Potenzregel bei Ableitungen

Potenzregel bei Ableitungen Übung

• Gib die Potenzregel bei Ableitungen an.

  Tipps

  Beispiel:

  $f(x) = x^4$

  $f^\prime(x) = 4x^3$

  Differentialquotient:

  $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

  Gibt die Steigung einer Funktion bei $x_0$ an.

  Lösung

  Wir können die Steigung eines Funktionsgraphen bereits mithilfe des Differentialquotienten bestimmen:

  $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ gibt die Steigung von $f(x)$ bei $x_0$ an.
  Damit wir nicht jedes mal einen Grenzwert bilden müssen, können wir die Potenzregel zum Ableiten verwenden.

  Potenzregel:

  $f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$

  Wir bilden die Ableitung, indem wir den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und den Exponenten dann um 1 verringern.

  Beispiel:

  $f(x) = x^2$
  $f^\prime(x) = 2 \cdot x^{2-1} = \mathbf{2x}$

• Berechne die Steigung des Graphen.

  Tipps

  Zunächst musst du die Ableitung der Funktion mit der Potenzregel bestimmen.

  Beispiel:

  Lösung

  Um die Steigung eines Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt zu bestimmen, können wir den zugehörigen $x$-Wert in den Term der Ableitung einsetzen. Wir erhalten die gesuchte Steigung.

  Beispiel: $f(x) = x^7 \qquad x_0 = -0,8$

  Wir bestimmen zunächst die Ableitung $f^\prime(x)$ mit der Potenzregel:

  $f^\prime(x) = 7 \cdot x^{7-1} = 7x^6$

  Die Steigung des Graphen von $f$ entspricht dem Wert der Ableitung. Um die Steigung an der Stelle $x_0 = -0,8$ zu erhalten, setzen wir diesen Wert für $x$ in den Term der Ableitung ein:

  $f^\prime(-0,8) = 7 \cdot (-0,8)^6 = 7 \cdot 0,262144 = 1,8350.. \approx 1,8$

  $\Rightarrow$ Der Graph von $f(x)$ hat bei $x_0 = -0,8$ die Steigung $1,8$.

• Bestimme die Steigung an der Stelle $x_0$.

  Tipps

  Potenzregel:

  $f(x) = x^n$
  $f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$

  Steigung von $f(x) = x^2$ bei $x_0 = 2$:

  $f^\prime(x) = 2x$
  $f^\prime(2) = 2 \cdot 2 = 4$

  Lösung

  Um die Steigung eines Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt zu bestimmen, können wir den zugehörigen $x$-Wert in den Term der Ableitung einsetzen. Wir erhalten die gesuchte Steigung.

  Beispiel: $f(x) = x^8 \qquad x_0 = -1$

  Wir bestimmen zunächst die Ableitung $f^\prime(x)$ mit der Potenzregel:

  $f^\prime(x) = 8 \cdot x^{8-1} = 8x^7$

  Die Steigung des Graphen von $f$ entspricht dem Wert der Ableitung. Um die Steigung an der Stelle $x_0 = -1$ zu erhalten, setzen wir diesen Wert für $x$ in den Term der Ableitung ein:

  $f^\prime(-1) = 8 \cdot (-1)^7 = 8 \cdot (-1) = -8$

  Hinweis:
  Der Wert $x_0 = -1$ muss bei der Berechnung von $f^\prime(-1)$ in Klammern gesetzt werden, da sich bei $-1^2$ der Exponent nur auf die Zahl $1$, nicht aber auf das Vorzeichen bezieht.

• Ermittle die Ableitung mithilfe der Potenzregel.

  Tipps

  Potenzregel:

  1. Schreibe den Exponenten als Faktor vor die Potenz.
  2. Verringere den Exponenten um 1.

  Die Potenzregel gilt auch für Exponenten, die keine natürlichen Zahlen sind.

  Beispiel:

  $f(x) = x^{-2}$
  $f^\prime(x) = -2x^{-3}$

  Lösung

  Wir können die Potenzregel anwenden, um die Ableitung einer beliebigen Funktion der Form $x^n$ zu bestimmen. Es gilt:

  $f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$

  Die Regel gilt auch dann, wenn $n$ eine negative Zahl, ein Bruch oder eine Dezimalzahl ist.

  Beispiel 1: $f(x) = x^{137}$
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = 137 \cdot x^{137 - 1} = 137x^{136}$

  Beispiel 2: $f(x) = x^{2,5}$
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = 2,5 \cdot x^{2,5-1} = 2,5x^{1,5}$

  Beispiel 3: $f(x) = x^{-5}$
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = -5 \cdot x^{-5-1} = -5x^{-6}$

  Beispiel 4: $f(x) = x^{-1,5}$
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = -1,5 \cdot x^{-1,5-1} = -1,5x^{-2,5}$

  Beispiel 5: $f(x) = x^{0,5}$
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = 0,5 \cdot x^{0,5-1} = 0,5x^{-0,5}$

• Beschreibe die Bedeutung der Ableitung einer Funktion.

  Tipps

  Der Anstieg eines Funktionsgraphen wird auch momentane oder lokale Änderungsrate genannt.

  Wir können die Ableitung eines Funktionsterms zum Beispiel ermitteln, indem wir den Grenzwert des Differenzenquotienten, den sogenannten Differentialquotienten, bestimmen.

  Lösung

  Wenn wir die Steigung einer Funktion bestimmen wollen, dann können wir dazu die Ableitung der Funktion nutzen. Diese beschreibt den Anstieg des Funktionsgraphen für beliebige $x$-Werte.
  Der Anstieg entspricht der Steigung einer Tangente an den Graphen und wird auch als lokale oder momentane Änderungsrate der Funktion bezeichnet.

  Die folgenden Aussagen sind daher korrekt:

  • Die Ableitung gibt die Steigung einer Tangente an den Graphen an.
  • Die Ableitung beschreibt die lokale Änderungsrate einer Funktion.

  $\,$

  Die folgenden Aussagen sind nicht korrekt:

  • Die Potenzregel ist die einzige Möglichkeit die Ableitung einer Funktion zu ermitteln.

  Wir können die Ableitung auch wie eingangs beschrieben über den Differentialquotienten ermitteln. Zudem gibt es noch weitere Ableitungsregeln, wie zum Beispiel die Faktorregel oder die Kettenregel.

  • Nur Potenzfunktionen haben eine Ableitung.

  Wir können die Ableitung vieler verschiedener Funktionstypen bilden.

• Entscheide, ob die Potenzregel richtig angewendet wurde.

  Tipps

  Überprüfe, ob der Faktor vor $x$ in der Ableitung dem Exponenten der Funktion entspricht.

  Der Exponent wird beim Ableiten mit der Potenzregel stets um 1 verringert.

  Lösung

  Zur korrekten Ableitung einer Funktion der Form $x^n$ mit der Potenzregel schreiben wir den Exponenten $n$ als Faktor vor $x$ und verringern die Zahl im Exponenten um 1. Dabei ist es nicht relevant, ob der Exponent eine natürliche Zahl, eine negative Zahl oder ein Bruch ist.

  Die Regel lautet:
  $f(x)=x^n \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$

  Wir überprüfen, ob die beiden Schritte richtig angewendet wurden:

  Beispiel 1: $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ mit $f^\prime(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{1}{3}}$
  Hier ist $n = \frac{2}{3}$ und $n - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}$
  Der Faktor ist korrekt, aber der Exponent stimmt nicht.

  Beispiel 2: $f(x) = x^{-3}$ mit $f^\prime(x) = -3 \cdot x^{-4}$
  Hier ist $n = -3$ und $n - 1 = -3 - 1 = -4$.
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = -3 \cdot x^{-4}$
  Der Faktor und der Exponent sind korrekt.

  Beispiel 3: $f(x) = x^{0,2}$ mit $f^\prime(x) = 0,2 \cdot x^{-0,2}$
  Hier ist $n = 0,2$ und $n - 1 = 0,2 - 1 = -0,8$.
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = 0,2 \cdot x^{-0,8}$
  Der Faktor ist korrekt, aber der Exponent stimmt nicht.

  Beispiel 4: $f(x) = x^{-9}$ mit $f^\prime(x) = 9 \cdot x^{-10}$
  Hier ist $n = -9$ und $n - 1 = -9 - 1 = -10$.
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = -9 \cdot x^{-10}$
  Der Exponent ist korrekt, aber der Faktor stimmt nicht.

  Beispiel 5: $f(x) = x^{-1,7}$ mit $f^\prime(x) = -1,7 \cdot x^{-2,7}$
  Hier ist $n = -1,7$ und $n - 1 = -1,7 - 1 = -2,7$.
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = -1,7 \cdot x^{-2,7}$
  Der Faktor und der Exponent sind korrekt.

  Beispiel 6: $f(x) = x^{\frac{2}{7}}$ mit $f^\prime(x) = -\frac{2}{7} \cdot x^{-\frac{5}{7}}$
  Hier ist $n = \frac{2}{7}$ und $n - 1 = \frac{2}{7} - 1 = -\frac{5}{7}$.
  $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = \frac{2}{7} \cdot x^{-\frac{5}{7}}$
  Der Exponent ist korrekt, aber der Faktor stimmt nicht.