Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung

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Grundlagen zum Thema Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Gesetz der Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis zu nutzen.
Zunächst lernst du, wie sich eine Potenz zusammensetzt. Anschließend siehst du, wie du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst. Abschließend lernst du, wie du Potenzen mit gleicher Basis dividierst und worauf du hierbei achten musst.
Lerne, wie du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst und dividierst, indem du Archimedes bei seinen Überlegungen unterstützt.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Potenzen mit gleicher Basis, Multiplikation, Division, Basis, Exponent, Addition, Subtraktion, Potenzgesetz und Basis ungleich Null.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was Potenzen sind.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Potenzgesetze zu lernen.
Transkript Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung
In seinem Garten im alten Griechenland ist Archimedes tief in Gedanken versunken. Er denkt darüber nach, wie viele Sandkörner man bräuchte, um das Universum zu füllen. Während er so vor sich hin grübelt, bemerkt er ein Kind, das Steine in einem Rechteck anordnet. Heureka! Der mit Steinen gefüllte Raum stellt einen kleinen Teil des Universums dar. Vielleicht kann Archimedes hier etwas lernen. Da das Universum gigantisch groß ist, muss Archimedes Potenzen multiplizieren und dividieren, um dieses Mysterium zu lösen. Archimedes zählt die Steine im Rechteck. Die erste Seite hat eine Länge von 8 Steinen. Und die zweite Seite hat eine Länge von 16 Steinen. Aber was ist das? Die Steine der ersten Seite zählt das Kind als zwei mal zwei mal zwei. Und die der zweiten Seite als zwei mal zwei mal zwei mal zwei. Das Kind zählt die Steine als Vielfache von zwei! Ebenso wie Archimedes wissen auch wir längst, dass man wiederholte Multiplikationen als Potenzen ausdrücken kann. Wenn wir die 2 dreimal mit sich selbst multiplizieren, können wir das als 2 hoch 3 schreiben. Und wenn wir auf der zweiten Seite die 2 viermal mit sich selbst multiplizieren, ist das 2 hoch 4. Wie viele Steine würde das Kind brauchen, um das gesamte Rechteck zu füllen? Um das herauszufinden, müssen wir den Flächeninhalt berechnen, indem wir die eine Seitenlänge mit der anderen multiplizieren. Dabei erhalten wir 2 hoch 3 mal 2 hoch 4. Um Potenzen mit gleicher Basis zu multiplizieren, lösen wir sie zunächst auf. Das bedeutet, wir haben die 2, dreimal mit sich selbst multipliziert mal die 2, viermal mit sich selbst multipliziert. Wie viele Zweien macht das? Wir sehen, dass wir so die 2 sieben mal mit sich selbst multipliziert haben. Und das kann man als 2 hoch schreiben. Fällt dir ein Zusammenhang zwischen den ursprünglichen Exponenten, 3 und 4, und dem neuen Exponenten 7 auf? Wenn wir die Exponenten 3 und 4 addieren, erhalten wir den Exponenten 7. Hm, interessant. Archimedes möchte diese Schlussfolgerung nutzen, um seinem Sandkornproblem noch weiter auf den Grund zu gehen. Er schätzt, dass die Sandmenge in seinem rechteckigen Garten 10 hoch 5 mal 10 hoch 3 Sandkörner beträgt. Lösen wir auch diese beiden Terme zunächst auf. Siehst du, dass wir die 10 achtmal mit sich selbst multiplizieren? Das kann man als 10 hoch 8 schreiben. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den ursprünglichen Exponenten 5 und 3 und dem neuen Exponenten 8? Wenn wir Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, können wir offenbar einfach ihre Exponenten addieren. Das führt uns zu einem wichtigen Potenzgesetz, der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. Anhand der Muster, die wir untersucht haben, erkennen wir, dass wir beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten addieren können. Dieses Gesetz gilt für alle Zahlen und kann uns helfen, Ausdrücke zu vereinfachen. Was aber, wenn wir Potenzen mit gleicher Basis dividieren wollen? Schauen wir uns mal den Bruch 3 hoch 5 geteilt durch 3 hoch 2 an. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, lösen wir den Zähler auf und den Nenner ebenfalls. Weißt du noch? Bei Brüchen können wir gemeinsame Teiler kürzen. Was bleibt dann noch übrig? Wir erhalten 3 hoch 3. Hast du eine Idee, woher der Exponent 3 gekommen ist? Die ursprünglichen Exponenten wurden subtrahiert. Probieren wir noch ein Beispiel, nur um sicherzugehen. Wir wäre es mit 8 hoch 6 geteilt durch 8. Denk dran: Jede Zahl kann als Potenz mit dem Exponenten 1 geschrieben werden. Wieder lösen wir die Potenzen auf und kürzen gemeinsame Teiler. Hält unsere Theorie vom Subtrahieren der Exponenten noch immer stand? Ja, wenn wir Potenzen mit gleicher Basis dividieren subtrahieren wir ihre Exponenten. Dieses Gesetz der Division von Potenzen mit gleicher Basis ist eng mit dem Gesetz der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis verwandt. Auch dieses Gesetz gilt für alle Zahlen mit einer Ausnahme: Da wir mit Brüchen rechnen, darf 'x' nicht gleich Null sein. Wiederholen wir unsere Erkenntnisse: Das Gesetz der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis besagt: Wenn wir Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren wollen, addieren wir ihre Exponenten. Und das Gesetz der Division von Potenzen mit gleicher Basis besagt: Wenn wir Potenzen mit gleicher Basis dividieren wollen, subtrahieren wir ihre Exponenten. Und nicht vergessen: Beim Divisionsgesetz muss die Basis ungleich Null sein. Mit diesem Wissen berechnet Archimedes, dass in unser Universum 10 hoch 51 Sandkörner passen würden. Das wäre eine Eins und dahinter Null, Null, Null, Null, Null, Null, Null, Null, Null, Null…
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Aja ganz gut 👍 4,5 Sterne