Negative Zahlen oder Null als Exponent

Negative Zahlen oder Null als Exponent Übung

• Beschreibe, wie du Potenzen mit negativen Exponenten ausrechnen kannst.

  Tipps

  Sieh dir folgendes Beispiel zu Potenzen mit negativen Exponenten an:

  • $10^{-5} = \frac {1}{10^5} = \frac {1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

  Die Potenz mit negativem Exponenten wandert also als Potenz mit positivem Exponenten in den Nenner eines Bruches mit $1$ im Zähler. Dann kannst du den Nenner einfach ausrechnen, indem du die Regeln zum Berechnen von Potenzen benutzt.

  Denk immer daran: Durch $0$ kann man nicht teilen – da gibt es also kein definiertes Ergebnis!

  Lösung

  Generell solltest du, um Lückentexte auszufüllen, dir immer erst einmal den Text ganz durchlesen. Meistens findest du dann schon Lücken, die du direkt ausfüllen kannst.

  Ein positiver Exponent bei einer Potenz gibt an, wie oft du die Basis der Potenz mit sich selbst multiplizieren musst.

  Bei negativen Exponenten musst du zunächst die Basis hoch den positiven Exponenten in den Nenner eines Bruches schreiben, der eine $1$ im Zähler hat.

  Beispielsweise kannst du für $2^{-4}$ also erst den Bruch $\dfrac 1 {2^4}$ aufstellen. Anschließend rechnest du den Nenner wie gewohnt aus:

  $\dfrac 1 {2^4} = \dfrac 1 {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \dfrac 1 {16}$

  Genauso gehst du bei $10^{-5}$ vor.

  Allgemein musst du besonders darauf achten, dass die Basis bei negativen Exponenten niemals $0$ sein darf, da du sonst ja durch $0$ teilen würdest – und das ist undefiniert, man kann dafür keinen sinnvollen Wert angeben.

  Wenn aber $x \neq 0$ ist, kannst du $x^{-a}$ für eine positive Zahl $a$ ausrechnen (achte auf das Minus vor dem $a$, dadurch ist der Exponent negativ!):

  $x^{-a} = \dfrac 1 {x^a}$.

• Bestimme die jeweiligen Potenzwerte.

  Tipps

  Es gilt $x\neq 0$, weil die Division durch $0$ nicht definiert ist.

  Allgemein gilt:

  $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

  Dabei ist $a\neq 0$.

  Jede Potenz mit einer Basis ungleich $0$ und einem Exponenten gleich $0$ hat den Potenzwert $1$.

  Lösung

  Die Potenz $a^n$ mit $n>0$ ist die abkürzende Schreibweise für die $n$-fache Multiplikation des Faktors $a$ mit sich selbst. Dabei ist der Faktor $a$ die Basis der Potenz und $n>0$ der Exponent. Es gilt also:

  $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n\text{-mal}}$

  Was ist aber nun, wenn $n=0$ ist?

  Jede Potenz mit einer Basis ungleich Null, also $a\neq 0$ und einem Exponenten gleich Null, also $n=0$ hat den Potenzwert $1$. Es gilt also:

  $a^0=1$ mit $a\neq 0$

  Ist der Exponent negativ, also $-n<0$ und die Basis $a\neq 0$, so gilt:

  $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

  Der Potenzwert ist also ein Bruch mit $1$ im Zähler und der Potenz mit positivem Exponenten im Nenner. Demnach erhalten wir für die gegebenen Potenzen folgende Potenzwerte:

  $2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{16}$

  $x^{-4}=\frac{1}{x^4}=\frac{1}{x\cdot x\cdot x\cdot x}=\frac{1}{x^4}$

  $10^{-5}=\frac{1}{10^5}=\frac{1}{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}=\frac{1}{100000}$

  $x^{0}=1$

• Ermittle die größte Potenz.

  Tipps

  Zum Beispiel ist $2^{-1} = \frac 1 2$.

  Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner besitzt.

  Als Regel könntest du dir also merken: Bei gleicher (positiver) Basis ist die Potenz umso kleiner, je weiter links auf dem Zahlenstrahl der Exponent steht.

  Umgekehrt ist bei gleichem negativen Exponenten die Potenz umso kleiner, je weiter rechts auf dem Zahlenstrahl die Basis steht.

  Lösung

  Als erstes solltest du die Potenzen alle in Brüche umwandeln.

  Dabei musst du immer daran denken, dass $x^{-a} = \frac 1 {x^a}$ ist, wenn $x$ eine beliebige Zahl außer der $0$ ist. Also stehen in der ersten Zeile:

  • $2^{-1} = \frac 1 2$
  • $2^0 = 1$
  • $2^2 = 4$

  Die bringst du jetzt in die richtige Reihenfolge:

  $\frac 1 2~<~1~<~4$

  Genauso gehst du in der zweiten Zeile vor. Hier brauchst du außerdem noch, dass $x^0 = 1$ gilt, solange $x$ nicht $0$ ist. In der Zeile stehen folgende Potenzen:

  • $3^{-2} = \frac 1 {3^2} = \frac 1 9$
  • $3^{-1} = \frac 1 {3^1} = \frac 1 3$
  • $3^0 = 1$
  • $3^1 = 3$

  Somit folgt:

  $3^{-2} < 3^{-1} < 3^0 < 3^1$

  Es war also in diesen beiden Zeilen immer die Reihenfolge der Potenzen die gleiche, wie die aufsteigende Reihenfolge der Exponenten!

  Das kannst du dir merken! Bei gleicher (positiver) Basis ist die Potenz umso kleiner, je kleiner der Exponent ist – also, je weiter links er auf der Zahlengeraden steht.

  In der dritten und letzten Zeile tauchen jetzt auch Potenzen mit verschiedener Basis auf. Darauf musst du also achten!

  Die Potenzen dort sind:

  • $3^{-1} = \frac 1 3$
  • $2^{-1} = \frac 1 2$
  • $2^0 = 1$
  • $3^1 = 3$

  Weil $\frac 1 3$ kleiner ist als $\frac 1 2$, lautet die richtige Reihenfolge:

  $3^{-1} < 2^{-1} < 2^0 < 3^1$

  Es gilt also: Bei gleichem negativen Exponenten ist diejenige Potenz kleiner, deren Basis weiter rechts auf dem Zahlenstrahl steht; also, wo die Basis größer ist.

• Bestimme die Exponenten.

  Tipps

  Wandle die Potenzen in Brüche um.

  Zu jedem Bruch gehört ein Bild, das passend geschrumpft wurde.

  Ist ein Bild nur noch halb so groß wie das Original, wurde es mit dem Faktor $2^{-1} = \frac 1 2$ geschrumpft.

  Lösung

  Zunächst solltest du jede Potenz in einen Bruch umwandeln.

  Dazu benutzen wir folgende Regeln:

  $~a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ mit $a\neq 0$ und $n>0$

  Damit erhalten wir folgende Brüche:

  $2^{-1} = \frac 1 2~$ Wir suchen ein Bild, das auf die Hälfte der Ursprungsgröße geschrumpft wurde.

  $4^0 = 1~$ Das zugehörige Bild hat immer noch die Originalgröße.

  $3^{-2} = \frac 1 {3^2} = \frac 1 9~$ Hier brauchen wir also ein Bild, das auf ein Neuntel geschrumpft wurde.

  $2^{-3} = \frac 1 {2^3} = \frac 1 8~$ Wir brauchen ein Bild, das auf ein Achtel seiner Ausgangsgröße geschrumpft ist.

  $4^{-1} = \frac 1 4~$ Das Bild entspricht also einem Viertel der Originalgröße.

• Benenne die Glieder des jeweiligen Terms.

  Tipps

  Die Hochzahl bei einer Potenz nennt man Exponent.

  Wenn der Exponent kleiner ist als $0$, ist er negativ.

  Was in einer Potenz unten steht, ist die Basis.

  Potenzen mit negativen Exponenten rechnet man aus, indem man $1$ durch die Potenz mit positivem Exponenten teilt.

  Lösung

  Die Basis einer Potenz ist diejenige Zahl, die hoch den Exponenten genommen wird.

  Hier ist die Basis $2$.

  Der Exponent ist bei uns $-4$. Das ist kleiner als $0$ und damit negativ!

  Die Regel zum Berechnen von Potenzen mit negativen Exponenten lautet:

  Eine Potenz mit negativem Exponenten rechnet man aus, indem man $1$ durch die Potenz mit positivem Exponenten teilt.

  Und das ist hier $\dfrac 1 {2^4}$.

• Erschließe die Regel zum Rechnen mit ganzzahligen Exponenten.

  Tipps

  Bei Potenzen mit positiven Exponenten entspricht eine Summe im Exponenten dem Produkt der Potenzen:

  $x^{a+b} = x^a \cdot x^b$.

  Und $x^0=1$ gilt für alle $x$ außer der $0$. Diese Regeln zusammen können so auf ganze Zahlen als Exponenten erweitert werden, dass sie zusammen immer noch funktionieren.

  Lösung

  Du kannst den Lückentext wie folgt vervollständigen:

  „Du weißt, dass eine Potenz mit negativem Exponenten ausgerechnet wird, indem du $1$ durch die Potenz mit dem Betrag des Exponenten teilst, als Gleichung:

  $x^{-a} =\dfrac 1 {x^a}$, solange $x \neq 0$ und $a \gt 0$.

  Der Begriff Betrag ist dabei nicht ganz richtig und wir wollen die Regel auch auf Fälle erweitern, bei denen der Exponent ein beliebiges Vorzeichen haben kann.

  Wir überlegen uns daher gemeinsam, wie du $x^{-n}$ ausrechnest, wenn $n \lt 0$ gilt, also $n$ eine negative Zahl ist.“

  • Möchten wir eine Potenz mit negativem Exponenten, wie beispielsweise $2^{-2}$ berechnen, so teilen wir $1$ durch die Potenz mit dem Betrag des Exponenten, also $\dfrac 1{2^2}$. Wie können wir aber eine allgemeingültige Definition für die Potenz $x^{-a}$ mit $a\in \mathbb{R}$ formulieren?

  „Um unsere Überlegung anstellen zu können, brauchen wir, dass $x^0 =1$ für alle Zahlen $x$ außer der $0$ gilt.

  Jetzt rechnen wir an einem Beispiel:

  $2^{-2} = \dfrac 1 {2^2}$“.

  • Merke dir: Jede Zahl außer der Null mit dem Exponenten $0$ ergibt $1$.

  „Wenn du jetzt $2^{-2}$ mit $2^1$ multiplizierst, findest du als Ergebnis: $~2^{-2} \cdot 2^1 =\dfrac{1}{2^2}\cdot 2=\dfrac{2}{2\cdot 2}= \dfrac 1 2$.

  Es ist also: $~2^{-2} \cdot 2^1 =2^{-1}$.

  Demnach lautet offenbar eine Rechenregel:

  $x^{-a} \cdot x^b = x^{-a +b}$ für Zahlen $x\neq 0$ und $a,b \geq 0$.“

  • Bei Potenzen mit positiven Exponenten entspricht eine Summe im Exponenten dem Produkt der Potenzen: $~x^{a+b} = x^a \cdot x^b$

  „Damit kannst du dir jetzt überlegen, was $x^{-n}$ ist, wenn $n \lt 0$ gilt. Da $x^0=1$ für alle $x$ außer Null gilt, folgt:

  $x^{-n} \cdot x^{n} =1$.

  Teilen wir beide Seiten dieser Gleichung durch $x^n$, so erhalten wir:

  $x^{-n} = \dfrac 1 {x^n}$.

  Die allgemeine Regel für beliebige ganzzahlige Exponenten $a \in \mathbb Z$ und der Basis $x\neq 0$ lautet also:

  $x^{-a} = \dfrac 1 {x^a}$.

  Durch eine Potenz zu teilen ist das Gleiche, wie mit der Potenz zu multiplizieren und in ihrem Exponenten das Vorzeichen zu wechseln.“