Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen

Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen Übung

• Gib an, wie das Grenzwertverhalten gebrochenrationaler Funktionen von Zähler- und Nennergrad abhängen.

  Tipps

  Hier ist der Graph der Funktion $f(x)=\frac1x$ zu sehen.

  Die Asymptoten (im Unendlichen) sind Graphen von Funktionen.

  Der Graph einer Funktion kann nicht parallel zur y-Achse verlaufen.

  Lösung

  Das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen hängt von dem Zähler- sowie Nennergrad ab.

  Der Zählergrad ist der höchste Exponent des Zählers $Z(x)$ und der Nennergrad der höchste Exponent des Nenners $N(x)$.

  Dabei können drei Fälle unterschieden werden:

  Der Nennergrad ist größer als der Zählergrad.

  Dies ist zum Beispiel bei $f(x)=\frac1x$ der Fall.

  Dann ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote der Funktion. Das bedeutet, dass

  $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=0$ ist.

  Der Nennergrad ist gleich dem Zählergrad.

  Hierfür kann man das Beispiel $f(x)=\frac{x+1}x=1+\frac1x$ betrachten.

  Dann ist eine zur x-Achse parallele Gerade durch $y=c$ eine waagerechte Asymptote der Funktion. Das bedeutet, in dem obigen Beispiel ist $c=1$, dass

  $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=c$

  ist.

  Der Nennergrad ist kleiner als der Zählergrad.

  Dies ist zum Beispiel bei $f(x)=\frac{x^2+1}x=x+\frac1x$ der Fall.

  Dann kann mit Hilfe einer Polynomdivision die Funktion immer geschrieben werden als ganzrationaler Teil plus ein Rest. Der Rest geht immer gegen $0$. Das bedeutet, im Unendlichen verhält sich die gebrochenrationale Funktion ebenso wie der ganzrationale Teil.

  In dem Beispiel ist der Nennergrad ist um $1$ kleiner als der Zählergrad: Dann ist die Funktion $a(x)=x$ eine lineare Asymptote.

  Ist der Nennergrad um mehr als $1$ kleiner als der Zählergrad, so ergibt sich eine Näherungskurve als Asymptote.

  Zur Klärung dient ein Beispiel:

  $m(x)=\frac{x^3+2x}{x-1}=x^2+x+3+\frac{3}{x-1}$,

  dies ergibt sich durch eine Polynomdivision. ***Dieses Wort zum Beispiel kennt mein Rechtschreibprogramm nicht, und zeigt es demzufolge als falsch an!***

  Die quadratische Funktion $a(x)=x^2+x+3$ und damit die zugehörige Parabel ist hier die Asymptote.

• Ermittle eine gebrochenrationale Funktion mit den gegebenen Eigenschaften.

  Tipps

  Polstellen sind Nennernullstellen.

  Beachte: Wenn der Nennergrad größer ist als der Zählergrad, dann ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote.

  Wenn der Nennergrad kleiner ist als der Zählergrad, dann ist eine Funktion (linear, quadratisch ...) eine Asymptote der Funktion.

  Hier siehst du ein Beispiel für eine gebrochenrationale Funktion. Der Grenzwert dieser Funktion ist

  $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\frac ab$.

  Lösung

  Bei gegebenen Informationen zu gebrochenrationalen Funktionen können Bedingungen für den Zähler $Z(x)$ und Nenner $N(x)$ sowie die Relation von Zählergrad und Nennergrad hergeleitet werden.

  Da die Funktion eine Polstelle, also eine Nennernullstelle, bei $x=3$ hat, gilt $N(3)=0$, also zum Beispiel $N(x)=x-3$.

  Die Funktion hat eine waagerechte Asymptote $y=-1$, das bedeutet

  • zum einen, dass der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, und
  • zum anderen, dass der Zähler $Z(x)=-x+c$ ist.

  Zuletzt ist noch bekannt, dass die Funktion eine Nullstelle bei $x=2$ besitzt. Also ist $Z(2)=-2+c=0$. Daraus folgt, dass $c=2$ sein muss.

  Gesamt sieht eine mögliche Funktionsgleichung so aus:

  $f(x)=\frac{-x+2}{x-3}$

• Entscheide, welche der Funktionen eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.

  Tipps

  Merke dir:

  • Polstellen von ungeradem Grad haben einen Vorzeichenwechsel und
  • solche mit einem geraden Grad haben keinen Vorzeichenwechsel.

  Eine Polstelle ist eine Nennernullstelle:

  Damit ist eine Polstelle von ungeradem Grad eine ungerade (einfache, dreifache, ...) und eine Polstelle von geradem Grad eine gerade (doppelte, vierfache, ...) Nennernullstelle.

  Bestimme also die Nennernullstelle(n).

  Es liegen drei Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor.

  Lösung

  Polstellen sind Nennernullstellen:

  • Polstellen von ungeradem Grad haben einen Vorzeichenwechsel und
  • solche mit einem geraden Grad haben keinen Vorzeichenwechsel.

  Hier sind einige Beispiele zu sehen:

  • $f(x)=\frac{x^2-1}{(x+2)^2}$: Der Nenner $(x+2)^2$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x=-2$ - hier liegt also kein Vorzeichenwechsel vor.
  • $f(x)=\frac{x^2-1}{x+2}$: Der Nenner $x+2$ hat eine einfache Nullstelle bei $x=-2$ - hier liegt ein Vorzeichenwechsel vor.
  • $f(x)=\frac{x+2}{x^2-2x+1}$: Der Nenner kann wie folgt faktorisiert werden $x^2-2x+1=(x-1)^2$, es liegt also eine doppelte Nullstelle bei $x=1$ vor - hier liegt kein Vorzeichenwechsel vor.
  • $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$: Der Nenner $x-1$ hat eine einfache Nullstelle bei $x=1$ - hier liegt ein Vorzeichenwechsel vor.
  • $f(x)=\frac{x}{x-3}$: Der Nenner $x-3$ hat eine einfache Nullstelle bei $x=3$ - hier liegt ein Vorzeichenwechsel vor.

• Prüfe, welche der Funktionen die gegebenen Eigenschaften besitzt.

  Tipps

  Eine Funktion hat die x-Achse als waagerechte Asymptote, wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad.

  Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind die Nullstellen des Zählers.

  Eine Polstelle ist eine Nennernullstelle.

  Es liegt ein Vorzeichenwechsel an dieser Polstelle vor, wenn diese einen ungeraden Grad hat.

  Lösung

  (A) Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei $\mathbf{x=1}$:

  Das bedeutet, der Zähler ist $0$ für $x=1$. Dies liegt bei den folgenden beiden Funktionen vor:

  • $h(x)=\frac{x-1}{x+2}$
  • $m(x)=\frac{2x-2}{(x-1)^2}$

  (B) Die Funktion besitzt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $\mathbf{x=1}$.

  Hier muss der Nenner $0$ sein für $x=1$. Diese Nullstelle muss einfach, dreifach oder ... sein. Dies ist der Fall bei der Funktion:

  • $g(x)=\frac{x+1}{x-1}$

  Die Funktion $k(x)=\frac{x+1}{(x-1)^2}$ hat zwar auch eine Nennernullstelle bei $x=1$, jedoch ist dies eine doppelte Nullstelle, es liegt also kein Vorzeichenwechsel vor.

  (C) Die Funktion hat die x-Achse als waagerechte Asymptote.

  Der Zählergrad muss echt kleiner sein als der Nennergrad. Dies liegt bei den folgenden beiden Funktionen vor:

  • $l(x)=\frac{1}{x+2}$
  • $n(x)=\frac{x+1}{x^2+2}$

  Die Funktion $k(x)=\frac{x+1}{(x-1)^2}$ erfüllt keine dieser Eigenschaften.

• Beschreibe die Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen.

  Tipps

  Die Funktion $f(x)=\frac1x$ hat eine einfache Nennernullstelle, also Polstelle, bei $x=0$.

  Ein Bruch ist nicht definiert, wenn im Nenner $0$ steht.

  Wenn man von Stellen spricht, ist meist nur $x$ genannt. Ein Punkt hat eine x- sowie eine y-Koordinate $P(x|y)$.

  Lösung

  Eigenschaften von gebrochenrationalen Funktionen:

  • Gebrochenrationale Funktionen besitzen Definitionslücken. Dies sind die Stellen, an welchen der Nenner der Funktion $0$ wird.
  • Insbesondere interessiert das Grenzwertverhalten an diesen Definitionslücken.
  • Diese Definitionslücken werden auch Polstellen genannt.

  Wir schauen uns das Beispiel

  $f(x)=\frac{x}{x-1}$

  an. Diese Funktion ist nicht definiert für $x=1$. Man schreibt dies so

  $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

  An dem Graphen kann man erkennen, dass bei $x=1$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegt.

  • Polstellen von ungeradem Grad haben einen Vorzeichenwechsel und
  • solche mit einem geraden Grad haben keinen Vorzeichenwechsel.

  Sei der Nenner zum Beispiel $(x-1)^2$, dann liegt eine doppelte Nullstelle vor, also eine Polstelle vom Grad $2$. An dieser Polstelle liegt kein Vorzeichenwechsel vor.

• Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung der gebrochenrationalen Funktion mit den gegebenen Eigenschaften.

  Tipps

  Zum Beispiel hat die Funktion

  $f(x)=\frac{x^2+1}x$

  die Funktion $a(x)=x$ als Asymptote.

  An einer Polstelle ist der Nenner $0$. Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss die Vielfachheit dieser Nullstelle ungerade sein.

  Die Funktion $q(x)=x^2+4x+3$ hat die Nullstellen $x=-3$ oder $x=-1$. Sie lässt sich wie folgt faktorisieren:

  $q(x)=(x+3)\cdot (x+1)$.

  Lösung

  Die gesuchte Funktion kann Schritt für Schritt rekonstruiert werden:

  Da die lineare Funktion $a(x)=2x+1$ eine lineare Asymptote ist, kann man schon einmal folgern, dass der Zählergrad um $1$ größer sein muss als der Nennergrad.

  Es ist zusätzlich bekannt, dass die Funktion eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=1$ hat. Das bedeutet, dass der Nenner $N(x)=x-1$ sein kann.

  Gemeinsam mit der Asymptote muss nun gelten:

  $Z(x)=2x^2+bx+c$.

  Zuletzt sind auch noch die Nullstellen der Funktion bekannt: $x=0$ sowie $x=0,5$. Der Zähler lässt sich dann schreiben als $Z(x)=2x(x-0,5)=2x^2-x$.

  Gemeinsam lautet eine mögliche Funktionsgleichung

  $f(x)=\frac{2x^2-x}{x-1}$.