Lineare und nicht lineare Gleichungen

Lineare und nicht lineare Gleichungen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu linearen und nichtlinearen Gleichungen.

  Tipps

  Steht eine Variable unter einer Wurzel, entspricht das einer Potenz mit dem Exponenten $\frac{1}{2}$, also

  $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.

  Manchmal sind Gleichungen zu kompliziert, um direkt zu bestimmen, ob sie linear sind.

  Die fertig vereinfachte Form einer linearen Gleichung lautet:

  $y=m\cdot x + b$.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Die Graphen nichtlinearer Gleichungen sind Geraden.

  Die Graphen linearer Gleichungen, also Gleichungen, in denen nur Variablen in der ersten Potenz vorkommen, sind Geraden. Die Graphen nichtlinearer Gleichungen lassen sich niemals als Geraden darstellen.

  • Kommt in einer vereinfachten Gleichung eine Variable unter einer Wurzel vor, ist sie linear.

  Lineare Gleichungen beinhalten ausschließlich Variablen in der ersten Potenz. Steht eine Variable unter einer Wurzel, entspricht das der Potenz $\frac{1}{2}$, d. h.

  $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.

  Diese Aussagen sind korrekt:

  • Lineare Gleichungen beinhalten ausschließlich Variablen in der ersten Potenz.

  • In der vereinfachten Form kann man leichter bestimmen, ob eine Gleichung linear ist.

  Manchmal sind Gleichungen zu kompliziert, um direkt zu bestimmen, ob sie linear sind. Dann hilft es, die Gleichung zuerst zu vereinfachen. Eine vollständig vereinfachte lineare Gleichung hat folgende Form:

  $y=a\cdot x + b$.

  • Steht eine Variable in der ersten Potenz, lässt man normalerweise den Exponenten weg.

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• Schildere, wie man lineare Gleichungen erkennt.

  Tipps

  Manchmal sind Gleichungen zu komplex, um direkt zu bestimmen, ob sie linear sind. Deshalb ist es generell hilfreich, Gleichungen zunächst zu vereinfachen.

  Steht eine Variable in der ersten Potenz, lässt man normalerweise den Exponenten weg.

  Das Distributivgesetz lautet:

  $a \cdot (b \pm c) = a b \pm a c$.

  Lösung

  Die Rechnung kannst du so vervollständigen:

  • (...) Um zu bestimmen, ob die Gleichung linear ist, vereinfacht er sie. Dazu schreibt er zuerst gleichartige Terme nebeneinander (...) und rechnet diese aus: $y=6x+3$.

  Manchmal sind Gleichungen zu komplex, um direkt zu bestimmen, ob sie linear sind. Deshalb ist es generell hilfreich, Gleichungen zunächst zu vereinfachen.

  • Hier kommen alle Variablen in der ersten Potenz vor. Die Gleichung ist also linear.

  Steht eine Variable in der ersten Potenz, lässt man normalerweise den Exponenten weg. Das ist auch hier geschehen.

  • (...) Auch diese Gleichung muss zuerst vereinfacht werden. Hier wendet er jedoch das Distributivgesetz an und berechnet: $y=4x^3-8$.

  Das Distributivgesetz besagt: $a \cdot (b \pm c) = a b \pm a c$.

  • Die Variable $x$ ist zur dritten Potenz erhoben. Die Gleichung ist also nichtlinear.

  Nur Gleichungen, in denen alle Variablen in der ersten Potenz vorkommen, heißen linear.

• Bestimme die linearen Gleichungen.

  Tipps

  Steht eine Variable unter einer Wurzel, so kannst du diesen Ausdruck auch als eine Potenz darstellen. Es gilt:

  $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$.

  Bei einer Quadratwurzel ist $n=2$.

  Teilt man eine Variable durch sich selbst, kann man diese kürzen, also:

  $x \cdot \frac{1}{x}= \frac{x}{x} = 1$.

  Lösung

  Die folgenden Gleichungen sind nicht linear:

  • $y=5x^{-3}-4$ und

  • $y=\frac{1}{5} \sqrt{x}$.

  In diesen Gleichungen beträgt die Potenz, zu der die Variable $x$ erhoben ist, nicht $1$. Steht eine Variable unter einer Wurzel, entspricht das einer Potenz mit dem Exponenten $\frac{1}{2}$, also:

  $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.

  • $3=x \cdot y$

  Durch Umformen ergibt sich für diese Gleichung:

  $ y= \frac{2}{x}$.

  Die Variable $x$ ist also nicht zur ersten Potenz erhoben.

  Diese Gleichungen sind linear:

  • $y=5x+3$.

  Hier sind alle Variablen zur ersten Potenz erhoben.

  • $y=2x( \frac{1}{x} + 3+2x)-4x^2$

  Diese Gleichung kannst du vereinfachen zu:

  $\begin{array}{lll} y&=& 2x( \frac{1}{x} + 3+2x)-4x^2\\ y&=& 2x \cdot \frac{1}{x} +2x \cdot 3+2x \cdot 2x-4x^2\\ y &=& 2 +6x+4x^2-4x^2 &\\ y &=& 6x+2\\ \end{array}$

  Hier kommen alle Variablen in der ersten Potenz vor, die Gleichung ist also linear.

• Bilde die Vereinfachung dieser Gleichungen.

  Tipps

  Sieh dir einige Beispiele zum Distributivgesetz an.

  • $3 \cdot (x+1) = 3x+3$
  • $x \cdot (x-2) = x^2-2x$
  • $4x \cdot (\frac 1x+1) = 4+4x$

  Multiplizierst du die Wurzel einer Zahl mit sich selbst, erhältst du die Zahl.

  $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x$

  Lösung

  Die Gleichungen lassen sich folgendermaßen umformen:

  • $y=3x-4+3$ vereinfacht sich zu $y=3x-1$.

  • $y=2x(x-3)+4$ vereinfacht sich zu $y=2x^2-6x+4$.

  • $y \cdot x =2x(3+2x)$ ergibt $y=4x+6$.

  Hier musst du das Distributivgesetz anwenden. Dann erhältst du folgende Rechnung:

  $\begin{array}{llll} y \cdot x &=& 2x(3+2x) &\vert :x\\ y &=& 2(3+2x)\\ y&=& 4x+6 \\ \end{array}$

  • Und $y= \sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ kannst du zu $y=x-1$ vereinfachen.

  Hier siehst du, wie du dabei vorgehst:

  $\begin{array}{lll} y&=& \sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\\ y &=& \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \\ y &=& x-1 \\ \end{array}$

• Untersuche die Aussagen auf Korrektheit.

  Tipps

  Für $m=0$ erhältst du eine Gleichung der Form $y=b$. Der Graph der Gleichung hat an jeder Stelle den gleichen Abstand zur $x$-Achse.

  Um den Schnittpunkt eines Graphen mit der $y$-Achse zu bestimmen, setzt du in die zugehörige Gleichung $x=0$ ein und berechnest die jeweilige $y$-Koordinate.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Die Gleichung $y=x$ ist eine nichtlineare Gleichung.

  • In der Gleichung $y=x$ sind beide Konstanten gleich null.

  Die Gleichung $y=x$ ist eine lineare Gleichung mit den Konstanten $m=1$ und $b=0$.

  Diese Aussagen sind korrekt:

  • Für $m=0$ erhält man eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse ist.

  Für $m=0$ erhältst du eine Gleichung der Form $y=b$. Der Graph der Gleichung hat an jeder Stelle den gleichen Abstand zur $x$-Achse. Somit ist diese Gerade parallel zur $x$-Achse.

  • Der $y$-Achsenabschnitt gibt den $y$-Wert an, an dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  An der Stelle $x=0$ schneidet die Gerade die $y$-Achse. Setzt du $x=0$ in die Gleichung $y=mx+b$ ein, erhältst du

  $y=b$.

  Die Gerade schneidet die $y$-Achse also genau bei $y=b$, dem sogenannten $y$-Achsenabschnitt.

  • Aus einer komplett vereinfachten linearen Gleichung kann man direkt die Steigung der Geraden ablesen.

  Die Konstante $m$ heißt Steigung der Geraden. Ist die lineare Gleichung komplett vereinfacht, kannst du diese Konstante direkt ablesen.

• Gib die Funktionsgleichung der Graphen an.

  Tipps

  Der Graph aller Funktionen mit ausschließlich geraden Potenzen ist eine Parabel.

  Die Wurzelfunktion $y=\sqrt{x}$ ist nur für positive Werte definiert.

  Lösung

  Um die Gleichungen den jeweiligen Graphen zuzuordnen, kannst du verschiedene besondere Eigenschaften der Graphen entdecken, die nur bestimmte Funktionstypen besitzen.

  Graph 1: $y=x^2$

  Der Graph aller Funktionen mit ausschließlich geraden Potenzen, also auch dieser, ist eine Parabel.

  Graph 2: $y=3x-1$

  Gleichungen mit Variablen, die ausschließlich zur ersten Potenz erhoben sind, werden als Geraden dargestellt.

  Graph 3: $y=\sqrt{x}$

  Die Wurzelfunktion $y=\sqrt{x}$ ist nur für positive Werte definiert. Deshalb ist der Graph der Funktion auch nur für positive $x$-Werte, also $x>0$ dargestellt.

  Graph 4: $y=\frac{5}{x}$

  Der Graph dieser Funktion ist für $x=0$ nicht definiert. An dieser Stelle würde man in der Funktion durch $0$ teilen, was in der Mathematik nicht erlaubt ist. Der Graph der Funktion verschwindet hier ins Unendliche.

  Graph 5: $y=-4x^3+8$

  Setzt du in die Gleichung $x=0$ ein, dann erhältst du $y=8$. Diese ist also der einzige Graph, der durch den Punkt $(0 | 8)$ führt.