Brüche auf dem Zahlenstrahl

Brüche auf dem Zahlenstrahl Übung

• Zeige die Brüche auf dem Zahlenstrahl.

  Tipps

  Der Abstand zwischen zwei Strichen ist auf diesem Zahlenstrahl immer $\frac{1}{2}$.

  Die Zahl $5\frac{1}{2}$ steht auf dem Zahlenstrahl rechts von $5$ und links von $6$.

  Die Zahl $\frac{1}{2}$ ist nach $0$ die kleinste auf diesem Zahlenstrahl verzeichnete Zahl.

  Lösung

  Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen der Größe nach angeordnet. Je weiter rechts eine Zahl steht, desto größer ist sie. Die natürlichen Zahlen sind in gleichmäßigen Abständen abgetragen. Das bedeutet, der Abstand von einer natürlichen Zahl zur nächsten ist überall derselbe.

  Jeden Bruch, der nicht als ganze Zahl dargestellt werden kann – der also kein Scheinbruch ist –, kannst du auf dem Zahlenstrahl zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen eintragen. Um die genaue Position zu finden, wandelst du am einfachsten zuerst den Bruch in einen gemischten Bruch um. Die ganze Zahl des Bruchs markiert die natürliche Zahl, neben der du rechts den Bruch einträgst. Der Nenner des gekürzten Bruchs verrät dir, in wie viele gleich große Abschnitte du die Strecke zwischen dieser natürlichen Zahl und der um $1$ größeren einteilen musst. Am Zähler liest du ab, an welchem Teilstrich dieser Einteilung du dann die Position des Bruchs findest.

  Willst du z. B. den Bruch $\frac{17}{5}$ eintragen, so rechnest du zuerst $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$. Die Strecke zwischen der $3$, d. h. der natürlichen Zahl aus dem gemischten Bruch, und der nächstgrößeren natürlichen Zahl $4$ teilst du dann in $5$ gleich große Stücke, da der Nenner des Bruchs $5$ ist. Die Zahl $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$ liegt nun am zweiten Teilstrich rechts von $3$.

• Beschreibe, wie man den Bruch $\frac 34$ auf dem Zahlenstrahl abträgt.

  Tipps

  Beginne die Konstruktion mit der Markierung der Punkte $0$ und $1$ auf dem Zahlenstrahl.

  Die Zahl $\frac{3}{4}$ liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von $0$.

  Lösung

  Für die Eintragung eines echten Bruchs mit dem Nenner $4$ musst du die Strecke zwischen $0$ und $1$ in vier gleich große Stücke einteilen. Nun kannst du jeden solchen Bruch einem der Teilstriche dieser Einteilung zuordnen: $\frac{1}{4}$ liegt bei dem ersten Teilstrich, der den ersten der vier Teile von dem zweiten trennt.

  Die Einteilung und Markierung kannst du mit Zirkel und Lineal in folgender Weise vornehmen:

  $1.$ Markiere zuerst $0$ und $1$ auf dem Zahlenstrahl und miss die Strecke dazwischen mit einem Lineal ab.

  $2.$ Stelle dann den Zirkel auf die Hälfte der Länge der Strecke zwischen $0$ und $1$ ein und zeichne einen Kreisbogen um $0$, der den Zahlenstrahl rechts von $0$ schneidet.

  $3.$ Um vier Teile zu bekommen, musst du die so entstandenen beiden Abschnitte genauso in zwei Teile teilen.

  $4.$ Insgesamt erhältst du zwischen $0$ und $1$ vier Teile, die jeweils ein Viertel groß sind.

  $5.$ Der Schnittpunkt nach dem dritten Viertel entspricht $\frac 34$.

• Erschließe die Beschriftung der Unterteilung des Zahlenstrahls.

  Tipps

  Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen von links nach rechts der Größe nach aufsteigend angeordnet.

  Der Zähler gibt dir vor, wie viele Teile betrachtet werden. Da du hier den Bereich zwischen $0$ und $1$ betrachtest, darf der Zähler nie größer als der Nenner sein.

  Lösung

  Auf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen von links nach rechts der Größe nach aufsteigend sortiert. Das gilt für Brüche genauso wie für natürliche Zahlen. Der hier betrachtete Zahlenstrahl ist in $8$ gleich große Teile unterteilt. Demnach entspricht jeder Teil einem Achtel. Die Linie nach dem ersten Teil ist also genau:

  • $0+\dfrac 18=\dfrac 18$

  Dann zählen wir weiter:

  • $\dfrac 28=\dfrac 14$

  Die $1$ über dem Bruchstrich gibt uns den Nenner $4$ vor. Wenn wir hier weiterhin Achtel angeben wollen würden, müsste über dem Bruchstrich eine $2$ stehen. Wir beschriften die nächsten Unterteilungen wie folgt:

  • $\dfrac 38$

  • $\dfrac 48=\dfrac 24=\dfrac 12$

  • $\dfrac 58$

  • $\dfrac 68=\dfrac 34$

  • $\dfrac 78$

• Ermittle die Positionen der Brüche auf dem Zahlenstrahl.

  Tipps

  Die Bereiche zwischen den ganzen Zahlen sind nicht immer in dieselben Bruchteile eingeteilt.

  Wandle die unechten Brüche in gemischte Brüche um und bestimme danach die Position auf dem Zahlenstrahl.

  Teile die Strecke zwischen $7$ und $8$ in fünf gleich große Stücke. Dann liegt der Bruch $\frac{38}{5} = 7\frac{3}{5}$ auf dem dritten Teilstrich rechts der $7$.

  Lösung

  Um die Positionen der Brüche auf dem Zahlenstrahl zu markieren, kannst du zuerst jeden Bruch als gemischten Bruch aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch darstellen. Der gemischte Bruch liegt auf dem Zahlenstrahl rechts dieser natürlichen Zahl, außer wenn der echte Bruch den Zähler $0$ hat. In diesem Fall ist der gemischte Bruch mit der natürlichen Zahl identisch. Nun trägst du den echten Bruch rechts der natürlichen Zahl ab. Der Nenner benennt die Art der Einteilung des Abschnitts zwischen der natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger. Der Zähler zählt die Zahl der Einteilungsstriche, die du von der natürlichen Zahl nach rechts gehen musst.

  Im Bild sind die Abschnitte zwischen den natürlichen Zahlen nicht alle gleichmäßig eingeteilt. Die Strecken zwischen $0$ und $1$, zwischen $1$ und $2$ sowie zwischen $5$ und $6$ sind jeweils in Drittel eingeteilt, alle anderen Abschnitte in Viertel.

  Wir diskutieren exemplarisch die Eintragung dreier Brüche:

  • $5 \frac{2}{3}$ liegt auf dem zweiten Teilstrich rechts von $5$, da der Zähler des Bruches $2$ ist und der Abschnitt zwischen $5$ und $6$ in Drittel eingeteilt ist.

  • $4\frac{3}{4}$ liegt auf dem dritten Teilstrich rechts der $4$, da der Abschnitt zwischen $4$ und $5$ in Viertel eingeteilt und der Zähler $3$ die rechte Grenze des dritten Viertels benennt.

  • $\frac{18}{3} = 6$ ist ein Scheinbruch. Das bedeutet, dass der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist. Damit handelt es sich bei einem Scheinbruch eigentlich um eine ganze Zahl. Die Zahl liegt hier also auf dem natürlichen Zahlenstrahl.

• Definiere die Begriffe.

  Tipps

  Der Zähler eines Bruchs zählt die Anteile.

  Teilt man eine Strecke in fünf gleich große Teile, so nennt man die Art dieser Teile Fünftel und stellt sie durch den Bruch $\frac{1}{5}$ dar.

  Der Bruch $\frac{1}{4}$ ist größer als $0$ und kleiner als $\frac{1}{2}$, denn es gilt:

  $~\frac 12=\frac 24$

  Lösung

  Ein Bruch besteht aus drei Elementen: Zähler, Nenner und Bruchstrich. Du kannst einen Bruch als Darstellung eines Anteils verstehen. Der Zähler ist die Zahl über dem Bruchstrich. Sie zählt die Anteile. Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner, da sie die Art der Anteile (z. B. Drittel, Viertel oder Siebtel) benennt. Der Bruchstrich selbst steht für ein Geteiltzeichen: Ist der Zähler des Bruchs $1$, teilst du ein Ganzes in so viele Teile, wie der Nenner vorgibt. Ist der Nenner $3$, teilst du ein Ganzes in drei Teile, die dann Drittel heißen. Du rechnest also $1:3$. Der Bruch $\frac{2}{3}$ entsteht entweder, indem du zwei der drei Teile, also zwei Drittel des Ganzen, zu einem Anteil zusammenfasst oder indem du zwei Ganze in drei Teile teilst.

  Auf dem Zahlenstrahl liegen die Zahlen umso weiter rechts, je größer sie sind. Die Zahl $\frac{1}{2}$ liegt genau in der Mitte zwischen $0$ und $1$. Die Zahl $\frac{1}{4}$ liegt genau in der Mitte zwischen $0$ und $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ liegt in der Mitte zwischen $\frac{1}{2}$ und $1$.

  Mit diesen Überlegungen ergeben sich folgende richtige Sätze:

  • Der Zähler eines Bruchs ist die Zahl über dem Bruchstrich.
  • Der Nenner eines Bruchs benennt die Art der Anteile.
  • Der Bruchstrich entspricht einem Geteiltzeichen.
  • Der Bruch $\frac{3}{4}$ liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen $\frac{1}{2}$ und $1$.
  • Der Bruch $\frac{1}{4}$ liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen $0$ und $\frac{1}{2}$.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Der Bruch $3\frac{3}{5}$ liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von $3\frac{3}{6}$ und links von $3\frac{3}{4}$.

  Es gilt die Gleichung $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Ist der Zähler eines Bruchs mehr als doppelt so groß wie der Nenner, so liegt der Bruch auf dem Zahlenstrahl rechts von $2$.

  Du kannst nämlich die Darstellung als gemischten Bruch bestimmen, indem du den Zähler (evtl. mit Rest) durch den Nenner dividierst: Der Quotient ist die natürliche Zahl der Darstellung als gemischter Bruch, der Rest der Division ist der Zähler des echten Bruches. Ist der Zähler des unechten Bruchs mehr als doppelt so groß wie der Nenner, ist der Quotient der Division mindestens $2$. Der Bruch liegt also auf dem Zahlenstrahl rechts von $2$.

  • Jeder Bruch mit einem Nenner $>10$ und einem Zähler $<5$ liegt auf dem Zahlenstrahl links von $\frac{1}{2}$.

  Da der Zähler kleiner ist als der Nenner, handelt es sich um einen echten Bruch. Der Bruch liegt also auf dem Zahlenstrahl zwischen $0$ und $1$. Der Nenner ist mehr als doppelt so groß wie der Zähler. Das heißt, der Bruch ist kleiner als $\frac{1}{2}$ und liegt demnach auf dem Zahlenstrahl links von $\frac{1}{2}$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Bei zwei verschiedenen Brüchen liegt der mit dem größeren Zähler weiter rechts auf dem Zahlenstrahl.

  Die Aussage wäre nur richtig, wenn die Brüche denselben Nenner hätten. Ein Gegenbeispiel ist $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} > 3 >\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, obwohl $7 < 8$.

  • Links der $4$ liegen auf dem Zahlenstrahl nur Brüche mit einem Zähler kleiner als $4$.

  Der Bruch $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} < 4$ liegt links der $4$, hat aber einen Zähler, der größer ist als $4$.

  • Kein Bruch mit dem Nenner $3$ liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von $3$ und links von $4$.

  Die Brüche $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ und $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$ liegen rechts von $3$ und links von $4$.