Was sind quadratische Funktionen?

Was sind quadratische Funktionen? Übung

• Gib die Eigenschaften der Parabeln an.

  Tipps

  Der Faktor $a=-5$ hat den Betrag $|a|=5$. Der Faktor $a=5$ hat ebenfalls den Betrag $|a|=5$.

  Zeigen Mundwinkel nach oben, hängt das oft mit positiver Stimmung zusammen.

  Multiplizierst du die Funktion $f(x)$ mit der Zahl $-1$, so erhältst du die Funktion $-f(x)$. Wenn du dir den Graphen dieser neuen Funktion ansiehst, wirst du bemerken, dass er genauso aussieht wie der Graph der ursprünglichen Funktion, nur dass er an der $x$-Achse gespiegelt ist. Das gilt für beliebige Funktionen, also auch für quadratische!

  Lösung

  Alle drei Teilaufgaben haben gemeinsam, dass Terme $bx$ (also ein Vielfaches von $x$ ohne Quadrat) nicht vorkommen. Ebenso haben die Funktionen in den Teilaufgaben gemeinsam, dass jeweils keine zu addierende Zahl ohne $x$ vorkommt (diese Zahl heißt in der Normalform $c$). In allen drei Fällen ist also $b$ und $c$ gleich $0$. Wir müssen also nur mit einer vereinfachten Form der Parabel $y=ax^2$ vergleichen.

  Erste Teilaufgabe: $f(x)=\frac{1}{2}x^2$

  Diese Funktion hat den Koeffizienten $a=\frac{1}{2}$ ($a$ ist stets die Zahl, die in der Normalform vor dem $x^2$ steht). Die Zahl $a=\frac{1}{2}$ hat kein negatives Vorzeichen, ist also eine herkömmliche positive Zahl größer als $0$. Der Betrag der Zahl $a=\frac{1}{2}$ ist kleiner als $1$. Wie du in einer Wertetabelle siehst, steigen die Funktionswerte $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ links (negative Zahlen) und rechts (positive Zahlen) immer weiter an, die Parabel ist also nach oben geöffnet:

  $\begin{array}{l|rrrrr} \text{Wert von } x &-2&-1&0&1&2\\ \hline \text{Normalparabel } x^2& 4 & 1 & 0 & 1 & 4\\ \hline \text{Parabel } \frac{1}{2}x^2 & 2 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 2\\ \end{array}$

  Zweite Teilaufgabe: $g(x)=-x^2$

  Der Koeffizient $a$ ist hier $-1$. Diese Zahl ist negativ, also kleiner als $0$. Der Betrag von $-1$ ist $1$, was du durch Weglassen des Minuszeichens erhältst. Eine Wertetabelle zeigt Folgendes: Wenn du dich von dem $x$-Wert $0$ entfernst, bei dem die Parabel den $y$-Wert $0$ erreicht, fallen die $y$-Werte ab. Somit ist die Parabel nach unten geöffnet:

  $\begin{array}{l|rrrrr} \text{Wert von } x &-2&-1&0&1&2\\ \hline \text{Parabel } -x^2& -4 & -1 & 0 & -1 & -4\\ \end{array}$

  Dritte Teilaufgabe: $h(x)=6x^2$

  Diese Funktion vergleichst du am besten mit der Vereinfachung der Normalform $y=ax^2$. In diesem Fall muss $a=6$ sein. Diese Zahl $a=6$ ist größer als $0$ und hat auch einen größeren Betrag als $1$. Wie alle Parabeln mit einem positiven Koeffizienten $a$ ist die Parabel also nach oben geöffnet. Das kannst du wieder anhand einer Wertetabelle nachvollziehen:

  $\begin{array}{l|rrrrr} \text{Wert von } x &-2&-1&0&1&2\\ \hline \text{Parabel } 6x^2& 24 & 6 & 0 & 6 & 24\\ \end{array}$

• Bestimme die zu den abgebildeten Parabeln gehörigen Funktionen.

  Tipps

  Eine kleine Wertetabelle für die Normalparabel ist die folgende:

  $\begin{array}{r|r|r|r} x~ & -1 & 0 & 1\\ \hline \text{Funktionswert } f(x) & 1& 0 & 1 \end{array}$

  Kennst du den Graphen zu einer Funktion $f(x)$, könnte dir dieser Trick helfen: Wenn du den Graphen an der $x$-Achse spiegelst, erhältst du den Graphen der Funktion $-f(x)$. So kannst du zum Beispiel von Parabeln mit positivem Faktor $a$ auf Parabeln mit negativem $a$ übergehen.

  Betrachten wir eine Parabel mit unbekanntem $a$-Wert (und $b=c=0$), die an der Stelle $x=2$ den folgenden Funktionswert hat:

  $g(2)=a\cdot 2^2 = 2$

  Wir müssen also die Gleichung $a\cdot 2^2 = 2$ lösen, um einen Wert für $a$ zu erhalten.

  Lösung

  1. Parabel

  Die erste Parabel ist die einzige, die negative Funktionswerte aufweist. Da das Quadrat einer Zahl immer größer oder gleich null ist, können die negativen Werte nur von dem Vorzeichen „$-$“ in $f(x)=-x^2$ stammen. Diesen Verdacht können wir noch an drei anderen Stellen prüfen. Für die Funktion gilt nämlich die folgende Wertetabelle:

  $\begin{array}{r|r|r|r} x~ & -1 & 0 & 1\\ \hline \\ \text{Funktionswert } f(x)=-x^2 & -1& 0 & -1 \end{array}$

  Die Punkte $(-1\vert{-1})$, $(0\vert0)$, $(1\vert{-1})$ sind also in der zu $f(x)=-x^2$ gehörigen Parabel enthalten, was der abgebildeten Parabel entspricht.

  2. Parabel

  Die zweite Parabel können wir der Gleichung $f(x)=x^2$ zuordnen. Diese durchläuft unter anderem die folgenden Funktionswerte:

  $\begin{array}{r|r|r|r} x~ & -1 & 0 & 1\\ \hline \\ \text{Funktionswert } f(x)=x^2 & 1& 0 & 1 \end{array}$

  Kombinieren wir die Werte von $x$ und $f(x)=x^2$ zu Punkten der Form $(x\vert f(x))$, so sehen wir, dass die Punkte $(-1\vert 1)$, $(0\vert0)$ und $(1\vert1)$ in der Parabel enthalten sind. Das passt auch zur Abbildung.

  3. Parabel

  Die Gleichung zur dritten Parabel ist $f(x)=6x^2$. Die größere Zahl $a=6$ in der Normalform der Parabel $f(x)=ax^2$ bewirkt, dass die Parabel rascher ansteigt, sobald wir uns von dem $x$-Wert $0$ entfernen. Das sieht man auch in einer Wertetabelle:

  $\begin{array}{r|r|r|r|r|r} x~ & -1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 1\\ \\ \hline \\ \text{Funktionswert } f(x)=6x^2 & 6 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2} & 6 \end{array}$

  Schon für betragsmäßig kleine $x$-Werte wie $-\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ sind die Funktionswerte hier größer als $1$. Das heißt, im Vergleich zur Normalparabel werden dieselben Funktionswerte früher erreicht, was erneut den steileren Anstieg verdeutlicht.

  4. Parabel

  Die vierte Parabel, die im Vergleich zu den anderen Parabeln in Bezug auf die $y$-Achse gestaucht ist, entspricht der Gleichung $f(x)=\frac{1}{2}x^2$. In der Abbildung der Parabel ist der Punkt $(2\vert2)$ hervorgehoben. Davon motiviert, untersuchen wir das Paar von $x$-Wert $2$ und Funktionswert $f(x)=f(2)=2$. Mit der allgemeinen Form $f(x)=ax^2$ erhalten wir für diesen Spezialfall $2=f(2)=a \cdot 2^2=a\cdot 4$. Also rechnen wir, indem wir die Gleichung $a\cdot 4 = 2$ durch $4$ teilen:

  $\begin{array}{lll} a &=& \frac{2}{4} \\ \\ &=& \frac{1}{2} \end{array}$

  Gegenüber der Normalparabel, bei der an der Stelle $x=2$ der Funktionswert $4$ auftritt, ist der Funktionswert von $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ genau auf die Hälfte, nämlich $f(2)=2$, reduziert. Diese Verkleinerung auf die Hälfte entspricht genau der Verkleinerung des Vorfaktors $a$ auf die Hälfte, nämlich von $1$ auf $\frac{1}{2}$.

• Ordne den abgebildeten Parabeln Eigenschaften zu.

  Tipps

  Strecken wir eine Parabel in $y$-Richtung, so vergrößert sich der Betrag des Faktors $a$ in der zugehörigen quadratischen Funktion.

  Falls die Funktion zur Parabel die Form $f(x)=ax^2$ hat, kannst du durch Einsetzen und Berechnen einzelner Punkte um $x = 0$ herum testen, wie der grundsätzliche Verlauf in Abhängigkeit des Vorzeichens von $a$ ist. Setze zum Beispiel $-1$, $0$ und $1$ ein.

  Lösung

  Im ersten Diagramm ist eine nach oben geöffnete Parabel abgebildet. Das heißt, dass die Arme der Parabel ansteigen, wenn man vom Zentrum nach links und rechts dem Funktionsverlauf folgt. Die Parabel hat (wie die Normalparabel $y = x^2$) ihren Scheitelpunkt in $(0\vert 0)$. Auf der abgebildeten Parabel liegt der Punkt $(1 \vert 3)$. Dieser ist weiter von der $x$-Achse entfernt als der entsprechende Punkt $(1\vert 1)$ der Normalparabel. Damit ist die abgebildete Parabel in $y$-Richtung gestreckt.
  Diese Streckung der Parabel ist gleichbedeutend mit $a>1$ in der zugehörigen quadratischen Funktion in der Normalform. Der genaue Wert für $a$ (den du durch Rechnung noch einmal überprüfen solltest) beträgt $a=3$. Die abgebildete Parabel ist also $y=3x^2$.

  Im zweiten Diagramm sehen wir eine nach unten geöffnete Parabel, was bedeutet, dass $a<0$ ist. Die Parabel ist, wiederum im Vergleich mit der Normalparabel, in $y$-Richtung gestaucht. Das bedeutet $|a|<1$. Den genauen Wert $a=-\frac{1}{4}$ kannst du durch Vergleich des Verlaufs der abgebildeten Parabel und der Normalparabel an der Stelle $x=2$ ablesen. Die Normalparabel hätte hier einen $y$-Wert von $4$. Die abgebildete Parabel hat stattdessen den Wert $-1$.

  Die dritte abgebildete Parabel ist nach oben geöffnet. Das ist wieder gleichbedeutend mit $a>0$. Sie ist außerdem in $y$-Richtung gestaucht, also gilt $|a|<1$. Wollen wir den genauen Wert für $a$ wissen, können wir ihn ausrechnen. Dazu brauchen wir nur einen Punkt $(x\vert f(x))$ zu kennen. In diesem Beispiel nutzen wir dafür den Punkt $(2\vert 1)$:

  $\begin{array}{lllll} f(2) &=& a\cdot 2^2 & =1&\\ a\cdot 4 &=& 1 & &\vert :4 \\ a &=& \frac{1}{4} &&\\ \end{array}$

• Ermittle, welche Eigenschaften der Faktor $a$ aus der Normalform der Parabel hat.

  Tipps

  Parabeln mit negativem $a$ treten zum Beispiel in der Physik bei Flugbahnen von geworfenen Objekten auf.

  Lösung

  Die abgebildete Parabel links oben hat einen Faktor $a>0$, da sie nach oben geöffnet ist. Der Betrag $|a|$ ist größer als $1$, da sie schneller als die Normalparabel ansteigt.
  (Die abgebildete Parabel gehört zur Funktion $f(x)=4x^2-2$. Auch wenn hier nicht nach der Funktion gefragt ist, kannst du das einmal selbst nachrechnen.)

  Die oben mittig abgebildete Parabel hat einen Faktor $a>0$ in der zugehörigen Funktion in der Normalform, da die Parabel nach oben geöffnet ist. Der Betrag $|a|$ ist kleiner als $1$, da die abgebildete Parabel im Vergleich zur Normalparabel in $y$-Richtung gestaucht ist. Vom tiefsten Punkt, dem Scheitel, der einen $y$-Wert von etwa $-1$ hat, müssen wir mehr als $2$ Einheiten nach rechts oder links schreiten, bis der $y$-Wert auf $0$ angestiegen ist und die Parabel die $x$-Achse schneidet. Das heißt, dass die abgebildete Parabel langsamer als die Normalparabel ansteigt.
  (Die abgebildete Parabel gehört zur Funktion $f(x)=\frac{1}{9} x^2 + \frac{1}{9}x - 1$.)

  Die rechts abgebildete Parabel hat ihren tiefsten Punkt $(1\vert -1)$ beim $x$-Wert $x=1$. Außerdem verläuft sie durch den Punkt $(2\vert 0)$. Eine Änderung des $x$-Werts vom $x$-Wert des Scheitelpunkts weg um eine Differenz von $1$ führt bei der abgebildeten Parabel also zu einem Anstieg des $y$-Werts um $1$. Das bedeutet, dass die abgebildete Parabel genauso schnell ansteigt wie die Normalparabel und in der Funktion zur abgebildeten Parabel $a=1$ ist.
  (Die abgebildete Parabel ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2-2x$.)

  Die unten links abgebildete Parabel ist nach unten geöffnet. Also ist $a<0$.
  (Diese Parabel gehört zur Funktion $f(x) = -x^2-2x$.)

  Die letzte, unten mittig abgebildete, Parabel ist nach unten geöffnet. Deshalb ist $a<0$.
  (Die abgebildete Parabel ist der Graph der quadratischen Funktion $f(x)=-\frac{1}{16}x^2$.)

• Gib wieder, welche Aussagen zu Parabeln und ihren Gleichungen korrekt sind.

  Tipps

  Du siehst hier Smileys, die wir wie folgt beschreiben können: eine große gelbe Kreisscheibe, überschrieben mit je zwei schwarzen Kreisscheiben und einer nach oben oder unten geöffneten schwarzen Parabel. Hoffen wir, dass der Programmierende einen guten Tag hat und ein $a>0$ für die Parabeln wählt.

  Falls die Parabeln zu den Gleichungen $f(x)=6x^2$ und $g(x)=x^2$ gleich sind, so sind sie auch gleich steil.

  Im Gegensatz zu Geraden, die überall die gleiche Steigung haben, ändern Parabeln während ihres Verlaufs ihre Steigung.
  Dafür ist in der Normalform einer Parabel, also $f(x)=ax^2+bx+c$, aber nur der Term $ax^2$ verantwortlich. Wenn wir diesen Term streichen, erhalten wir folgende Funktion:

  $f(x)=bx+c$

  Diese kennst du bereits als Normalform einer anderen Art von Funktionen! (Lass dich hier nicht von den Namen der Parameter verunsichern, nur auf die Form der Gleichung kommt es an.)

  Lösung

  1. Aussage

  • Alle Parabeln lassen sich aus der Normalparabel erzeugen, indem man sie an der $x$-Achse spiegelt oder passend in $y$-Richtung verschiebt.

  Diese Aussage ist falsch. Denn betrachtest du die Parabel zu der quadratischen Funktion $f(x)=2x^2$, so fällt dir auf, dass die Parabel im Vergleich zur Normalparabel in Bezug auf die $y$-Achse gestreckt ist und steiler ansteigt. Diese Streckung können wir weder durch Spiegelung noch durch Verschieben erreichen. Um aus der Normalparabel alle beliebigen Parabeln zu erzeugen, müssen wir Kombinationen aus Spiegelungen, Verschiebungen in $x$- und $y$-Richtung und Streckung bzw. Stauchung in $y$-Richtung nutzen.

  2. Aussage

  • Nach oben geöffnete Parabeln haben, in der Normalform geschrieben, einen positiven Faktor vor dem $x^2$.

  Das ist richtig. Das kannst du nachvollziehen, indem du dich an die Merkhilfe „positiver Gesichtsausdruck = Mundwinkel nach oben“ erinnerst. Alternativ: Durch Nachrechnen siehst du, dass folgende Punkte in der Parabel enthalten sind:

  • $(-1\vert a)$ (im zweiten Quadranten, da $a$ positiv)
  • $(0\vert0)$ (der Ursprung)
  • $(1\vert a)$ (im ersten Quadranten, da $a$ positiv)

  Deshalb müssen die Äste der Parabel links und rechts vom Ursprung ansteigen.

  3. Aussage

  • Die Parabeln, die durch die Gleichungen $f(x)=6x^2$ und $g(x)=x^2$ festgelegt werden, sind gleich.

  Diese Aussage ist falsch: Die Normalparabel hat Äste, die links und rechts des Punktes $(0\vert0)$ ansteigen. Alle Parabeln mit $a>1$ sind im Vergleich zur Normalparabel in Bezug auf die $y$-Achse gestreckt. Die Äste dieser gestreckten Parabel liegen demnach durchgehend über den Ästen der Normalparabel. Nur der Punkt $(0\vert0)$ ist von der Streckung nicht betroffen, da der $y$-Wert $0$ bei Multiplikation mit $a$ unverändert $0$ bleibt. Er ist also als einziger Punkt in beiden Parabeln enthalten. Insgesamt sind die Parabeln durch die unterschiedlich steilen Äste verschieden.
  Alternativ und eher rechnerisch können wir wie folgt vorgehen: Funktionen sind verschieden, wenn es einen oder mehrere Punkte gibt, an dem oder an denen die Funktionen sich unterscheiden. Ein Punkt mit verschiedenen Funktionswerten genügt bereits! Dass es solch einen Punkt gibt, können wir rechnerisch nachweisen, indem wir zum Beispiel die Stelle $x=1$ betrachten. $f(1)=6\cdot 1^2=6$, aber $g(1)=1^2=1$, also $f(1)\neq g(1)$. Somit sind die Funktionen ungleich, demnach auch ihre Graphen.

  4. Aussage

  • Eine Parabel hat stets eine Gleichung in der Normalform $f(x)=a x^2+bx+c$, wobei $a$ eine beliebige Zahl ungleich $0$ ist.

  Diese Aussage ist richtig: Eine Gleichung $f(x)= ax^2+bx+c$ ist eine Parabel, falls $a\neq 0$ ist. Der problematische Sonderfall $a=0$ muss ausgeschlossen werden, weil die Gleichung dann die Gleichung einer linearen Funktion wäre.

  5. Aussage

  • Eine lineare Funktion hat eine Normalform $f(x)=mx+b$. Im Koordinatensystem entspricht sie einer Geraden.

  Diese Aussage ist ebenfalls richtig. Denn die angegebene Funktion ist eine lineare Funktion in der Normalform. Die zugehörige Gerade steigt mit einer Steigung $m$ konstant an. Die Steigung kann übrigens auch null sein, was zu einer konstanten Funktion führt. Dieser Sonderfall ist jedoch trotzdem eine lineare Gleichung.

• Ordne den abgebildeten Parabeln die zugehörigen Funktionen zu.

  Tipps

  Ein im Vergleich zu $1$ kleinerer Betrag des Koeffizienten $a$ in der Normalform der Parabel bewirkt, dass die Parabel in $y$-Richtung gestaucht wird.

  Wenn du dir nicht sicher bist, welche von zwei Funktionen die richtige ist, dann kannst du einige $x$-Werte in beide Funktionen einsetzen und so eine davon ausschließen.

  Du kannst außerdem überprüfen, in welchen Punkten die abgebildete Parabel die $x$-Achse schneidet. Dort ist der $y$-Wert $0$. Nennen wir den $x$-Wert zu so einer Stelle $x_0$, muss auch für die zur Parabel gehörige quadratische Funktion $f(x_0)=0$ gelten.

  Lösung

  Wir sehen zunächst, dass die erste, zweite, vierte und fünfte Parabel nach unten geöffnet sind. Das bedeutet für die jeweiligen quadratischen Funktionen, dass $a$ kleiner als $0$ ist. Einziger Ausreißer ist die dritte Parabel, die nach oben geöffnet ist und ein $a>0$ hat.

  1. Parabel

  Die erste Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel in $y$-Richtung gestreckt und somit steiler. Wir sehen uns das Verhalten der Parabel bei den $x$-Werten $-2$, $-1$ und $0$ an. Die Funktion startet bei $0$, springt um $2$ auf $2$ und sinkt wieder um $2$ auf $0$. Dieser Sprung ist genau doppelt so hoch wie bei der Normalparabel, was auf $|a|=2$ hinweist.

  $\begin{array}{l|rr} \text{Wert von } x &-2&-1&0&\\ \hline \text{abgebildete Parabel } & 0 & 2 & 0\\ \end{array}$

  Wir wissen, dass die Parabel nach unten geöffnet und $a$ negativ ist. Also ist $a=-2$.
  Deshalb kommt von den vorgegebenen Funktionen nur die Funktion $f(x)=-2x^2-4x$ infrage.

  2. Parabel

  Die zweite Parabel hat ein negatives $a$, da sie nach unten geöffnet ist. Zusätzlich sehen wir, dass sie in $y$-Richtung gestaucht ist und somit $|a|<1$ ist. Wir lesen die Stelle, an der der $y$-Wert $0$ ist und die Parabel die $x$-Achse schneidet, als $x=1$ ab. Von den möglichen Funktionen aus dem Vorrat mit $|a|<1$ ist die Formel $f(x)=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ die einzige, die $f(1)=0$ erfüllt. Somit ist $f(x)=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ die richtige Lösung.

  3. Parabel

  Die dritte Parabel ist eine mit positivem Koeffizienten $a$. Von den gegebenen Parabeln ist sie die einzige mit dieser Eigenschaft. Somit kommt nur $f(x)=x^2-5x+6$ als Lösung infrage.

  4. Parabel

  Die vierte Parabel sieht einer an der $x$-Achse gespiegelten Normalparabel recht ähnlich. Der höchste Punkt tritt bei $x=0$ auf. Eine solche Parabel mit höchstem Punkt bei $x=0$ ist das Ergebnis einer Spiegelung an der $x$-Achse mit einer darauffolgenden Streckung in Bezug auf die $y$-Achse. Die Spiegelung sorgt für das negative Vorzeichen des Faktors $a$. Die Streckung in Bezug auf die $y$-Achse passt den Betrag des Faktors $a$ an.
  Nach diesen geometrischen Änderungen der Parabel haben wir also eine Funktion $f(x)=ax^2$ mit negativem $a$. Das Besondere an dieser Form ist, dass der Scheitelpunkt genau wie bei einer Normalparabel im Punkt $(0\vert 0)$ liegt. Die vorliegende Parabel lässt sich durch eine letzte geometrische Änderung bewerkstelligen: Wir verschieben die gesamte Parabel nach unten, ändern also alle $y$-Werte von Punkten auf der Parabel durch Subtraktion von $2$. Verfolgen wir auch hier die Auswirkung auf die zugehörige quadratische Funktion mit, so drückt sie sich folgendermaßen aus:

  $f(x)=ax^2\quad \xrightarrow{\text{Verschiebung um 2 nach unten}} \quad f(x)=ax^2-2$

  Zu dieser Form der Funktion mit $a<0$ und dem $c=-2$ gibt es in unserem Vorrat nur eine Funktion, nämlich $-\frac{1}{9}x^2-2$.

  Um uns noch einmal abzusichern, dass wir nicht $f(x)-\frac{1}{9}x^2-2$ und $f(x)=-\frac{1}{9}x^2+2$ verwechseln, überlegen wir, was sich aus den Vorzeichen der Terme ergibt, die in diesen Funktionen aufsummiert werden.

  Quadrate von Zahlen sind immer positiv oder $0$. Das Produkt einer solchen positiven Zahl oder $0$ mit einer negativen Zahl $a$ ist negativ oder $0$. Deshalb wäre der größtmögliche Wert von $f(x)=ax^2+c$, wenn $x^2=0$ ist, also wenn $x=0$ ist. Die abgebildete Parabel schafft es nie über einen $y$-Wert von $0$ hinaus, bei der Formel $-\frac{1}{9}x^2+2$ würde sich aber zum Beispiel für $x=0$ ein $y$-Wert von 2 ergeben. Deshalb bleibt als Lösung $f(x)=-\frac{1}{9}x^2-2$.

  5. Parabel

  Die fünfte Parabel ist die einzig verbleibende mit der zugehörigen quadratischen Gleichung $f(x)= -\frac{1}{4}x^2 - x$, wenn wir uns an die Argumentation bei der vierten Parabel erinnern, bei der wir festgestellt hatten, dass sowohl $f(x)=-\frac{1}{9}x^2-2$ als auch $-\frac{1}{9}x^2+2$ ihren Scheitelpunkt bei dem $x$-Wert $x=0$ haben. Die hier abgebildete Parabel hat einen Scheitelpunkt mit einem von $0$ abweichenden $x$-Wert.

  Geht man unabhängig von dem Ausschluss der vorigen Funktionen vor, kann man die Lösung folgendermaßen finden:
  Die abgebildete Parabel ist nach unten geöffnet und in Bezug auf die $y$-Achse gestaucht. Dazu gibt es zwei passende Kandidaten für die Funktion: $f(x) = -\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ und $f(x)= -\frac{1}{4}x^2 - x$. Die Eigenschaft, dass die Parabel durch den Punkt $(0\vert0)$ verläuft, bedeutet für die zugehörige Funktion $f(0)=0$. Dies trifft nur auf die Funktion $f(x)= -\frac{1}{4}x^2 - x$ zu.