Potenzen und Potenzgesetze

Was ist eine Potenz?

Eine Potenz ist die abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in dem ein Faktor mehrfach mit sich selbst multipliziert wird:

$a^{n}=\underbrace{a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}$

• Der Ausdruck $a^{n}$ wird als Potenz bezeichnet.
• Der wiederkehrende Faktor $a$ ist die Basis der Potenz.
• Die Häufigkeit des Auftretens von $a$, also $n$, ist der Exponent der Potenz.

Schau dir ein Beispiel an: $4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64$. Das Ergebnis einer Potenz, also hier die $64$, wird als Potenzwert bezeichnet.

Diese Definition gilt so allerdings nur für $n\in\mathbb{N}$, $n\ge 1$.

Potenzen mit der Basis $10$ werden als Zehnerpotenzen bezeichnet:

• $10^{1}=10$
• $10^{2}=10\cdot 10=100$
• $10^{3}=10\cdot 10\cdot 10=1000$
• ...

Du erhältst für die Zehnerpotenz $10^{n}$ als Potenzwert eine $1$ mit $n$ Nullen.

Verschiedene Exponenten

Was passiert eigentlich, wenn der Exponent $0$ ist oder eine negative ganze Zahl oder sogar eine rationale Zahl?

Exponent gleich Null

Für jede Basis $a\neq 0$ gilt $a^{0}=1$.

Zum Beispiel ist $10^{0}=1$.

Negative Exponenten

Potenzen mit negativen Exponenten können wir wie folgt schreiben. Sei $n\in\mathbb{N}$ und $n\ge 1$, dann gilt:

$a^{-n}=\frac1{a^n}$

.

Schau dir das einmal am Beispiel der Zehnerpotenzen an:

• $10^{-1}=\frac1{10^1}=\frac1{10}=0,1$
• $10^{-2}=\frac1{10^2}=\frac1{100}=0,01$
• $10^{-3}=\frac1{10^3}=\frac1{1000}=0,001$
• ...

Betrachten wir also eine Zehnerpotenz der Form $10^{-n}$ mit $n\in\mathbb{N}$ und $n\ge 1$, so erscheint im Potenzwert die $1$ an der $n$-ten Stelle hinter dem Komma.

Rationale Exponenten

Sei der Exponent $n=\frac pq$ eine positive rationale Zahl, dann kannst du die Potenz wie folgt als Wurzel schreiben:

$a^{\frac pq}=\sqrt[q]{a^p}$

.

Verschiedene Basen

• Für $n\in\mathbb{N}$ und $n\ge 1$ sind Potenzen für beliebige Basen definiert.
• Für $n\in\mathbb{Z}$ und $n\le -1$ sind die Potenzen nur für Basen ungleich $0$ definiert.
• Ist der Exponent rational, so darf die Basis nicht negativ sein.

Im Folgenden schauen wir uns nun Potenzen mit negativer oder rationaler Basis an, sofern diese definiert sind.

Negative Basis

Ist der Exponent eine natürliche Zahl und $a\gt 0$, so gilt

$({-a})^n = \begin{cases} a^n& \text{wenn }n \text{ gerade ist} \\ -a^n& \text{wenn }n \text{ ungerade ist} \end{cases}$

Rationale Basis

Wir nehmen nun an, dass die Basis $a=\frac pq$ eine rationale Zahl ist. Es gilt dann:

$\left(\frac pq\right)^n=\frac{p^n}{q^n}$

.

Wenn du einen Bruch potenzieren möchtest, potenzierst du den Zähler und den Nenner des Bruches mit dem gleichen Exponenten.

In vielen verschiedenen Anwendungsaufgaben kommen Potenzen vor.

Die Potenzgesetze

Die Potenzgesetze erklären das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen:

1. Potenzgesetz „Das Produkt von Potenzen“: $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$
2. Potenzgesetz „Der Quotient von Potenzen“: $\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$
3. Potenzgesetz „Potenzen von Produkten“: $a^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}$
4. Potenzgesetz „Potenzen von Quotienten“: $\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac ab\right)^{n}$
5. Potenzgesetz „Das Potenzieren von Potenzen“: $\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n \, \cdot \, m}$

Anhand von Beispielaufgaben kannst du diese Potenzgesetze üben.