Summenregel

Summenregel Übung

• Gib die Summenregel an.

  Tipps

  Werden mehrere Terme addiert, so können wir sie einzeln ableiten.

  Beispiel:

  $f(x)=x^4+2x$
  $f'(x)=4x^3+2$

  Lösung

  Eine Potenzfunktion können wir mithilfe der Potenzregel ableiten:
  $f(x)=x^n \quad \rightarrow \quad f'(x)=nx^{n-1}$

  Um eine Funktion abzuleiten, welche aus der Summe mehrerer Teilfunktionen besteht, leiten wir zuerst jeden Summanden einzeln ab. Anschließend addieren wir die einzelnen Ableitungen.
  Wir schreiben:

  $\begin{array}{rcccc} f(x) &=& u(x) &+& v(x) \\ f'(x) &=& u'(x) &+& v'(x) \end{array}$

  Beispiel:

  $f(x)=4x^3+3x^2$
  $f'(x)=3\cdot 4x^2 + 2 \cdot 3x = 12x^2+6x$

  Die Summenregel gilt auch für Differenzen:

  Beispiel:

  $f(x)=-3x^2-5x$
  $f'(x)=-3 \cdot 2x - 5 = -6x-5$

• Beschreibe Eigenschaften der Summenregel.

  Tipps

  Unter einer additiven Konstante verstehen wir eine Zahl, welche addiert wird.

  Beispiel:
  $f(x)= 5x^3-3x^2$
  $f'(x) = 15x^2-6x$
  $f''(x) = 30x-6$
  $f'''(x) = 30$

  Lösung

  Summenregel:
  Um eine Funktion abzuleiten, welche aus der Summe mehrerer Funktionen besteht, leiten wir zuerst jeden Summanden einzeln ab. Anschließend addieren wir die einzelnen Ableitungen. Wir schreiben:
  $\begin{array}{rcccc} f(x) &=& u(x) &+& v(x) \\ f'(x) &=& u'(x) &+& v'(x) \end{array}$

  Wir betrachten nun einige Spezialfälle der Summenregel:

  1. Differenzen:
  Da wir eine Differenz auch als Summe schreiben können, gilt hier auch die Summenregel.
  Beispiel: $f(x) = 2x^3-x^2 = 2x^3 + (-x^2) \quad \to \quad f'(x) = 6x^2 + (-2x) = 6x^2-2x$
  korrekte Aussage: Die Summenregel gilt auch für Funktionen, welche aus der Differenz mehrerer Terme besteht.

  2. Additive Konstanten:
  Unter einer additiven Konstante verstehen wir eine Zahl, welche addiert wird. Diese fällt nach der Potenzregel beim Ableiten weg:
  Beispiel: $f(x)= 4x^2 + 3 = 4x^2 + 3x^0 \quad \to \quad f'(x) = 8x + 0 \cdot 3x^{-1} = 8x+0 = 8x$
  falsche Aussage: Eine additive Konstante bleibt beim Ableiten erhalten.

  3. Höhere Ableitungen:
  Wir können die Summenregel auch auf höhere Ableitungen anwenden:
  Beispiel: $f(x)= 5x^3-3x^2 ~\to~ f'(x) = 15x^2-6x ~\to~ f''(x) = 30x-6 ~\to~ f'''(x) = 30$
  falsche Aussage: Die Summenregel gilt nur für die erste Ableitung.

  4. Produkte:
  Die Summenregel gilt nur für Summen und Differenzen mehrerer Funktionen, nicht aber für Produkte.
  richtige Aussage: Besteht eine Funktion aus dem Produkt mehrerer Terme, so können wir die Summenregel nicht anwenden.

• Berechne die Ableitungen der Funktionen.

  Tipps

  Beispiel:
  $f(x)=3x^6-7x^2+x$
  $f'(x) = 18x^5-14x+1$

  Eine additive Konstante fällt beim Ableiten weg.

  Lösung

  Um eine Funktion abzuleiten, welche aus der Summe mehrerer Potenzen besteht, leiten wir zuerst jeden Summanden einzeln ab. Anschließend addieren wir die einzelnen Ableitungen.

  Summenregel:
  $\begin{array}{rcccc} f(x) &=& u(x) &+& v(x) \\ f'(x) &=& u'(x) &+& v'(x) \end{array}$

  Dies gilt auch für Differenzen, da wir diese durch Klammern als Summe schreiben können.

  Die einzelnen Summanden können wir mithilfe der Potenzregel ableiten:
  $f(x)=x^n \quad \rightarrow \quad f'(x)=nx^{n-1}$
  Dabei fallen additive Konstanten weg.

  So ergeben sich folgende Lösungen:

  1. Funktion:
  $f(x)=4x^2+5x-1$
  $f'(x) = 8x +5$

  2. Funktion:
  $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-4$
  $f'(x) = -x$

  3. Funktion:
  $f(x)=x^{-6} - 3x + \dfrac{8}{3} $
  $f'(x) = -6x^{-7}-3$

  4. Funktion:
  $f(x)=5x-1{,}2 $
  $f'(x) = 5$

• Ermittle die höheren Ableitungen der Funktionen.

  Tipps

  Du kannst die Summenregel auch auf höhere Ableitungen anwenden. Um die zweite Ableitung $f''(x)$ zu bestimmen, leitest du die erste Ableitung $f'(x)$ einfach nach der Summenregel ab.

  Achte darauf, dass additive Konstanten beim Ableiten wegfallen, multiplikative Konstanten hingegen erhalten bleiben.

  Lösung

  Summenregel:
  $\begin{array}{rcccc} f(x) &=& u(x) &+& v(x) \\ f'(x) &=& u'(x) &+& v'(x) \end{array}$

  Wir können die Summenregel auch auf höhere Ableitungen anwenden:

  1. Funktion:
  $f(x)=-4x^3-3x^2+4$
  $f'(x)=-12x^2-6x$
  $f''(x)=-24x-6$
  $f''(x) = -24$

  2. Funktion:
  $f(x)=-3x^{-4}-2x+3$
  $f'(x)= 12x^{-5}-2$
  $f''(x)=-60x^{-6}$
  $f'''(x)=360x^{-7}$

  3. Funktion:
  $f(x)=-3x^4-3x^3+x$
  $f'(x)= -12x^3-9x^2+1$
  $f''(x)=-36x^2-18x$
  $f'''(x)=-72x-18$

• Bestimme die Ableitung der Funktion.

  Tipps

  $f(x)=x^n \quad \rightarrow \quad f'(x)=nx^{n-1}$

  Beispiel:
  $f(x)=3x^5 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 5 \cdot 3x^{5-1} = 15x^4$

  Lösung

  Eine Potenzfunktion können wir mithilfe der Potenzregel ableiten:
  $f(x)=x^n \quad \rightarrow \quad f'(x)=nx^{n-1}$

  Somit ergibt sich für die einzelnen Funktionen:

  • $f(x)=2x^3 \quad\quad\rightarrow \quad f'(x) = 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2$
  • $f(x)=5x^2\quad\quad \rightarrow \quad f'(x) = 2 \cdot 5x^{2-1} = 10x$
  • $f(x)=-4x^2\quad \ \rightarrow \quad f'(x) = 2 \cdot (-4)x^{2-1} = -8x$
  • $f(x)=x^7\ \ \quad\quad \rightarrow \quad f'(x) = 7 \cdot x^{7-1} = 7x^6$
  • $f(x)=2x^6\quad\quad \rightarrow \quad f'(x) = 6 \cdot 2x^{6-1} = 12x^5$

• Entscheide, ab welcher Ableitung alle höheren Ableitungen gleich Null sind.

  Tipps

  Ab wann die höheren Ableitungen gleich Null sind, hängt vom Grad der Funktion ab.

  Die Lösung kann ermittelt werden, indem die höheren Ableitungen der Funktion gebildet werden, bis sich das erste mal eine Ableitung gleich Null ergibt. Alle höheren Ableitungen sind dann auch gleich Null.

  Lösung

  Wir können die Summenregel auch auf höhere Ableitungen anwenden:
  $f(x)=u(x)-v(x)$
  $f'(x)=u'(x)+v'(x)$
  $f''(x)=u''(x)+v''(x)$
  $f'''(x)=u'''(x)+v'''(x)$
  und so weiter.

  Bei ganzrationalen Funktionen sind die höheren Ableitungen ab einem bestimmten Schritt immer gleich Null. Ab wann die Ableitungen gleich Null sind, hängt vom Grad der Funktion ab. Dieser ist gleich dem höchsten Exponenten. Ist der Grad einer Funktion gleich $a$, so sind die höheren Ableitungen ab der $(a+1)$. Ableitung gleich Null.
  Begründung: Dies ergibt sich daraus, dass sich der Exponent beim Ableiten jeweils um eins verringert. Sobald der Exponent gleich Null ist, bleibt nur noch eine Konstante übrig, welche bei der folgenden Ableitung gleich Null ist.

  Bei einer Funktion zweiten Grades beispielsweise sind die Ableitungen also ab $f'''(x)$ gleich Null.

  Wir betrachten dementsprechend die gegebenen Funktionen:

  1. Funktion:
  $f(x)=3x^3-4x+5$
  Es handelt sich um eine Funktion dritten Grades. Die Ableitungen sind also ab $f''''(x)$ gleich Null.
  Die Ableitungen lauten:

  • $f'(x)=9x^2-4$
  • $f''(x)=18x$
  • $f'''(x)=18$
  • $f''''(x)=0$

  
  

  2. Funktion:
  $f(x)=4-\dfrac{3x}{2} = 4 - \dfrac{3}{2}x$
  Es handelt sich um eine Funktion ersten Grades. Die Ableitungen sind also ab $f''(x)$ gleich Null.
  Die Ableitungen lauten:

  • $f'(x)=-\dfrac{3}{2}$
  • $f''(x)=0$

  
  

  3. Funktion:
  $f(x)=\dfrac{x^4-3x^5}{x} - \dfrac{1}{2} = x^3-3x^4 - \dfrac{1}{2} $
  Es handelt sich um eine Funktion vierten Grades. Die Ableitungen sind also ab $f'''''(x)$ gleich Null.
  Die Ableitungen lauten:

  • $f'(x)=3x^2-12x^3$
  • $f''(x)=6x-36x^2$
  • $f'''(x)=6-72x$
  • $f''''(x)=-72$
  • $f'''''(x)=0$

  
  

  Hinweis: Die Lösung kann auch ermittelt werden, indem die höheren Ableitungen der Funktion wie angegeben gebildet werden, bis sich das erste mal eine Ableitung gleich Null ergibt. Alle höheren Ableitungen sind dann auch gleich Null.