Größenvergleich bei Brüchen – Kürzen und Erweitern (2)

Größenvergleich bei Brüchen – Kürzen und Erweitern (2) Übung

• Gib die Merksätze zum Vergleich von Brüchen wieder.

  Tipps

  $\frac{4}{16} < \frac{4}{6}$

  $\frac{5}{15} > \frac{4}{15}$

  $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

  Lösung

  Die Merksätze lauten:

  1. „Sind die Nenner gleich, gehört zum größeren Zähler auch der größere Bruch.“ Das leuchtet doch ein: $\frac{5}{15} > \frac{4}{15}$, weil $\frac{5}{15}$ ein Fünfzehntel mehr besitzt als $\frac{4}{15}$.
  2. „Sind die Zähler gleich, ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner.“ So ist beispielsweise $\frac{4}{15} < \frac{4}{6}$. Bei der Verwendung der Streifenmethode kann man sich das gut klarmachen.
  3. „Brüche mit unterschiedlichem Nenner werden zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und anschließend verglichen. Der größere Zähler gehört zum größeren Bruch.“ $\frac{3}{4} = \frac{30}{40} > \frac{28}{40} = \frac{7}{10}$. Bringt man zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, verändert sich der Wert der Brüche nicht.

• Gib an, welcher Bruch kleiner oder größer ist.

  Tipps

  Erinnere dich an den Merksatz: Wenn die Nenner von zwei Brüchen gleich sind, welcher ist dann der größere der beiden?

  Wenn die Zähler von zwei Brüchen gleich sind, welcher ist dann der größere von beiden?

  Bringe, wenn nötig, zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

  Lösung

  • $\frac{5}{15}$ < $\frac{7}{15}$, hier kann wunderbar der Merksatz verwendet werden: „Sind die Nenner gleich, gehört zum größeren Zähler auch der größere Bruch.“
  • $\frac{4}{6}$ > $\frac{4}{15}$. Zu diesem Vergleich passt: „Sind die Zähler gleich, ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner.“
  • Für $\frac{3}{4}$ > $\frac{7}{10}$ und $\frac{3}{5}$ < $\frac{2}{3}$ gilt: „Brüche mit unterschiedlichem Nenner werden zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und anschließend verglichen. Der größere Zähler gehört zum größeren Bruch.“ Konkret sieht das dann so aus: $\frac{3}{4} = \frac{30}{40} > \frac{28}{40} = \frac{7}{10}$. Dabei wurde 40 als gemeinsamer Nenner festgelegt und entsprechend erweitert. Ähnlich funktioniert es auch bei $\frac{3}{5}$ < $\frac{2}{3}$.

• Bestimme, welcher Bruch größer ist.

  Tipps

  Wie lautet der Merksatz bei gleichen Zählern?

  Überlege: Was ist mehr? 1 Flasche Saft auf 2 Kinder aufgeteilt oder auf 4 Kinder aufgeteilt?

  Lösung

  Dank unseres Merksatzes wissen wir, dass beim Vergleich zweier Brüche mit gleichem Zähler der Bruch mit dem kleineren Nenner größer ist. So ergibt sich $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

  Häufig ist es hilfreich, sich die Brüche anhand von guten Beispielen vor Augen zu führen.

  Beim Vergleich von Brüchen, bei denen der Zähler gleich ist, kann man sich fragen: Bekommt der Einzelne mehr, wenn wir 2 Liter Limonade unter 10 Kindern oder unter 11 Kindern aufteilen? Weil die gleiche Menge an Limonade unter weniger Kindern aufgeteilt immer bedeutet, dass jedes einzelne Kind mehr bekommt, ist bei Brüchen mit gleichen Zählern immer der Bruch mit dem kleineren Nennern der größer als der Bruch mit dem größeren Nenner.

• Gib die Brüche in der angegebenen Reihenfolge an.

  Tipps

  Wie kannst du die Brüche sinnvoll vergleichen?

  Finde einen gemeinsamen Nenner.

  Der gemeinsame Nenner ist ein gemeinsames Vielfaches der Nenner von zwei Brüchen, du kannst aber auch das gemeinsame Vielfache von allen gegebenen Brüchen bestimmen. So kannst du die Brüche noch leichter miteinander vergleichen.

  Denke beim Erweitern daran, dass du Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor erweiterst!

  Lösung

  Wenn mehrere Brüche verglichen werden sollen, kannst du alle Brüche gleichnamig machen, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

  Die Nenner unserer Brüche lauten 2, 5, 10 und 25. Wir haben gelernt, dass man den Bruch mit den Nennern der anderen Brüche erweitern muss, um einen gemeinsamen Nenner zu finden. Das ist auch hier richtig: 2500 ist ein gemeinsamer Nenner aller Brüche. Eleganter wäre es jedoch, 50 als kleinstes gemeinsames Vielfaches zu erkennen. So wird jeder Bruch mit einer Zahl, die hier über dem Gleichheitszeichen steht, erweitert, sodass im Nenner 50 steht:

  $\frac{1}{5} \stackrel{\mathrm{\cdot 10}}= \frac{10}{50}$

  $\frac{8}{25} \stackrel{\mathrm{\cdot 2}}= \frac{16}{50}$

  $\frac{4}{10} \stackrel{\mathrm{\cdot 5}}= \frac{20}{50}$ und

  $\frac{1}{2} \stackrel{\mathrm{\cdot 25}}= \frac{25}{50}$.

  Nun können die Brüche wirklich miteinander verglichen und in eine Reihenfolge gebracht werden. Diese lautet:

  $\frac{10}{50} < \frac{16}{50} < \frac{20}{50} < \frac{25}{50}$, also:

  $\frac{1}{5} < \frac{8}{25} < \frac{4}{10} < \frac{1}{2}$.

• Bestimme die wahren Aussagen über Brüche.

  Tipps

  Die Streifenmethode kann hilfreich sein, Erweitern und Kürzen zu veranschaulichen.

  Überprüfe die Aussagen durch ein Beispiel.

  Lösung

  Überprüfen wir den Wahrheitsgehalt der Aussagen.

  • „Durch Erweitern und Kürzen können Brüche vergleichbar gemacht werden.“ Das ist richtig. Erweitern und Kürzen ist die bevorzugte Methode beim Vergleich zweier Brüche. Die Streifenmethode ist zwar anschaulich, aber dauert in der Umsetzung länger.

  • „Ist der Nenner der beiden Brüche der gleiche, so ist der Bruch mit dem kleineren Zähler größer.“ Das stimmt nicht. Belegen wir dies mit einem Gegenbeispiel, z.B. den Brüchen $\frac{3}{5}$ und $\frac{4}{5}$. Mithilfe der Streifenmethode zeigen wir, dass hier das gemeinsame Ganze in fünf Teile geteilt ist, wobei bei $\frac{3}{5}$ 3 Anteile des Ganzen farbig markiert sind und bei $\frac{4}{5}$ vier Anteile. Da bei $\frac{4}{5}$ ein Anteil mehr farbig ist, gilt $\frac{4}{5} > \frac{3}{5}$. Der Merksatz lautet also richtig: „Sind die Nenner gleich, so ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.“

  • „Ist der Zähler der beiden Brüche der gleiche, so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.“ Das ist eine wahre Aussage. Leicht kann man sich das durch ein extremes Beispiel veranschaulichen. Nehmen wir $\frac{3}{10}$ und $\frac{3}{1000}$. Man könnte jetzt durch Erweitern oder die Streifenmethode die Größenverhältnisse überprüfen. Wenn wir uns aber klarmachen, dass der Bruchstrich „geteilt durch“ bedeutet, weißt du, welcher Bruch größer ist: 3 Kuchen auf 10 Kinder verteilt ist mehr, als 3 Kuchen auf 1000 Kinder verteilt. Solche Beispiele können hilfreich sein, sich Merksätze wie diesen einzuprägen.

  • „Beim Erweitern und Kürzen von Brüchen ändert sich der Wert der Zahl nicht.“ Das stimmt und ist wichtig, da Erweitern und Kürzen ansonsten keinen praktischen Wert für uns hätten.

• Ermittle die Position auf dem Zahlenstrahl.

  Tipps

  Wie kann man Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern vergleichen?

  Brüche kann man erweitern und kürzen, ohne dass sich der Wert der Zahl verändert.

  Lösung

  Häufig kann eine Zahl schon grob auf dem Zahlenstrahl einordnet werden.

  Bei $\frac{7}{22}$ kann man schnell ausschließen, dass dieser Bruch zwischen $\frac{2}{3}$ und 1 liegt. Alles Weitere muss man jetzt prüfen. Gilt $\frac{7}{22} < \frac{1}{3}$ oder $\frac{7}{22} > \frac{1}{3}$?

  Um das herauszufinden, müssen wir die beiden Brüche vergleichbar machen. Das funktioniert, indem man sie gleichnamig macht, also auf den gleichen Nenner bringt. Dafür musst du erweitern, indem du Zähler und Nenner des einen Bruches mit dem Nenner des anderen Bruches multiplizierst:

  $\frac{7}{22} = \frac{21}{66} < \frac{22}{66} = \frac{1}{3}$.

  Hier haben wir $\frac{7}{22}$ mit 3 erweitert und $\frac{1}{3}$ mit 22, den jeweiligen Nennern des anderen Bruchs. Es ergibt sich $\frac{7}{22} < \frac{1}{3}$.

  So ähnlich kannst du auch die anderen Brüche einordnen.