Schrägbild des Würfels

Schrägbild des Würfels Übung

• Zeige die Schritte beim Zeichnen des Schrägbildes eines Würfels auf.

  Tipps

  Beginne vorn und arbeite dich nach hinten vor.

  Das Schrägbild ist die einzige Möglichkeit, ein räumliches Objekt in der Ebene sinnvoll darzustellen. Dabei werden nicht sichtbare Kanten angedeutet.

  Lösung

  Die wichtigen Schritte beim Zeichnen des Schrägbildes eines Würfels sind:

  1. Zeichne die Vorderfläche. Diese ist ein Quadrat.
  2. Zeichne nach hinten laufende Kanten schräg und verkürzt ein. Um sie schräg zu zeichnen, wird ein Winkel von $45^\circ$ gewählt. Für die Verkürzung gilt: Eine Kästchendiagonale entspricht $1 \text{ cm}$.
  3. Verbinde die Endpunkte dieser Kanten zu einem Quadrat. Die Rückfläche ist kongruent zu der Vorderfläche, nur verschoben.
  4. Nicht sichtbare Kanten, die im Original zum Beispiel durch die Vorderfläche oder Deckfläche verdeckt sind, werden im Schrägbild gestrichelt dargestellt.

• Benenne die wichtigen Eigenschaften des Schrägbildes eines Würfels.

  Tipps

  Hier siehst du ein korrekt gezeichnetes Schrägbild eines Würfels.

  Die Vorder- und Rückfläche sind Quadrate, alle anderen Flächen Parallelogramme.

  Um etwas in der Ebene räumlich darzustellen, deutet man nicht sichtbare Linien meist nur an.

  Lösung

  Die wichtigen Schritte beim Zeichnen des Schrägbildes eines Würfels sind:

  1. Quadratische Vorderfläche zeichnen.
  2. Nach hinten laufende Kanten zeichnen.
  3. Endpunkte dieser Kanten zu einem Quadrat verbinden.

  Dabei sind die folgenden Eigenschaften eines Schrägbildes stets zu beachten:

  • Nicht parallele Kanten im Original sind auch im Schrägbild nicht parallel. Es ändern sich lediglich die Seiten-, Deck- und Grundfläche von Quadraten zu Parallelogrammen.

  • Nach hinten verlaufende Kanten werden verkürzt dargestellt. Sie werden in einem Winkel von $45^\circ$ eingezeichnet.

  • Gegenüberliegende Seiten, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild immmer gleich lang.

  • Unsichtbare Kanten, die zum Beispiel von der Vorder- oder Deckfläche verdeckt werden, werden gestrichelt gezeichnet.

• Ermittle die Schrägbilder eines Würfels.

  Tipps

  Nach hinten verlaufende Kanten werden verkürzt und schräg mit einem Winkel von $45^\circ$ gezeichnet.

  Bei dem hier abgebildeten Schrägbild müssten die nicht sichtbaren Kanten gestrichelt gezeichnet werden.

  Lösung

  Die wichtigsten Eigenschaften beim Schrägbild eines Würfels sind:

  • Die Vorderfläche ist ein Quadrat.
  • Parallele Kanten im Original sind im Schrägbild auch parallel.
  • Nach hinten verlaufende Kanten werden verkürzt dargestellt. $1\text{ cm}$ entspricht hier einer Kästchendiagonalen.
  • Gegenüberliegende Seiten, die in Wirklichkeit gleich lang sind, sind auch im Schrägbild immer gleich lang.
  • Unsichtbare Kanten werden gestrichelt gezeichnet, damit das Schrägbild räumlicher wirkt.

  Damit sind die folgenden Bilder korrekte Schrägbilder von Würfeln:

  • 1. Bild Kantenlänge $1\text{ cm}$
  • 4. Bild Kantenlänge $2\text{ cm}$

  Damit sind die folgenden Bilder keine Schrägbilder von Würfeln:

  • 2. Bild

  Die Vorderfläche ist kein Quadrat, sondern ein Rechteck. Hierbei handelt es sich um einen Quader.

  • 3. Bild

  Nach hinten verlaufende Kanten werden verkürzt dargestellt. Damit sind die Kanten zwar im Schrägbild gleich lang, wären es aber in Wirklichkeit nicht. Daher handelt es sich auch hier um einen Quader. (Wer genau hinschaut, erkennt zudem, dass der Winkel nicht $45^\circ$ entspricht.)

  • 5. Bild

  Unsichtbare Kanten werden gestrichelt gezeichnet, damit es räumlicher wirkt. Auch die Kante hinten links wird von der Vorder- und Deckfläche verdeckt und müsste daher gestrichelt werden.

• Bestimme die Fehler, die beim Zeichnen der Schrägbilder eines Würfels mit $a=1~\text{cm}$ aufgetreten sind.

  Tipps

  Bei dem Schrägbild eines Würfels solltest du immer beachten, dass nach hinten laufende Kanten verkürzt sind.

  In einem Schrägbild sind genau drei Kanten nicht sichtbar: Diese müssen alle gestrichelt sein.

  Lösung

  Bei Schrägbildern von Würfeln solltest du immer beachten, dass

  • die Vorderfläche quadratisch ist,
  • parallele Kanten im Original auch im Schrägbild parallel sind,
  • nach hinten laufende Kanten verkürzt sind,
  • gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und
  • unsichtbare Kanten gestrichelt werden.

  Die folgenden Fehler haben sich eingeschlichen:

  1. Bild

  Hier fehlen die drei verdeckten Kanten. Bei der Ansicht eines Würfels sind sie zwar nicht sichtbar, im Schrägbild werden sie aber zumindest angedeutet, damit es räumlich wirkt.

  2. Bild

  Dieser Würfel ist korrekt gezeichnet.

  3. Bild

  In einem Schrägbild sind genau drei Kanten nicht sichtbar: Diese müssen alle gestrichelt sein.

  4. Bild

  Die nach hinten laufenden Kanten werden verkürzt dargestellt, nicht verlängert. Die Breite zweier Kästchen entspricht normalerweise einem Zentimeter. Für die Verkürzung sagt man, dass dann eine Kästchendiagonale einem Zentimeter entspricht. Hier ist daher die Diagonale zu lang.

  5. Bild

  Die Vorderfläche sollte ein Quadrat sein und kein Rechteck, da alle Kanten eines Würfels gleich lang sind. Hier sieht man einen Quader.

• Gib die Eigenschaften eines Würfels wieder.

  Tipps

  Der Würfel ist ein spezieller Quader, dessen Kanten die gleiche Länge haben.

  Bei einem Würfel unterscheiden sich die Draufsicht, die Vorderansicht und die Seitenansicht nicht.

  Lösung

  Ein Würfel ist ein spezieller Quader. Er hat $8$ Ecken, $6$ gleich große, quadratische Flächen und $12$ gleich lange Kanten.

  Sowohl bei der Draufsicht, der Vorderansicht und der Seitenansicht sieht man immer nur eine Begrenzungsfläche. Diese ist ein Quadrat. Nur im Schrägbild nimmt man den Würfel auf der ebenen Fläche räumlich wahr.

• Worin unterscheiden sich das Schrägbild eines Quaders und das Schrägbild eines Würfels?

  Tipps

  Hier siehst du ein Parallelogramm.

  Lösung

  Jeder Würfel ist auch ein Quader, doch nicht jeder Quader ein Würfel. Dies ist ein wichtiger Punkt, um die Aussagen zu betrachten. Da ein Würfel nur ein spezieller Quader ist, lassen sich viele Eigenschaften übertragen, können aber auch präzisiert werden.

  Die folgenden Aussagen sind richtig:

  • Die Vorderfläche eines Quaders im Schrägbild kann ein Quadrat sein.

  Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck.

  • Die Seitenfläche eines Würfels im Schrägbild ist ein Parallelogramm.

  Die Seitenfläche eines Würfels ist eine Raute, also insbesondere auch ein Parallelogramm.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Die Vorderfläche eines Quaders im Schrägbild ist ein Quadrat und die eines Würfels ein Rechteck.

  Die Vorderfläche eines Quaders ist ein Rechteck und die eines Würfels ein Quadrat, wobei natürlich ein Quadrat ein spezielles Rechteck ist und somit der Würfel ein spezieller Quader, dessen Flächen im Original alles Quadrate sind. Wichtig ist, dass in einem Schrägbild die Vorderfläche eines Würfels niemals ein Rechteck ist.

  • Die nach hinten laufenden Kanten im Schrägbild werden nur beim Würfel verkürzt.

  Die nach hinten laufenden Kanten werden beim Würfel und beim Quader verkürzt dargestellt.

  • Die Deckfläche eines Quaders im Schrägbild ist ein Parallelogramm und die eines Würfels eine Raute.

  Da die nach hinten laufenden Kanten verkürzt dargestellt werden, ist auch die Deckfläche eines Würfels ein Parallelogramm.