Versteckte lineare Gleichungen

Versteckte lineare Gleichungen Übung

• Vereinfache die Gleichung.

  Tipps

  Bei Bruchgleichungen, die aus jeweils einem Bruch auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens bestehen, ist es hilfreich, über Kreuz zu multiplizieren.

  Alle Arten von Gleichungen löst man, indem man die Variable so weit wie möglich vereinfacht, also isoliert.

  Lösung

  Wir betrachten im Folgenden das Vorgehen beim Lösen dieser Bruchgleichung:

  $\frac{4-x}{9}=\frac{3x+2}{36}$

  Im ersten Schritt müssen wir über Kreuz multiplizieren. Damit erhalten wir zunächst eine Gleichung, welche wir durch Anwendung des Distributivgesetzes ausmultiplizieren. Es folgt also:

  $\begin{array}{rll} 36 \cdot(4-x) &=& 9\cdot (3x+2) \\ 144-36x &=& 27x+18 \end{array}$

  Um die resultierende Gleichung zu vereinfachen, subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung $144$ und anschließend $27x$. Im darauffolgenden Schritt möchten wir $x$ isolieren und teilen daher beide Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor von $x$:

  $\begin{array}{rlll} 36 \cdot(4-x) &=& 9\cdot (3x+2) \\ 144-36x &=& 27x+18 & \vert -144 \\ -36x &=& 27x-126 & \vert -27x \\ -63x &=& -126 & \vert :(-63) \\ x &=& 2 & \end{array}$

  Somit erhalten wir als Lösung $x=2$.

• Vereinfache die Gleichung.

  Tipps

  Um eine Gleichung zu lösen, musst du die Variable isolieren.

  Um eine Variable zu isolieren, ist es hilfreich, zuerst die Brüche in der Gleichung verschwinden zu lassen.

  Lösung

  Die gegebene Gleichung können wir mithilfe von Äquivalenzumformungen nach der Variable $x$ auflösen: Um die Variable zu isolieren, musst du zuerst über Kreuz multiplizieren und anschließend die Variable isolieren.

  Demnach rechnen wir:

  $\begin{array}{llll} \frac{x}{7}&=&\frac{14}{98} &\vert \cdot 7\ \text{und}\ \cdot 98 \\ x \cdot 98 &=& 14\cdot 7 & \\ 98x &=&98 &\vert :98\\ x &=& 1 & \\ \end{array}$

• Bestimme die Lösung der Gleichung.

  Tipps

  Damit eine Gleichung vollständig aufgelöst ist, muss die Variable $x$ im Zähler stehen.

  Um eine Gleichung aufzulösen, solltest du zuerst versuchen, die Brüche in der Gleichung verschwinden zu lassen.

  Beginne am besten mit der Multiplikation über Kreuz.

  Lösung

  Um die Gleichungen zu lösen, musst du sie so weit wie möglich vereinfachen und nach der Variablen umstellen.

  Beispielsweise wird die Gleichung $\frac{6}{2}=\frac{2}{3x}$ wie folgt gelöst:

  $\begin{array}{llll} \frac{6}{2}&=&\frac{2}{3x} &\vert \cdot x \\ \frac{6}{2}x&=&\frac{2}{3} &\vert \cdot 2\\ 6x&=&\frac{4}{3} &\vert :6\\ x&=&\frac{4}{18} \\ x&=&\frac{2}{9} \\ \end{array}$

  Hier ist es wichtig, die Gleichung so umzuformen, dass die Variable $x$ im Zähler steht. Die anderen Gleichungen kannst du auf ähnliche Weise umformen. Dann ergeben sich folgende Ergebnisse:

  • $\frac{x}{2}=\frac{5}{3}$, Lösung: $x=\frac{10}{3}$

  • $\frac{2x}{5}=\frac{4}{5}$, Lösung: $x=2$

  • $\frac{3}{x}=\frac{5}{2}$, Lösung: $x=\frac{6}{5}$

  • $\frac{6}{2}=\frac{2}{3x}$, Lösung: $x=\frac{2}{9}$

• Bestimme, ob es sich um eine lineare Gleichung handelt.

  Tipps

  Isoliere die Variable $x$, um die Gleichung zu lösen.

  Eine lineare Gleichung enthält nur Variablen in der ersten Potenz.

  Lösung

  Um herauszufinden, welche dieser Gleichungen linear sind, musst du sie so weit wie möglich vereinfachen und anschließend die Potenz überprüfen.

  Diese Gleichungen sind nicht linear:

  • $\frac{x}{2}=\frac{5}{3x}$

  Die Gleichung wird folgendermaßen umgeformt:

  $\begin{array}{llll} \frac{x}{2}&=&\frac{5}{3x} &\vert \cdot x \\ \frac{x^2}{2}x&=&\frac{5}{3} &\vert \cdot 2\\ x^2&=&\frac{10}{3} &\vert \sqrt{}\\ x&=& \pm \sqrt{\frac{10}{3}}\\ \end{array}$

  Das ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $x= \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$, sie ist also nicht linear.

  • $3x-4=5x+3-2x-7$

  Das Umformen dieser Gleichung ergibt:

  $0=0$

  Es ist also keine linare Gleichung.

  Diese Gleichungen sind linear:

  • $x=-3$

  • $\frac{2x}{5}=\frac{4}{5}$

  • $\frac{2}{x}=\frac{5}{3}$

  Bei allen diesen Gleichungen ist die Variable nach dem Umformen zur ersten Potenz erhoben. Sie sind also linear.

• Bestimme die korrekten Aussagen zu versteckten linearen Gleichungen.

  Tipps

  Nur Gleichungen, in denen alle Variablen genau zur ersten Potenz erhoben sind, heißen linear.

  Im Folgenden siehst du, wie du eine lineare Gleichung lösen kannst:

  $\begin{array}{llll} \frac x4 &=& \frac 12 & \vert \ \ddot{\text{u}}\text{ber Kreuz multiplizieren} \\ 2x &=& 4 & \vert :2 \\ x &=& 2 & \end{array}$

  Einen Term der Form $a\cdot (b+c)$ kannst du wie folgt ausmultiplizieren:

  $~ ab+ac$

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • In linearen Gleichungen ist die Variable immer mindestens zur ersten Potenz erhoben.

  • Eine Bruchgleichung kann niemals eine lineare Gleichung sein.

  Nur Gleichungen, in denen alle Variablen genau zur ersten Potenz erhoben sind, heißen linear.

  Diese Aussagen sind richtig:

  • Man kann eine lineare Gleichung mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen umstellen.

  Alle linearen Gleichungen kann man lösen, indem man die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen so weit wie möglich vereinfacht, also die Variable isoliert.

  • In einer linearen Gleichung ist die Variable immer genau zur ersten Potenz erhoben.

  • Folgende Gleichung ist eine lineare Gleichung: $~ 2\cdot (x-1)=4$

  Die Klammern in dieser Gleichung kannst du mithilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und anschließend mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen umstellen. Es folgt dann:

  $\begin{array}{llll} 2\cdot (x-1) &=& 4 & \\ 2x-2 &=& 4 & \vert +2 \\ 2x &=& 6 & \vert :2 \\ x &=& 3 & \end{array}$

• Erarbeite, wie man versteckte lineare Gleichungen mit zwei Variablen vereinfacht.

  Tipps

  In jeder linearen Gleichung sind alle Variablen genau zur ersten Potenz erhoben.

  Um zu bestimmen, ob eine Gleichung linear ist, musst du sie komplett vereinfachen. Dazu musst du versuchen, die Brüche verschwinden zu lassen.

  Lösung

  Um zu prüfen, ob Gleichungen mit zwei Variablen linear sind, gehst du wie folgt vor:

  Wie bei versteckten linearen Gleichungen mit einer Variablen musst du bei zwei Variablen die Gleichung zunächst vereinfachen. Hast du die Gleichung so weit wie möglich vereinfacht, kannst du bestimmen, ob sie linear ist. Dazu musst du überprüfen, ob alle Variablen zur ersten Potenz erhoben sind.

  Nach dem Vereinfachen liegt die Gleichung in folgender Form vor:

  $a\cdot x + b \cdot y =c$

  Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Konstanten und $x$ und $y$ Variablen.

  Die Gleichung $3\cdot x -4 \cdot y =0$ ist komplett vereinfacht, mit den Konstanten $a=3$, $b=-4$ und $c=0$.

  Nun betrachten wir folgende Bruchgleichung:

  $\frac{3}{x}=\frac{2}{y}$

  Die Variablen müssen im Zähler des Bruchs stehen. Dazu multiplizierst du die Gleichung zuerst mit dem Nenner des ersten Bruchs, also $x$. Das ergibt:

  $3=\frac{2x}{y}$

  Danach multiplizierst du die Gleichung mit dem Nenner des verbleibenden Bruchs, also $y$, und erhältst:

  $3y=2x$

  Damit die beiden Terme mit Variablen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens stehen, subtrahierst du $2x$ von beiden Seiten der Gleichung.

  Damit ist klar, dass es sich um eine lineare Gleichung mit zwei Variablen handelt. Das kann man daran erkennen, dass alle Variablen zur ersten Potenz erhoben sind. Die Konstanten lauten $a=3$, $b=-2$ und $c=0$.