Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Mittelwertsatz der Differentialrechnung Übung

• Ergänze den Satz von Rolle.

  Tipps

  Unter der Voraussetzung des Satzes von Rolle ist die Sekante durch die Punkte $(a|f(a))$ und $(b|f(b))$ parallel zur x-Achse.

  Wenn eine Funktion nur auf einem geschlossenen Intervall definiert ist, kann es sein, dass sie an den Rändern des Intervalls nicht differenzierbar ist.

  Schau dir das obige Bild an. Dort ist die Situation des Satzes von Rolle dargestellt.

  Lösung

  Zunächst schauen wir uns die Voraussetzungen des Satzes von Rolle an:

  • $I=[a;b]$. Das bedeutet, dass der Satz von Rolle auf einem abgeschlossenen Intervall erklärt ist.
  • Es muss gelten $f(a)=f(b)$.
  • Die Funktion $f$ soll stetig sein auf dem abgeschlossenen Intervall $I=[a;b]$.
  • Die Funktion $f$ soll differenzierbar sein auf dem offenen Intervall $(a;b)$.

  Nun kommt die eigentliche Aussage des Satzes von Rolle: Es gibt mindestens ein $x_0\in I$, sodass $f'(x_0)=0$.

  Was bedeutet das?

  • Wenn $f(a)=f(b)$ ist, dann hat die Sekante durch die beiden Punkte $(a|f(a))$ sowie $(b|f(b))$ die Steigung $0$.
  • Wenn diese Sekante nun parallel verschoben wird, existiert mindestens ein $x_0\in I$, sodass eine Parallele der Sekante Tangente an den Graphen von $f$ ist.

• Gib den Mittelwertsatz an, welcher den Satz von Rolle verallgemeinert.

  Tipps

  Überlege dir, wie die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte $P(p_x|p_y)$ sowie $Q(q_x|q_y)$ definiert ist. Dies kannst du hier sehen.

  Dieser Term wird als Differenzenquotient bezeichnet.

  Achte bei dem Differenzenquotienten auf die Reihenfolge der Differenzen.

  Beachte, dass der Mittelwertsatz den Satz von Rolle verallgemeinert.

  Der Satz von Rolle hat die Voraussetzungen:

  • $I=[a;b]$
  • $f(a)=f(b)$
  • $f$ ist stetig auf $I=[a;b]$.
  • $f$ ist differenzierbar auf dem offenen Intervall $(a;b)$.

  Dann gilt nach dem Satz von Rolle: Es existiert mindestens ein $x_0\in I$, so dass $f'(x_0)=0$.

  Lösung

  Beim Mittelwertsatz muss $f(a)=f(b)$ nicht gelten. Der Mittelwertsatz verallgemeinert hier den Satz von Rolle. Er gilt natürlich auch wenn $f(a)=f(b)$ ist.

  Die Steigung einer Sekante durch die beiden Punkte $(a|f(a))$ sowie $(b|f(b))$ ist gegeben durch

  $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Nach dem Mittelwertsatz gibt es mindestens eine Stelle $x_0\in I$, sodass die Steigung der Tangente an dieser Stelle gerade die Steigung der obigen Sekante ist.

  Das heißt $f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

• Bestimme die Stelle, an welcher die Steigung der Tangente $0$ ist.

  Tipps

  In diesem Beispiel ist $f$ sogar differenzierbar auf dem abgeschlossenen Intervall $I$.

  Du kannst die gesuchte Stelle an dem obigen Bild erkennen.

  Du leitest Potenzfunktionen mit der hier abgebildeten Potenzregel ab.

  Lösung

  In diesem Bild ist die Situation des Satzes von Rolle zu sehen. Es ist $I=[0;4]$.

  Schauen wir uns die Voraussetzungen an:

  • $f(0)=f(4)=2$ $\surd$
  • $f$ ist sicher stetig und differenzierbar auf $I$.

  Dann muss mindestens ein $x_0$ in diesem Intervall existieren, sodass $f'(x_0)=0$ ist.

  Wir benötigen also die erste Ableitung von $f(x)$: $f'(x)=2x-4$. Wir setzen die erste Ableitung gleich $0$ und lösen nach $x$ auf:

  $\begin{array}{rclll} 2x-4&=&0&|&+4\\ 2x&=&4&|&:2\\ x&=&2 \end{array}$

  Dies ist die gesuchte Stelle, die auch tatsächlich in dem vorgegebenen Intervall liegt.

• Prüfe, ob die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes gegeben sind.

  Tipps

  Hier siehst du die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes:

  • $I=[a;b]$
  • $f$ ist stetig auf $I=[a;b]$.
  • $f$ ist differenzierbar auf dem offenen Intervall $(a;b)$.

  Beachte, dass $f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ sein soll.

  Dafür muss die Funktion an dieser Stelle sicher differnzierbar sein.

  Ist eine Funktion an einer Stelle nicht stetig, so ist sie dort sicher nicht differenzierbar.

  Eine Tangente ist an einer solchen Stelle nicht eindeutig.

  Lösung

  Hier ist eine Funktion mit einer Sprungstelle zu sehen.

  Das bedeutet, dass die Funktion an dieser Stelle nicht stetig und somit sicher auch nicht differenzierbar sein kann.

  Die Sekante durch die beiden Punkte $(0,8|f(0,8))$ sowie $(4|f(4))$ ist hier eingezeichnet. Nun gilt es, die Sekante so zu verschieben, dass sie in einem Punkte den Graphen der Funktion als Tangente berührt.

  Einen solchen Punkt gibt es aufgrund der Sprungstelle nicht. Der Mittelwertsatz kann hier nicht angewendet werden.

  Die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes sind also zwingend. Lässt man eine Bedingung weg, so muss der Satz nicht mehr gelten.

• Beschreibe, wie die Steigung einer Sekanten berechnet werden kann.

  Tipps

  Die Steigung der oben zu sehenden Geraden ist $m=-\frac12$.

  Die Steigung ist gegeben über den Differenzenquotienten.

  Du dividierst die Differenz der y-Koordinaten durch die Differenz der x-Koordinaten. Achte dabei auf die Reihenfolge.

  Die Steigung der Geraden durch die beiden Punkte $P_1(a|f(a))$ sowie $P_2(b|f(b))$ ist ebenfalls gegeben durch

  $m=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

  Lösung

  Der Mittelwertsatz besagt, dass es mindestens eine Stelle $x_0\in I$ gibt, sodass die Steigung der Tangente an den Graphen an dieser Stelle $f'(x_0)$ gleich der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte $P_1(a|f(a))$ sowie $P_2(b|f(b))$ ist.

  Wie kann man diese Steigung berechnen? Hierfür verwendet man den Differenzenquotienten: Man dividiert die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte durch die Differenz der x-Koordinaten. Dabei ist die Reihenfolge wichtig:

  $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$.

  Die Reihenfolge der Punkte muss im Zähler und Nenner des Differenzenquotienten übereinstimmen.

• Ermittle alle Stellen mit Steigung $m$.

  Tipps

  Das gesuchte $x_0$ kann auch am Rand des Intervalls liegen.

  Die Ableitung der obigen Funktion ist gegeben durch

  $f'(x)=3x^2+6x$.

  Für das Intervall $I=[-1;1]$ ist die Gleichung $3x^2+6x=m$ zu lösen.

  Rechne zunächst $-m$ und verwende dann die p-q-Formel.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sollen sowohl der Satz von Rolle als auch der Mittelwertsatz angewendet werden.

  Die Aussage dieser Sätze wird im Mathematikunterricht meist stillschweigend angenommen, ohne die Stetigkeit und Differenzierbarkeit explizit zu thematisieren.

  Die Ableitung von $f(x)=x^3-3x^2+4$ ist $f'(x)=3x^2-6x$.

  Untersuchen wir zunächst das Intervall $I=[-1;2]$:

  Hier sind beide Funktionswerte identisch: $f(x)=0$. Also gilt der Satz von Rolle. Es muss mindestens eine Stelle auf dem Intervall geben, an welcher die erste Ableitung gleich $0$ ist. Dies führt zu der Gleichung:

  $\begin{array}{rclll} 3x^2-6x&=&0&|&\text{ Ausklammern}\\ 3x(x-2)&=&0\\ x_1&=&0\\ x_2&=&2 \end{array}$

  Hier gibt es also zwei Stellen, an denen die Ableitung $0$ ist.

  Untersuchen wir nun das Intervall $I=[-1;1]$:

  Es gilt $f(-1)=0$ und $f(1)=2$. Somit ist $m=\frac{2-0}{1-(-1)}=\frac22=1$. Nun kann der Mittelwertsatz angewendet werden. Die Gleichung $3x^2-6x=1$ ist zu lösen:

  $\begin{array}{rclll} 3x^2-6x&=&1&|&-1\\ 3x^2-6x-1&=&0&|&:3\\ x^2-2x-\frac13&=&0&|&\text{ p-q-Formel}\\ x_{1,2}&=&1\pm\sqrt{1+\frac13}\\ &=&1\pm\sqrt{\frac43}\\ &=&1\pm\frac{2}{\sqrt 3} \end{array}$

  Auch hier liegen zwei solche Stellen vor: $x_{1,2}=1\pm\frac{2}{\sqrt 3}$.