Kettenregel – Übung

Kettenregel – Übung Übung

• Bestimme jeweils die innere und die äußere Funktion.

  Tipps

  Wir nennen die innere Funktion $v(x)$ und die äußere Funktion $u(x)$. Die verkettete Funktion $f(x)$ schreiben wir dann formal als:
  $f(x)= u(v(x))$

  Du erkennst die innere Funktion daran, dass du sie beim schrittweise Berechnen des Funktionsterms zuerst berechnest.

  Lösung

  Eine verkettete Funktion liegt immer dann vor, wenn wir die Funktion in eine innere und äußere Funktion teilen können. Du erkennst sie daran, dass du beim Berechnen des Funktionsterms immer zuerst die innere Funktion berechnest und anschließend das Ergebnis in die äußere Funktion einsetzt.

  Wir nennen die innere Funktion $v(x)$ und die äußere Funktion $u(x)$. Die verkettete Funktion $f(x)$ schreiben wir dann formal als:
  $f(x)= u(v(x))$

  Wir betrachten die gegebenen Funktionen:

  • $f(x)= \sin (-2x^2+4)$

  Die innere Funktion lautet: $v(x)= -2x^2+4$

  Die äußere Funktion lautet: $u(x)=\sin(x)$

  • $f(x)= (3x-2)^{-1}$

  Die innere Funktion lautet: $v(x)=3x-2$

  Die äußere Funktion lautet: $u(x)=x^{-1}$

  • $f(x)=(3x^2+5)^7$

  Die innere Funktion lautet: $v(x)=3x^2+5$

  Die äußere Funktion lautet: $u(x)=x^7$

  
  

  Ergänzung:
  Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden. Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich die äußere Ableitung mal die innere Ableitung. Wir schreiben dies formal wie folgt:
  $f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

• Bestimme die Ableitung der Funktion $~f(x) = e^{x^2 -1}~$ mithilfe der Kettenregel.

  Tipps

  Der Term, der die Variable $x$ enthält, ist im Normalfall die innere Funktion.

  Im Exponenten muss bei der Exponentialfunktion nach dem Ableiten immer noch dasselbe stehen.

  Lösung

  Um die Ableitung der gegebenen Funktion zu bilden, müssen wir die Kettenregel anwenden. Diese lautet:
  Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich die äußere Ableitung mal die innere Ableitung.
  Wir schreiben dies formal wie folgt: $f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  Wir leiten diese Schritt für Schritt her:

  $f(x)=e^{x^2 -1}$

  • Die innere Funktion lautet:

  $v(x)=$ $\color{#669900}{\mathbf{x^2-1}}$

  
  

  • Die äußere Funktion lautet:

  $u(x)=$ $\color{#669900}{\mathbf{e^x}}$

  Wir leiten die innere und äußere Funktion ab:

  • $v'(x)=$ $\color{#669900}{\mathbf{2x}}$
  • $u'(x)=$ $\color{#669900}{\mathbf{e^x}}$

  Wir setzen dies in die Formel ein:

  $\begin{array}{ll} f'(x) &= u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{x^2 - 1} \cdot 2x \\ &= \color{#669900}{\mathbf{2xe^{x^2 - 1}}} \end{array}$

• Entscheide, bei welcher der folgenden Funktionen sich die Kettenregel anwenden lässt.

  Tipps

  Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden. Eine verkettete Funktion liegt immer dann vor, wenn wir die Funktion in eine innere und äußere Funktion teilen können.

  Beispiel:

  Bei der Funktion $f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{x}}\ $ können wir die Kettenregel anwenden. Die innere Funktion lautet $v(x)=\sqrt{x}$ und die äußere Funktion lautet $u(x)=\dfrac{1}{x} $.

  Lösung

  Erste Funktion: $f(x)= (x^3-1)^5$
  Es handelt sich um eine verkettete Funktion. Sie teilt sich in folgende Funktionen:

  • innere Funktion:

  $v(x)=x^3-1$
  $\Rightarrow \quad v'(x)=3x$

  • äußere Funktion:

  $u(x)=x^5$
  $\Rightarrow \quad u'(x)=5x^4$

  Die Ableitung lautet dann:

  $f'(x)= 5(x^3-1)^4 \cdot 3x = 15x(x^3-1)^4$

  Die Kettenregel kann angewendet werden.

  $\,$

  Zweite Funktion: $f(x) = \sin x +x^5$
  Es handelt sich nicht um eine verkettete Funktion. Es werden lediglich zwei Funktionen addiert.
  Die Kettenregel kann nicht angewendet werden.

  $\,$

  Dritte Funktion: $f(x)= \sqrt{x^3-1}$
  Es handelt sich um eine verkettete Funktion. Sie teilt sich in folgende Funktionen:

  • innere Funktion:

  $v(x)=x^3-1$
  $\Rightarrow \quad v'(x)=3x$

  • äußere Funktion:

  $u(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
  $\Rightarrow \quad u'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} $

  Die Ableitung lautet dann:

  $\begin{array}{ll} f'(x) &= \dfrac{1}{2} (x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3x \\ & \\ &=\dfrac{3}{2}x \cdot (x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \\ & \\ &= \dfrac{3x}{2\sqrt{x^3-1}} \end{array}$

  Die Kettenregel kann angewendet werden.

  $\,$

  Vierte Funktion: $f(x)= \dfrac{1}{\sin x}$
  Es handelt sich um eine verkettete Funktion. Sie teilt sich in folgende Funktionen:

  • innere Funktion:

  $v(x)=\sin x$
  $\Rightarrow \quad v'(x)=\cos x$

  • äußere Funktion:

  $u(x)=\dfrac{1}{x} = x^{-1}$
  $\Rightarrow \quad u'(x)=-1 \cdot x^{-2} $

  Die Ableitung lautet dann:

  $\begin{array}{ll} f'(x) &= -1 \cdot (\sin x)^{-2} \cdot \cos x \\ & \\ &= -\dfrac{1}{(\sin x)^2} \cdot \cos x \\ & \\ &= -\dfrac{\cos x}{(\sin x)^2} \end{array}$

  Die Kettenregel kann angewendet werden.

  $\,$

  Fünfte Funktion: $f(x) = \dfrac{1}{x} -x$
  Es handelt sich nicht um eine verkettete Funktion. Es werden lediglich zwei Funktionen subtrahiert.
  Die Kettenregel kann nicht angewendet werden.

  $\,$

  Sechste Funktion: $f(x) = e^x$
  Es handelt sich nicht um eine verkettete Funktion.
  Die Kettenregel kann nicht angewendet werden.

• Leite die Funktionen mithilfe der Kettenregel ab.

  Tipps

  $f(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
  $\Rightarrow \quad f'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$

  Ermittle zunächst, was die innere und was die äußere Funktion ist und leite sie jeweils ab.

  Lösung

  Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden:
  $f(x)= u(v(x))$
  $\Rightarrow \quad f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  Wir benennen bei den gegebenen Funktionen jeweils die innere und äußere Funktion und bestimmen deren Ableitung. Anschließend setzen wir in die Formel der Kettenregel ein.

  Erste Funktion:

  $f(x)= (x^2+1)^2$

  • innere Funktion:

  $v(x)=x^2+1$
  $\Rightarrow \quad v'(x)=2x$

  • äußere Funktion:

  $u(x)=x^2$
  $\ \ \Rightarrow \quad u'(x)=2x$

  $\begin{array}{ll}\Rightarrow \quad f'(x) &= 2(x^2+1) \cdot 2x \\ &= (2x^2+2) \cdot 2x \\ &= 4x^3 +4x \end{array}$

  Zweite Funktion:

  $f(x)= \dfrac{1}{(x^2+1)^3}$

  • innere Funktion:

  $v(x)=x^2+1$
  $\Rightarrow \quad v'(x)=2x$

  • äußere Funktion:

  $u(x)=\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$
  $\ \ \Rightarrow \quad u'(x)=-3x^{-4}$

  $\begin{array}{ll} \Rightarrow \quad f'(x) &= -3(x^2+1)^{-4} \cdot 2x \\ &= -6x(x^2+1)^{-4} & \\ &= -\dfrac{6x}{(x^2+1)^4} \end{array}$

  Dritte Funktion:

  $f(x)= \sqrt{x^2+1}$

  • innere Funktion:

  $v(x)=x^2+1$
  $\Rightarrow \quad v'(x)=2x$

  • äußere Funktion:

  $u(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
  $\ \ \Rightarrow \quad u'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} $

  $\begin{array}{ll}\Rightarrow \quad f'(x) &= \dfrac{1}{2} (x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \\ & \\ &= x \cdot (x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \\ & \\ &= \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \end{array}$

  Vierte Funktion:

  $f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

  • innere Funktion:

  $v(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
  $\Rightarrow \quad v'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} $

  • äußere Funktion:

  $u(x)=\dfrac{1}{x} = x^{-1}$
  $\ \ \Rightarrow \quad u'(x)=-1 \cdot x^{-2} $

  $\begin{array}{ll} \Rightarrow \quad f'(x) &= -1 \cdot (\sqrt{x})^{-2} \cdot \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \\ & \\ &= - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{(\sqrt{x})^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} \\ & \\ &= -\dfrac{1}{2 \cdot x \cdot \sqrt{x}} \end{array}$

• Vervollständige die Kettenregel.

  Tipps

  Hier ist ein Beispiel für die Anwendung der Kettenregel:

  $f(x)= (3x^2+5)^7$
  $f'(x)= 7(3x^2+5)^6 \cdot 6x$

  Um die Kettenregel anzuwenden, musst du sowohl die innere als auch die äußere Funktion ableiten.

  Lösung

  Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden. Eine verkettete Funktion liegt immer dann vor, wenn wir die Funktion in eine innere und äußere Funktion teilen können.

  Wir nennen die innere Funktion $v(x)$ und die äußere Funktion $u(x)$. Die verkettete Funktion $f(x)$ schreiben wir dann als:

  $f(x)= u(v(x))$

  Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich die äußere Ableitung mal die innere Ableitung. Wir schreiben dies formal wie folgt:

  $f'(x)= u'(v(x)) \cdot \color{#669900}{\mathbf{v'(x)}}$

  Wir betrachten dazu ein Beispiel:

  $f(x)= (3x^2+5)^7$

  Die innere Funktion lautet hierbei:
  $v(x)=3x^2+5$

  Die äußere Funktion ist $u(x)=x^7$.

  Wir leiten die Funktion ab, indem wir die Kettenregel anwenden. Dazu bilden wir erst die Ableitung der inneren und der äußeren Funktion:

  $\Rightarrow \quad v'(x)= 6x$

  $\Rightarrow \quad u'(x)= 7x^6$

  Die Ableitung der verketteten Funktion lautet also:

  $f'(x)= 7(3x^2+5)^6 \cdot 6x$

• Ermittle die Ableitung der Funktionen.

  Tipps

  Du kannst die Kettenregel mehrmals hintereinander anwenden.

  Die zweifache Anwendung der Kettenregel lässt sich formal so formulieren: $f(x)= w(u(v(x)))$
  $\Rightarrow \quad f'(x)= w'(u(v(x)) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  Lösung

  Beim Ableiten von verketteten Funktionen können wir die Kettenregel anwenden:
  $f(x)= u(v(x))$
  $f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  Bei manchen Funktionen sind auch mehr als zwei Funktionen ineinander verkettet. Wir können die Kettenregel dann mehrmals hintereinander anwenden:

  $f(x)= w(u(v(x)))$
  Wir ermitteln zuerst die Ableitung von $u(v(x))$.
  Diese lautet: $u'(v(x)) \cdot v'(x)$.
  Wir setzen diese in die verkettete Funktion ein und erhalten:

  $f'(x)= w'(u(v(x))) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  Wir führen das bei den gegebenen Funktionen durch:

  1) $f(x)= e^{\sin (x^2+1)}$

  • $v(x)= x^2+1 \quad \Rightarrow \quad v'(x)= 2x$
  • $u(x)= \sin x \quad \Rightarrow \quad u'(x) = \cos x$
  • $w(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad w'(x)= e^x$

  $\begin{array}{ll}\Rightarrow \quad f'(x) &= w'(u(v(x))) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x) \\ & \\ &= e^{\sin (x^2+1)} \cdot \cos(x^2+1) \cdot 2x \\ & \\ &=\color{#669900}{\mathbf{2xe^{\sin (x^2+1)} \cdot \cos(x^2+1)}} \end{array}$

  
  

  2) $f(x)= \sin(e^{x^2+1})$
  

  • $v(x)= x^2+1 \quad \Rightarrow \quad v'(x)= 2x$
  • $u(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad u'(x)= e^x$
  • $w(x)= \sin x \quad \Rightarrow \quad w'(x) = \cos x$

  $\begin{array}{ll}\Rightarrow \quad f'(x) &= w'(u(v(x))) \cdot u'(v(x)) \cdot v'(x) \\ & \\ &= \cos(e^{x^2+1}) \cdot e^{x^2+1} \cdot 2x \\ & \\ &= \color{#669900}{\mathbf{2xe^{x^2+1} \cdot \cos(e^{x^2+1})}} \end{array}$