Negative Exponenten

Negative Exponenten Übung

• Benenne die Anteile.

  Tipps

  Du teilst in jedem Schritt durch $2$. Das kannst du auch als Multiplikation mit $\frac{1}{2}$ auffassen.

  $2^{-6}$ ist die Hälfte von $2^{-5}=\frac{1}{2^5}$.

  Schreibe negative Potenzen in faktorisierter Form, um den Wert auszurechnen:

  $3^{-3} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27}$

  Lösung

  Beim wiederholten Teilen in zwei gleiche Teile entstehen Potenzen der Zahl $2$ mit negativem Exponenten. Du findest die Brüche, indem du die Potenzen in faktorisierter Form schreibst. Bei einer positiven Potenz von $2$ schreibst du ein Produkt mit so vielen Faktoren, wie der Exponent angibt, z. B. $2^5 = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{5-\text{mal}}$. Bei einer negativen Potenz von $2$ schreibst du einen Bruch mit dem Zähler $1$ und im Nenner die zugehörige positive Potenz der Zahl $2$, also z. B. $2^{-4} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$.

  So erhältst du folgende Wertetabelle:

  $ \begin{array}{|r|r|} \hline \text{Potenz} & \text{Wert} \\ \hline & \\ 2^{-1} & \frac{1}{2} \\ & \\ \hline & \\ 2^{-2} & \frac{1}{4} \\ & \\ \hline & \\ 2^{-3} & \frac{1}{8} \\ & \\ \hline \vdots & \vdots \\ \hline & \\ 2^{-6} & \frac{1}{64} \\ & \\ \hline \end{array} $

• Berechne die Potenzen.

  Tipps

  Verwende für die Division von Potenzen die Regel:

  $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  Beachte die Regel:

  Minus mal Minus ergibt Plus.

  Hier ist ein Beispiel:

  $\frac{5^{2}}{5^{-3}} = 5^{2-(-3)} = 5^{2+3} = 5^5$

  Lösung

  Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, verwendest du die Regel:

  $x^n \cdot x^m = x^{m+n}$

  Du kannst dir die Regel klar machen, indem du die Potenzen in faktorisierter Form schreibst. Ganz analog ergibt sich die Regel für Quotienten von Potenzen derselben Basis:

  $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  Mit diesen beiden Regeln kannst du die Potenzen in der Aufgabe berechnen:

  • $\frac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3$
  • $\frac{2^5}{2^8} = 2^{5-8} = 2^{-3}$
  • $4^{-3} \cdot 4^{-5} = 4^{(-3)+(-5)} = 4^{-8}$
  • $\frac{3^{-1}}{3^{-7}} = 3^{(-1)-(-7)} = 3^{-1+7} = 3^{6}$

• Erschließe die Berechnungen.

  Tipps

  Verwende für negative Potenzen die Regel:

  $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$

  Beim Potenzieren von Potenzen derselben Basis werden die Exponenten multipliziert:

  $(5^2)^3 = (5 \cdot 5)^3 = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) = 5^6 = 5^{2 \cdot 3}$

  Hier ist ein Beispiel:

  $\frac{3^2}{3^{-2}} = 3^{2-(-2)} =3^4$

  Lösung

  Für die Multiplikation und Division von Potenzen derselben Basis kannst du folgende beiden Formeln verwenden:

  $ \begin{array}{rcl} x^m \cdot x^n & =& x^{m+n} \\ \frac{x^m}{x^n} &=& x^{m-n} \\ (x^m) ^n &=& x^{m \cdot n} \end{array} $

  Bei der Multiplikation von Potenzen werden also die Exponenten addiert, bei der Division subtrahiert. Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. So erhältst du folgende Zuordnungen:

  $2^7$:

  • $\frac{2^{-4}}{2^{-11}} = 2^{(-4)-(-11)} = 2^{-4+11} = 2^7$
  • $2^{12} \cdot 2^{-5} = 2^{12+(-5)} = 2^{12-5} = 2^7$
  • $2^{15} \cdot 2^{-8} = 2^{15+(-8)} = 2^{15-8} = 2^7$

  $2^{-7}$:

  • $\frac{2^{4}}{2^{11}} = 2^{4-11} = 2^{-7}$
  • $2^8 \cdot 2^{-15} = 2^{8+(-15)} = 2^{-7}$
  • $\frac{2^{-13}}{2^{-6}} = 2^{-13-(-6)} = 2^{-13+6} = 2^{-7}$

  $2^{11}$:

  • $2^{-4} \cdot 2^{15} = 2^{-4+15} = 2^{11}$
  • $(2^{-11})^{-1} = 2^{(-11) \cdot (-1)} = 2^{11}$
  • $\frac{2^{13}}{2^2} = 2^{13-2} = 2^{11}$

  $2^{-4}$:

  • $(2^{-2})^2 = 2^{(-2) \cdot 2} = 2^{-4}$
  • $(2^{4})^{-1} = 2^{4 \cdot (-1)} = 2^{-4}$
  • $\frac{2^{-12}}{2^{-8}} = 2^{(-12) -(-8)} = 2^{-12+8} = 2^{-4}$

• Bestimme die Basis der negativen Potenzen.

  Tipps

  Eine negative Potenz einer Zahl hat im Nenner eine positive Potenz dieser Zahl: $x^{-n} = \frac {1}{x^n}$

  $\frac{1}{6}$ ist keine Potenz von $3$, da der Nenner auch den Faktor $2$ enthält.

  Die Potenzen der $3$ sind:

  $3^1=3$

  $3^2=9$

  $3^3=27$

  $3^4=81$

  ...

  Lösung

  Jede negative Potenz einer Zahl ist ein Stammbuch mit der zugehörigen positiven Potenz der Zahl im Nenner. Du findest die passenden Brüche, indem du die Nenner daraufhin überprüfst, ob sie Potenzen der vorgegebenen Basen sind.

  Du erhältst dann folgende Zuordnung:

  $2$:

  • $\frac{1}{2} =2^{-1}$
  • $\frac{1}{64}=\frac{1}{2^6}=2^{-6}$

  $3$:

  • $\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2}$
  • $\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=3^{-4}$

  $5$:

  • $\frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3}$
  • $\frac{1}{625}=\frac{1}{5^4}=5^{-4}$

  $10$:

  • $\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}=10^{-2}$
  • $\frac{1}{1.000}=\frac{1}{10^3}=10^{-3}$

  Alle anderen Stammbrüche sind keine negative Potenzen der Zahlen $2$, $3$, $5$ oder $10$. Steht z. B. im Nenner eine Primzahl wie $19$, so kann der Bruch nur eine negative Potenz dieser Primzahl sein: $\frac{1}{19} = 19^{-1}$. Steht im Nenner eine Zahl mit verschiedenen Primfaktoren, z. B. $700$, so ist der Stammbruch ebenfalls nur die negative Potenz dieses Nenners: $\frac{1}{700} = 700^{-1}$. Denn die Primfaktorzerlegung von $700$ lautet: $700 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$. Weil der Primfaktor $7$ nur einmal vorkommt, kann $700$ keine höhere Potenz einer natürlichen Zahl sein.

• Vergleiche die Potenzen.

  Tipps

  Der Exponent gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

  Schreibe die Potenzen in faktorisierter Form, um die Produkte und Quotienten zu berechnen.

  Die dritte Potenz von $3$ ist das Produkt aus drei Faktoren der Zahl $3$:

  $3^3=3 \cdot 3 \cdot 3 =27$

  Lösung

  Die Potenz einer Zahl ist ein mehrfaches Produkt einer Zahl mit sich selbst. Man schreibt die Anzahl der Faktoren als hochgestellte Zahl, den Exponenten. Es bedeutet also $2^3$ ein Produkt der Zahl $2$ mit sich selbst mit drei Faktoren, d. h. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$. Du kannst Produkte und Quotienten von Potenzen ausrechnen, indem du jeweils die Potenzen in faktorisierter Form ausschreibst. Dazu brauchst du die folgenden Regeln:

  • $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$
  • $\frac{x^m}{x^n}=x^m : x^n=x^{m-n}$

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $\frac{3^2}{3^5} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$: Die rechte Seite ist die faktorisierte Schreibweise der linken Seite.

  • $2^2 \cdot 2^2 = 2^{2 \cdot 2}$: Beide Seiten ergeben $2^4=16$. Das gilt aber nur, weil $2 \cdot 2=2+2$ ist.

  • $10^4 = 10.000$: Jede Zehnerpotenz ist eine $1$ mit mehreren Nullen. Die Anzahl der Nullen ist das Gleiche wie der Exponent der Zehnerpotenz.

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $\frac{2^5}{2^2} \neq \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$: Der Zähler der rechten Seite ist $2^4$ statt $2^5$.

  • $2^3 \cdot 2^2 \neq 2^6$: In faktorisierter Schreibweise lautet die Rechnung:

  $2^3 \cdot 2^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 \neq 2^6$.

  • $(10^2)^3 = 100.000$: Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert, daher ist

  $(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1.000.000 \neq 100.000 = 10^5$.

  • $2^4 < 4^2$: Beide Seiten der Gleichung ergeben $16$, daher ist $2^4 = 4^2$.

• Analysiere die Beschreibungen.

  Tipps

  Wächst ein Baum in jedem Jahr um einen halben Meter, so kannst du seine Höhe nicht als negative Potenz von $2$ beschreiben.

  Lösung

  Folgende Beschreibungen sind richtig:

  • Schokolade: Der Schokoladenrest verringert sich jeden Tag auf $\frac{1}{3}$ des Restes des Vortags. Am zweiten Tag bleiben nur $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = 3^{-2}$. Nach $n$ Tagen ist der Rest nur noch $3^{-n} = \frac{1}{3^n}$ der ganzen Tafel.

  • Bakterien: Das Wachstum der Bakterien kann man meistens durch eine positive Potenz beschreiben. Das Medikament führt dazu, dass sich die Menge der Bakterien trotz Wachstum jeden Tag auf $\frac{1}{4}$ verringert. Am ersten Tag der Medikation sind noch $\frac{1}{4}$ der Bakterien übrig, am zweiten Tag nur noch $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = 4^{-2}$ usw.

  Folgende Beschreibungen sind falsch:

  • Schildkröte: Läuft die Schildkröte in einer Stunde einen Meter weit, so entspricht das einem halben Meter in einer halben Stunde usw. Die Geschwindigkeit der Schildkröte ist also immer dieselbe.

  • Training: In der zweiten Woche läuft Frieda $\frac{1}{4}$ mehr als in der ersten Woche, denn $100~\text{m}$ sind $\frac{1}{4}$ von $400~\text{m}$. In jeder weiteren Woche läuft sie jeweils $100~\text{m}$ mehr als in der Vorwoche, also in der dritten Woche $600~\text m$, in der vierten Woche $700~\text m$ usw. Der Anteil, den sie gegenüber der Vorwoche mehr läuft, ist nicht immer $\frac{1}{4}$ und auch keine andere negative Potenz von $4$.