Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel

Nebenwinkel: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$
Scheitelwinkel:

• $\gamma = \alpha = 50^\circ$
• $\delta = \beta = 130^\circ$

Nebenwinkel: $\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$
Scheitelwinkel:

• $\gamma = \alpha = 35^\circ$
• $\delta = \beta = 145^\circ$

$\alpha = \gamma = 120^\circ$ (Scheitelwinkel)
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ (Nebenwinkel)
$\delta = \beta = 60^\circ$ (Scheitelwinkel)

Nebenwinkel: $\alpha = 180^\circ - \delta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Scheitelwinkel:

• $\beta = \delta = 90^\circ$
• $\gamma = \alpha = 90^\circ$

Falsch: Beispielsweise ist $\alpha = 120^\circ$ ein stumpfer Winkel und ein Nebenwinkel zu $\beta = 60^\circ$.

Falsch: Ein überstumpfer Winkel ist größer als $180^\circ$, er kann daher kein Scheitelwinkel oder Nebenwinkel sein.

Richtig: Scheitelwinkel können stumpfe Winkel sein (zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$) und sind stets gleich groß.

Falsch: Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$. Ist einer der beiden Nebenwinkel $90^\circ$, gilt für den anderen Winkel $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Nebenwinkel: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$
Scheitelwinkel:

• $\gamma = \alpha = 45^\circ$
• $\delta = \beta = 135^\circ$

Es soll gelten: $\alpha = 2 \cdot \beta$
Da $\alpha$ und $\beta$ Nebenwinkel sind, gilt:
$\alpha + \beta = 180^\circ$
Nun setzen wir die erste in die zweite Gleichung ein:
$2 \cdot \beta + \beta = 180^\circ$
$3 \cdot \beta = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta = 60^\circ$
Das Ergebnis für $\beta$ können wir wieder in die erste Gleichung einsetzen:
$\alpha = 2 \cdot \beta = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$
Nun wissen wir auch, wie groß die restlichen Winkel (Scheitelwinkel) sind:

• $\gamma = \alpha = 120^\circ$
• $\delta = \beta = 60^\circ$

Es soll gelten: $\delta = \alpha - 20^\circ$
Außerdem wissen wir, dass $\alpha$ und $\delta$ Nebenwinkel sind. Daher gilt:
$\delta + \alpha = 180^\circ$
Nun setzen wir die erste in die zweite Gleichung ein:
$\alpha - 20^\circ + \alpha = 180^\circ$
Daraus folgt:
$2 \cdot \alpha = 200^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 100^\circ$
Nun können wir die Nebenwinkel und Scheitelwinkel berechnen:
Scheitelwinkel: $\gamma = \alpha = 100^\circ$
Nebenwinkel:

• $\beta = 180^\circ - \alpha = 80^\circ$
• $\delta = 180^\circ - \alpha = 80^\circ$

Ein Scheitelwinkel ist ein Winkel an einer Geradenkreuzung, der einem gleich großen Winkel gegenüberliegt.

Scheitelwinkel sind stets gleich groß. Sie haben denselben Scheitelpunkt und ihre Schenkel liegen auf denselben Geraden.

Ein Winkel hat an einer Kreuzung von Geraden immer genau einen Scheitelwinkel.

Ein Scheitelwinkel ist so groß wie der Winkel, der ihm gegenüberliegt. Ist die Größe des gegenüberliegenden Winkels bekannt, ist auch die Größe des Scheitelwinkels bekannt.

Nebenwinkel und Scheitelwinkel sind Bezeichnungen für Winkel an Geradenkreuzungen. Dabei gilt:

• Scheitelwinkel liegen einander gegenüber und sind gleich groß.
• Nebenwinkel liegen nebeneinander entlang einer Geraden. Sie ergänzen sich zu $180^\circ$.

Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann entstehen zwei Paare gleich großer Winkel, diese werden als Scheitelwinkel bezeichnet. Da zum Beispiel für beide Scheitelwinkel $\alpha$ und $\gamma$ gilt, dass $\alpha + \beta = 180^\circ$ (Nebenwinkel) und $\gamma + \beta = 180^\circ$ (Nebenwinkel), können wir gleichsetzen und erhalten: $\alpha + \beta = \gamma + \beta \quad \Rightarrow \quad \alpha = \gamma$

Das Gradmaß eines Scheitelwinkels entspricht dem des gegenüberliegenden Winkels an einer Geradenkreuzung.

Scheitelwinkel treten stets in Paaren auf. An einer Kreuzung von zwei Geraden erhalten wir zwei Paare von Scheitelwinkeln: $\alpha = \gamma$ und $\beta = \delta$.

Ein Winkelpaar besteht aus zwei Winkeln, deren Eigenschaften sich durch ihre gegenseitige Lage bedingen. Es gibt Paare von Scheitelwinkeln, Nebenwinkeln, Stufenwinkeln und Wechselwinkeln. Mehr dazu erfährst du hier.

Stufenwinkel finden wir, wenn eine Gerade $i$ zwei parallele Geraden $g$ und $h$ schneidet. Als Stufenwinkel oder F-Winkel bezeichnen wir dabei die entlang der Geraden $i$ parallel verschobenen gleich großen Winkel, die $i$ jeweils mit $g$ und $h$ einschließt.

Nebenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, das heißt, sie ergänzen sich zu $180^\circ$. Sind zwei Nebenwinkel gleich groß, gilt:
$\alpha + \beta = 2 \cdot \alpha = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 90^\circ = \beta$
Gleich große Nebenwinkel sind also stets rechte Winkel.

Der Nebenwinkel eines spitzen Winkels ist stets ein stumpfer Winkel.

Nebenwinkel treten stets in Paaren auf. An einer Kreuzung von zwei Geraden können wir vier Paare von Nebenwinkeln bilden, die nebeneinander liegen und sich zu einem gestreckten Winkel von $180^\circ$ ergänzen: $\alpha$ und $\beta$, $\beta$ und $\gamma$, $\gamma$ und $\delta$, $\delta$ und $\alpha$.

Ein Nebenwinkel ergänzt einen Winkel zu einem gestreckten Winkel von $180^\circ$.

In der Regel spricht man bei Nebenwinkeln von einem Winkelpaar, das zusammen einen gestreckten Winkel von $180^\circ$ bildet. Dabei kann der Nebenwinkel an einem bestimmten Winkel an einen beliebigen Schenkel anschließen. Der Winkel $\alpha$ hat an einer Geradenkreuzung beispielsweise die Nebenwinkel $\beta$ und $\delta$, die zueinander Scheitelwinkel sind.

Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt stets $180^\circ$. Ist der Winkel $\alpha$ beispielsweise bekannt, kann sein Nebenwinkel $\beta$ aus der Differenz berechnet werden:
$\beta = 180^\circ - \alpha$

Die Gleichheit von Stufenwinkeln folgt daraus, dass die geschnittenen Geraden parallel zueinander sind. Es erfolgt also eine Parallelverschiebung, die als Kongruenzabbildung winkeltreu ist. Umgekehrt folgt aus der Gleichheit der Stufenwinkel ebenfalls die Parallelität der geschnittenen Geraden.

Als Stufenwinkelpaar werden zwei gleich große Winkel bezeichnet, die auf derselben Seite einer Geraden liegen, die zwei parallele Geraden schneidet. Werden zwei parallele Geraden $g$ und $h$ von einer weiteren Geraden geschnitten, gibt es zu jedem der acht Schnittwinkel jeweils einen Stufenwinkel. So entstehen vier mögliche Stufenwinkelpaare.

Das Gradmaß eines Stufenwinkels entspricht dem des zugehörigen Stufenwinkels.

Wechselwinkel finden wir, wenn eine Gerade $i$ zwei parallele Geraden $g$ und $h$ schneidet. Als Wechselwinkel oder Z-Winkel bezeichnen wir dabei die gleich großen Winkel auf unterschiedlichen Seiten von $i$, die $i$ jeweils mit $g$ und $h$ einschließt.

Ein Wechselwinkel ist ein gleich großer Winkel, der beim Schnitt eines Schenkels mit einer zum anderen Schenkel parallelen Geraden entsteht. Wechselwinkel liegen auf unterschiedlichen Seiten des gemeinsamen Schenkels. Beim Nachzeichnen der parallelen und des gemeinsamen Schenkels entsteht ein Z.

Als Wechselwinkelpaar werden zwei gleich große Winkel bezeichnet, die auf verschiedenen Seiten einer Geraden liegen, die zwei parallele Geraden schneidet.

Dass Wechselwinkel gleich groß sind, können wir uns mithilfe von Stufenwinkeln erklären: Zu jedem Winkel eines Stufenwinkelpaars bildet je einer der Wechselwinkel einen Nebenwinkel. Da Nebenwinkel zusammen $180^\circ$ ergeben und die Stufenwinkel gleich groß sind, müssen auch die Wechselwinkel gleich groß sein.

Ein Wechselwinkel entsteht, wenn eine Gerade durch einen Schenkel eines Winkels eine Gerade schneidet, die parallel zum anderen Schenkel des Winkels ist.

Wenn eine Gerade $i$ zwei parallele Geraden $g$ und $h$ schneidet, entstehen sowohl Stufen- als auch Wechselwinkel, die jeweils gleich groß sind.

Für Stufenwinkel (auch F-Winkel) gilt:

• Sie liegen auf derselben Seite der Geraden $i$.
• Zeichnet man die Gerade $i$ und die jeweils zweiten Schenkel der Stufenwinkel nach, entsteht ein F (dieses ist ggf. gespiegelt).

Für Wechselwinkel (auch Z-Winkel) gilt:

• Sie liegen auf unterschiedlichen Seiten der Geraden $i$.
• Zeichnet man die Schenkel der Wechselwinkel auf den Geraden $i$, $g$ und $h$ nach, entsteht ein Z (dieses ist ggf. gespiegelt).

Das Gradmaß eines Wechselwinkels entspricht dem des zugehörigen Wechselwinkels.

Scheitelwinkel an einer Geradenkreuzung sind stets gleich groß.

Eine Winkelbeziehung lässt Aussagen über Winkel zu, die durch ihre Lage zueinander oder zu anderen geometrischen Objekten in Beziehung gesetzt werden können. Insbesondere können Aussagen über die Größen der Winkel getroffen werden, zum Beispiel:

• Scheitelwinkel sind gleich groß.
• Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$.
• Stufenwinkel sind gleich groß.
• Wechselwinkel sind gleich groß.