Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen – Beispiel

Rekonstruktion gebrochenrationaler Funktionen – Beispiel Übung

• Beschreibe, was eine gebrochenrationale Funktion ist.

  Tipps

  Sei $p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$, dann ist $n$ der höchste Exponent dieser ganzrationalen Funktion. Dieser wird auch als Grad der Funktion bezeichnet.

  Beachte, dass das Teilen durch $0$ nicht möglich ist.

  Ein Bruch wird $0$, wenn der Zähler $0$ wird.

  Ein Bruch besitzt einen Zähler sowie einen Nenner. Diese sind folgendermaßen verteilt.

  Lösung

  Zunächst einmal klären wir, was eine gebrochenrationale Funktion ist.

  Funktionen dieser Art sehen so aus, wie hier abgebildet.

  Sowohl im Zähler als auch im Nenner befindet sich eine ganzrationale Funktion. Es muss sowohl der Zähler als auch der Nenner untersucht werden.

  Eine gebrochenrationale Funktion kann ebenso wie eine ganzrationale Funktion Nullstellen und Extremstellen haben.

  Was passiert, wenn der Nenner $0$ wird? An diesen Stellen ist die Funktion nicht definiert. Hier können Polstellen, das heißt senkrechte Asymptoten vorliegen.

  Auch im positiven wie negativen Unendlichen nähert sich der Graph an eine Asymptote an. Welcher Art diese Asymptote ist, hängt von dem Verhältnis von Zählergrad zu Nennergrad ab:

  • Der Zählergrad ist der höchste Exponent im Zähler und
  • der Nennergrad der höchste Exponent im Nenner.

  Ist der Zählergrad um $1$ größer als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote, eine Gerade.

  Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, dann existiert eine waagerechte Asymptote.

• Ermittle die zugehörige Funktionsgleichung.

  Tipps

  Die Polstellen sind Nullstellen des Nenners.

  Wenn der Graph eine schräge Asymptote hat, dann ist der Grad des Zählers um $1$ größer als der des Nenners.

  Die Nullstelle einer gebrochenrationalen Funktion ist die Nullstelle des Zählers.

  Lösung

  Der Funktionsgraph habe zwei Polstellen, bei $-2$ und $2$. Bei beiden Polstellen liegt ein Vorzeichenwechsel vor.

  Das bedeutet, dass der Nenner an diesen beiden Stellen $0$ wird.

  Der Nenner ist somit $(x+2)(x-2)=x^2-4$.

  Darüber hinaus besitzt der Graph der Funktion eine schräge Asymptote der Gleichung $y=x$.

  Das bedeutet, dass der Zählergrad um $1$ größer sein muss als der Nennergrad: $ax^3+bx^2+cx+d$.

  Wenn man eine Polynomdivision Zähler $:$ Nenner durchführt, erhält man als ganzrationalen Anteil die Asymptotenfunktion $y=1x+0$ sowie einen Rest.

  Deswegen lautet der Zähler $x^3+0x^2+cx+d$.

  Nun bleibt noch die Nullstelle bei $x=0$. Daraus folgt $d=0$.

  Über $c$ kann keine weitere Aussage getroffen werden.

  Eine mögliche Funktionsgleichung ist hier abgebildet.

• Ordne jeder der Polstellen den möglichen Nenner zu.

  Tipps

  Eine Polstelle ist eine Nennernullstelle.

  Löse jeweils die Gleichung $N(x)=0$, wobei $N(x)$ der jeweilige Nenner ist.

  Sei $N(x)=(x-a)^k$, dann liegt

  • für gerade $k$ kein Vorzeichenwechsel und
  • für ungerade $k$ ein Vorzeichenwechsel

  vor.

  Wenn zum Beispiel zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei $x=1$ sowie $x=2$ vorliegen, dann ist

  $N(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$

  eine mögliche Nennerfunktion.

  Lösung

  Wenn eine gebrochenrationale Funktion rekonstruiert werden soll, kann man dies mit verschiedenen Informationen tun.

  Dabei spielen Polstellen eine entscheidende Rolle: Polstellen sind Nullstellen der Nennerfunktion.

  Es gibt Polstellen mit oder ohne Vorzeichenwechsel. Wie kann man dies unterscheiden? Sei $N(x)=(x-a)^k$ die Nennerfunktion und $x=a$ eine Polstelle, dann gilt:

  • Für gerade $k$ liegt kein Vorzeichenwechsel vor und
  • für ungerade $k$ liegt ein Vorzeichenwechsel vor.

  Nun können wir loslegen:

  • Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei $x=1$ führt zu der Nennerfunktion $(x-1)^2$ oder $(x-1)^4$ oder $(x-1)^6$ ...
  • Zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel, eine bei $x=1$ und eine bei $x=-1$: Dann ist die Nennerfunkion gegeben durch $(x-1)(x+1)=x^2-1$. Natürlich würde auch die Funktion $(x-1)^3(x+1)$ zu den genannten Polstellen führen.
  • Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=-1$ kann die Nennerfunktion $x+1$ oder $(x+1)^3$ oder ... erzeugen.
  • Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei $x=-1$ kommt durch die Nennerfunktion $(x+1)^2$ oder $(x+1)^4$ oder ... zustande.

• Bestimme zu jedem der Funktionsgraphen eine Funktionsgleichung.

  Tipps

  Untersuchen wir einmal die Polstellen der Funktionsgraphen:

  • Der blaue Graph hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=2$.
  • Der grüne Graph hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=0$.
  • Der gelbe Graph hat zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei $x=-1$ sowie $x=1$.

  Wie sieht es mit den Nullstellen aus?

  • Der blaue Graph hat eine Nullstelle bei $x=1,5$.
  • Der grüne Graph hat eine Nullstelle bei $x=-1$.
  • Der gelbe Graph hat eine Nullstelle bei $x=0$.

  Der blaue sowie der gelbe Graph besitzen eine waagerechte Asymptote. Das bedeutet, dass Zähler- sowie Nennergrad jeweils identisch sind.

  Wenn eine waagerechte Tangente $y=0$ vorliegt, dann ist der Nennergrad größer als der Zählergrad.

  Lösung

  Wie beginnen mit dem grünen Graphen:

  • Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=0$ vor. Eine mögliche Nennerfunktion ist $x$.
  • Die waagerechte Asymptote zeigt an, dass Zähler- und Nennergrad identisch sind. Die Asymptote ist $y=1$. Also ist der Zähler gegeben durch $x+b$.
  • $b$ muss $1$ sein, da bei $x=-1$ eine Nullstelle vorliegt.

  Dies führt zu der Funktion $f(x)=\frac{x+1}x$.

  Der blaue Graph hat

  • eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=2$, also ist $x-2$ ein möglicher Nenner.
  • eine waagerechte Asymptote $y=2$. Damit hat auch der Zähler den Grad $1$. Er könnte durch $2x+b$ gegeben sein.
  • eine Nullstelle bei $x=1,5$. Dies führt zu $b=-3$.

  Die gebrochenrationale Funktion, die einen solchen Graphen hat, ist $f(x)=\frac{2x-3}{x-2}$.

  Zuletzt der gelbe Graph:

  • Es liegen zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei $x=-1$ sowie $x=1$ vor. Dies führt zu dem möglichen Nenner $(x+1)(x-1)=x^2-1$.
  • Die waagerechte Tangente bei $y=0$ zeigt an, dass der Zählergrad kleiner sein muss als der Nennergrad. Also ist der Zählergrad entweder $1$ oder $0$. Er muss $1$ sein: $ax+b$.
  • Da bei $x=0$ eine Nullstelle vorliegt, ist $b=0$. $a$ kann jeden möglichen Wert annehmen.

  Somit gelangt man zu der Funktion $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$.

• Gib an, was eine Polstelle ist.

  Tipps

  Dies ist der Graph der Funktion

  $f(x)=\frac x{x+1}$.

  Die Zählernullstelle ist die Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion.

  Wenn Zähler- und Nennergrad einer gebrochenrationalen Funktion übereinstimmen, dann liegt eine waagerechte Asymptote vor.

  Lösung

  Hier ist der Graph der Funktion

  $f(x)=\frac{x}{x+1}$

  zu sehen.

  Die Nennernullstelle ist $x=-1$. Das bedeutet, dass die Funktion dort nicht definiert ist: Es liegt eine Polstelle vor.

  Eine Polstelle besitzt eine senkrechte Asymptote.

  Dies ist bei dem abgebildeten Graphen zu sehen.

• Leite die Funktionsgleichung her.

  Tipps

  Polstellen sind Nennernullstellen.

  Wenn du die Nullstellen einer Funktion kennst, kannst du die Faktoren der Funktion angeben.

  Seien zum Beispiel $x=3$ sowie $x=-2$ Nullstellen einer quadratischen Funktion $f(x)=x^2+bx+c$, dann gilt

  $f(x)=(x-3)(x+2)=x^2-x-6$.

  Eine schräge Asymptote bedeutet, dass der Zählergrad um $1$ größer ist als der Nennergrad.

  Wenn du die Polynomdivision Zähler durch Nenner durchführst, erhältst du die Asymptotenfunktion plus einen Rest.

  Lösung

  Gesucht ist eine gebrochen rationale Funktion. Bekannt sind einige Informationen:

  Zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel: eine bei $x=-1$ sowie eine bei $x=2$.

  Wenn die Nennerfunktion quadratisch mit Streckfaktor $a=1$ ist, dann erhält man $(x+1)(x-2)=x^2-x-2$.

  Da der Graph eine schräge Asymptote $y=4x+4$ hat, weiß man, dass der Grad der Zählerfunktion um $1$ größer ist die Nennerfunktion. Die Zählerfunktion ist somit kubisch $ax^3+bx^2+cx+d$. Die Nullstelle $x=1$ sowie $b=c=0$ führt zu

  $a(x^3-1)=ax^3-a$.

  Zuletzt verwendet man noch die schräge Asymptote $y=4x+4$. Somit ist $a=4$.

  Gesamt erhält man die Funktion

  $f(x)=\frac{4x^3-4}{x^2-x-2}$.