel! Moment mal, Ava braucht ja nur die vier Seitenflächen und die eine Deckenfläche für ihr Gewächshaus! Die Bodenfläche hingegen können wir uns in der Berechnung sparen! Wir waren bei 24 Quadratmetern für die gesamte Würfel-Oberfläche. Jetzt ziehen wir davon die Bodenfläche, also eine quadratische Fläche, ab. Denn so erhalten wir den gewünschten Flächeninhalt... ohne Bodenfläche. Eine quadratische Fläche beträgt a zum Quadrat. Weil a zwei Meter lang ist, erhalten wir hierfür 2 Meter hoch zwei, also 4 Quadratmeter. Und 24 minus 4 Quadratmeter ergibt 20 Quadratmeter. Ava ist erleichtert, denn sie hat genug Baumaterial dabei! Nun wollen wir das Volumen des Würfels zu berechnen. Weil das Volumen dreidimensional ist - rechnen wir dafür - a mal a mal a, zusammengefasst - a hoch 3! Mit dieser Formel können wir das Volumen von Avas Gewächshaus ausrechnen! - Ob die Bodenfläche dabei ist oder nicht, ist für das Volumen nämlich egal. Wieder setzen wir 2 Meter für a ein. Das Hoch-Drei bezieht sich auf die Zahl und auf die Einheit. Wir erhalten 8 Meter hoch 3 oder auch 8 Kubikmeter. Fassen wir nochmal zusammen: Ein Würfel wird von quadratischen Flächen begrenzt. Anhand eines Würfelnetzes erkennen wir besonders gut, dass die Oberfläche des Würfels aus 6 gleich großen Quadraten besteht. Daher berechnet sich der Flächeninhalt des Würfels durch den Ausdruck: 6 mal a zum Quadrat, wobei a die Kantenlänge des Würfels ist. Die Oberfläche umschließt das Volumen des Würfels. Du berechnest das Volumen mit dem Ausdruck a hoch 3. Geschafft! Ava und die Karotte fühlen sich pudel-wohl! Hey!! Eine Klappe? Scheinbar ist Ava genau auf der Raumkapsel vom verschollenen Professor Stanley Kubik bruchgelandet!

95 Kommentare
  1. Ich fande das Video super! Hat sehr geholfen.

    Von Soli, vor einem Tag
  2. :) :3

    Von Sumeya ❣️, vor 17 Tagen
  3. Mann kan fil lernen

    Von Christina❤️, vor 19 Tagen
  4. 😆😆😆😆Ds Ende ist wirklich lustig!!!😁😁😁😁

    Von Igel, vor etwa einem Monat
  5. Colle Viedeos

    Von Tora Natter, vor etwa einem Monat
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Würfel – Volumen und Oberfläche Übung

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