Zahlenmauern – Addition

Zahlenmauern – Addition Übung

• Berechne die Einträge der Zahlenmauer.

  Tipps

  Zähle zwei nebeneinander stehende Zahlen zusammen und trage das Ergebnis in den mittig darüberliegenden Stein ein.

  Beachte die Überträge beim Zusammenzählen.

  Bei dieser Zahlenmauer ist die fehlende Zahl $56$, denn $19 + 37 = 56$.

  $\begin{array}{rccc} & H & Z & E \\ & & 1&9 \\ + & &3&7 \\ & &\color{#669900}{1}& \\\hline \hline & & 5&6 \end{array}$

  Lösung

  Um eine Zahlenmauer zu lösen, rechnest du von unten nach oben. Du zählst immer die Zahlen auf zwei nebeneinander liegenden Steinen zusammen und schreibst das Ergebnis auf den Stein, der mittig darüber liegt. Hier geht die Rechnung wie folgt:

  Zweite Zeile:

  • links:

  $\begin{array}{rcccc} & T & H & Z & E \\ & &3& 4&5 \\ + & &3&5&0 \\ \hline \hline & & 6& 9&5 \end{array}$

  • Mitte:

  $\begin{array}{rcccc} & T & H & Z & E \\ &&3&5&0 \\ + & &5&4&2 \\ \hline \hline & &8&9&2 \end{array}$

  • rechts:

  $\begin{array}{rcccc} & T & H & Z & E \\ & & 5&4&2 \\ + & 4&7&8&4 \\ & & \color{#669900}{1} & &\\ \hline \hline & 5&3&2&6 \end{array}$

  Dritte Zeile:

  • links:

  $\begin{array}{rcccc} & T & H & Z & E \\ & & 6&9&5 \\ + & &8&9&2 \\ &\color{#669900}{1} & \color{#669900}{1} & &\\ \hline \hline & 1&5&8&7 \end{array}$

  • rechts:

  $\begin{array}{rcccc} & T & H & Z & E \\ & & 8&9&2 \\ + &5 &3&2&6 \\ &\color{#669900}{1} & \color{#669900}{1} & &\\ \hline \hline & 6&2&1&8 \end{array}$

  Vierte Zeile:

  • Mitte:

  $\begin{array}{rcccc} & T & H & Z & E \\ & 1& 5&8&7 \\ + &6 &2&1&8 \\ && \color{#669900}{1} & \color{#669900}{1} &\\ \hline \hline & 7&8&0&5 \end{array}$

• Ergänze die Zahlenmauern.

  Tipps

  Zähle die nebeneinander stehenden Zahlen zusammen. Verbinde dann die Zahlenmauer mit dem Stein, auf dem das Ergebnis steht.

  Bei der schriftlichen Addition muss die Reihenfolge beachtet werden! Zuerst werden die Einer addiert, dann die Zehner, dann die Hunderter, dann die Tausender...

  Dabei darf der Übertrag nie vergessen werden, sonst ist das Ergebnis falsch!

  Beispiel: Robin hat die Zahlen $59$ und $79$ miteinander addiert und ist auf $128$ gekommen. Robin hat wahrscheinlich den Übertrag nach der Addition der Einer vergessen.

  Das richtige Ergebnis ist $138$.

  Der gesuchte Stein trägt die Zahl $171$, denn $79 + 92 = 171$.

  $\begin{array}{rccc} & H & Z & E \\ & & 7&9 \\ + & &9&2 \\ &\color{#669900}{1} &\color{#669900}{1}& \\\hline \hline &1 & 7&1 \end{array}$

  Du addierst zuerst die Einer und erhältst $9+2=11$. Du schreibst die rechte $1$ als Einerstelle und behältst die linke $1$ als Übertrag in die Zehnerstelle. Dort rechnest du dann $7 + 9 + 1 = 17$. Die $7$ schreibst du auf die Zehnerstelle. Die $1$ ist der Übertrag in die Hunderterstelle. Da keine weiteren Hunderter vorkommen, kannst du die $1$ direkt auf der Hunderterstelle eintragen.

  Lösung

  Um die fehlenden Steine zuzuordnen, berechnest du jeweils die Summe der beiden Zahlen auf den Zahlenmauern. Das Ergebnis markiert den fehlenden Stein. Bei der Rechnung musst du auf den Übertrag achten:

  • $45 +50 = 95$. Hier musst du nur die Einer und dann die Zehner addieren.

  • $50 + 42 = 92$. Auch hier treten keine Überträge auf.

  • $95 + 92 = 187$. Hier addierst du zuerst die Einer und erhältst $5+2=7$. Für die Zehner rechnest du $9+9=18$. Du kannst die $8$ auf die Zehnerstelle schreiben und die $1$ direkt auf der Hunderterstelle übernehmen, denn es treten keine weiteren Hunderter auf.

  $\begin{array}{rccc} & H & Z & E \\ & & 9&5 \\ + & &9&2 \\ &\color{#669900}{1} && \\\hline \hline &1 & 8&7 \end{array}$

  • $69 + 89 = 158$. Für die Einer hast du die Rechnung $9+9 = 18$. Die $8$ ist die Einerstelle der Summe, die $1$ der Übertrag in die Zehnerstelle. Für die Zehner rechnest du $6+8+1 = 15$. Die $5$ trägst du in die Zehnerstelle ein, die $1$ in die Hunderterstelle.

  $\begin{array}{rccc} & H & Z & E \\ & & 6&9 \\ + & &8&9 \\ & \color{#669900}{1} & \color{#669900}{1} & \\\hline \hline &1 & 5 &8 \end{array}$

  • $35 + 54 = 89$. Bei dieser Rechnung kannst du wieder Einer und Zehner addieren und brauchst keinen Übertrag zu beachten.

  • $34 + 35 = 69$. Auch hier tritt kein Übertrag auf. Du addierst die Einer $4 + 5 =9$ und trägst die $9$ in die Einerstelle ein. Für die Zehner rechnest du $3+3=6$ und trägst die $6$ in die Zehnerstelle ein.

• Prüfe die Zahenmauern.

  Tipps

  Bei einer richtigen Zahlenmauer ist die Zahl oben größer als beide Zahlen unten.

  Achte beim Addieren genau auf die Überträge.

  Diese Zahlenmauer ist falsch, denn $131 \neq 69 + 84$.

  Lösung

  Um eine Zahlenmauer zu lösen, addierst du die beiden nebeneinander stehenden Zahlen und trägst die Summe in den mittig darüberliegenden Stein ein. Auf diese Weise kannst du diese Zahlenmauern überprüfen.

  Folgende Zahlenmauern sind richtig:

  • $87 + 114 = 201$. Die schriftliche Addition liefert $4+7=11$ für die Einer, also die Einerstelle $1$ und einen Übertrag. Für die Zehner rechnest du $8+1+1=10$, das ergibt die $0$ für die Zehnerstelle und einen Übertrag $1$. Für die Hunderter rechnest du dann $1+1=2$.

  • $38 + 65 = 103$. Die Einerstelle erhältst du aus der Rechnung $8+5=13$. Für die Zehnerstelle ist die Rechnung $3+6+1=10$ notwendig, woraus sich der Übertrag $1$ ergibt. Für die Hunderterstelle hast du nur die $1$ aus dem Übertrag.

  • $77 + 69 = 146$. Für die Einerstelle rechnest du $7+9=16$. Für die Zehnerstelle: $7+6+1 = 14$. Die Hunderterstelle ist der Übertrag.

  Folgende Zahlenmauern sind falsch:

  • $228 \neq 37 + 181 = 218$. Die Rechnung für die Einerstelle ist $7+1 = 8$. Die Einerstelle ist richtig. Für die Zehnerstelle rechnest du $3+8=11$. Die Zehnerstelle muss also $1$ sein, nicht $2$.

  • $338 \neq 93 + 145 = 238$. Für die Einerstelle rechnest du $3+5=8$. Für die Zehnerstelle $9+4=13$. Und für die Hunderterstelle $1+1=2$. Die Hunderterstelle ist also $2$ und nicht $3$.

  • $148 \neq 47 + 71 = 118$. Hier rechnest du für die Einer $7+1=8$. Für die Zehner $4+7=11$. Die Zehnerstelle ist also $1$ und nicht $4$.

  • $141 \neq 61 + 179 = 240$. Für die Einerstelle rechnest du $1+9=10$. Die Einerstelle ist also bereits falsch, denn sie muss $0$ sein und nicht $1$.

• Erschließe die fehlenden Steine.

  Tipps

  In jedem Dreier-Block einer Zahlenmauer kann die obere Zahl nicht kleiner sein als die beiden Zahlen darunter.

  Die fehlenden Steine sind hier $51$ und $115$ und $166$, denn $81 + 34 = 115$ und $34 + 17 = 51$ und $115 + 51 = 166$.

  Lösung

  Um die Steine zuzuordnen, lösen wir die drei Zahlenmauern:

  Erste Zahlenmauer:

  • $187 + 314 = 501$
  • $314 + 91 = 405$
  • $501 + 405 = 906$

  Zweite Zahlenmauer:

  • $411 + 37 = 448$
  • $37 + 369 = 406$
  • $448 + 406 = 854$

  Dritte Zahlenmauer:

  • $261 + 296 = 557$
  • $296 + 57 = 353$
  • $557 + 353 = 910$

• Berechne die Summe.

  Tipps

  Schreibe in die Zeile über dem Strich nur die Überträge, die beim Zusammenzählen entstehen.

  Beim Zuammenzählen von zwei Ziffern kann der Übertrag nur $0$ oder $1$ sein.

  Beim Zusammenzählen von $17$ und $24$ ist der Übertrag in die Zehner-Spalte $1$, denn $7+4 = 11$.

  Lösung

  Beim schriftlichen Addieren schreibst Du die Zahlen stellengerecht untereinander. Dann zählst du die Ziffern jeder Stelle einzeln zusammen und beachtest die Überträge in die nächst höhere Stelle. Das Ergebnis der Addition trägst du unter dem waagerechten Strich ein.

  Du beginnst mit den Einern und rechnest:

  $5+2=7$.

  Die $7$ trägst du in die Einerstelle des Ergebnisses ein. Als Nächstes kommen die Zehner:

  $9+9=18$.

  Die $8$ trägst du in die Zehnerstelle ein, die $1$ als Übertrag in die Hunderter-Spalte. Für die Hunderter rechnest du jetzt:

  $6+8+1=15$

  Die $5$ trägst du in die Hunderterstelle des Ergebnisses ein, die $1$ als Übertrag in die Tausender-Spalte. Für die Tausender rechnest du schließlich:

  $1=1$

  Du trägst die $1$ in die Tausenderstelle des Ergebnisses ein.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Schreibe die Zahlen $563$ und $491$ stellengerecht untereinander und überlege, was beim Zusammenzählen mit den Überträgen und den Einern, Zehnern, Hundertern etc. passiert.

  Lösung

  Richtig sind folgende Aussagen:

  • „In einer Zahlenmauer stehen die kleinsten Zahlen in der untersten Zeile.“

  • „Der obere Eintrag einer Dreier-Zahlenmauer ist die Summe der beiden unteren Einträge.“

  Falsch sind folgende Aussagen:

  • „Die Summe von zwei Zahlen, die beide eine Hunderterstelle enthalten, enthält niemals eine Tausenderstelle.“ Ein Gegenbeispiel ist $456+789 = 1245$.

  • „Die Summe von zwei dreistelligen Zahlen erhält man, indem man die einzelnen Stellen addiert und die Ergebnisse an die passenden Stellen schreibt. Die Reihenfolge ist dabei egal.“ Hier hat O'Connel die Überträge vergessen. Nur für Summen wie $350+542 = 892$, bei denen keine Überträge auftreten, ist die Aussage richtig. Deshalb ist es wichtig bei den Einerstellen zu beginnen.

  • „Den Übertrag muss man jeweils zur nächstkleineren Stelle dazuzählen.“ Der Übertrag gehört zur nächstgrößeren Stelle.

  • „Je weiter man in der Zahlenmauer nach rechts geht, desto größer werden die Zahlen.“ Hier hat O'Connel die Richtungen verwechselt: die Aussage stimmt erst, wenn du nach rechts ersetzt durch nach oben.

  • „In einer Dreier-Zahlenmauer sind die beiden unteren Einträge die Faktoren des oberen Eintrags.“ Der obere Eintrag ist die Summe der beiden unteren. Diese sind die Summanden des oberen Eintrags.