Brüche in Dezimalbrüche umwandeln

Brüche in Dezimalbrüche umwandeln Übung

• Beschreibe, wie du Brüche in Dezimalbrüche umwandeln kannst.

  Tipps

  Die erste Stelle nach dem Komma heißt Zehntel, die zweite Stelle Hundertstel, usw.

  Zehnerpotenzen:

  $10$, $100$, $1\,000$, ...

  Beispiel:

  $\dfrac{1023}{1\,\mathbf{000}} = 1,\mathbf{023}$

  Lösung

  An der Stellenwerttafel bezeichnen wir die Stelle nach dem Komma mit Zehntel. Der Bruch $\frac{3}{10}$ ist daher als Dezimalzahl $0,3$, sprich drei Zehntel. Die nachfolgenden Stellen sind die Hundertstel, Tausendstel, usw. Für Brüche, bei denen der Nenner eine Zehnerpotenz wie $10$, $100$ oder $1\,000$ ist, gestaltet sich die Umwandlung in Dezimalbrüche daher besonders einfach.

  • Wir können die Zahl im Zähler übernehmen.
  • Das Komma setzen wir dann so, dass die Anzahl der Nachkommastellen der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht.

  Beispiel:

  $\frac{317}{100} = 3,17$

  Der Dezimalbruch hat zwei Stellen nach dem Komma, da die $100$ im Nenner des Bruchs zwei Nullen hat.

• Stelle die Brüche als Dezimalbrüche dar.

  Tipps

  Bei Brüchen mit einer Zehnerpotenz im Nenner entspricht die Anzahl der Nachkomastellen der Anzahl der Nullen im Nenner.

  Versuche durch Erweitern oder Kürzen den Nenner auf eine Zehnerpotenz zu bringen.

  Beispiel:

  $\frac{9}{15} = \frac{9 : 3}{15 : 3} = \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$

  Lösung

  Steht bei einem Bruch im Nenner eine Zehnerpotenz, dann können wir ihn direkt als Dezimalbruch schreiben.
  Dazu übernehmen wir die Zahl im Zähler und fügen das Komma so ein, dass die Anzahl der Nachkommastellen der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht.
  Damit erhalten wir hier:

  • $\frac{4}{10} = 0,4$
  • $\frac{17}{100} = 0,17$
  • $\frac{123}{1\,000} = 0,123$

  Bei den anderen Brüchen müssen wir zunächst durch Kürzen oder Erweitern den Nenner auf eine Zehnerpotenz bringen:

  • $\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35$
  • $\frac{9}{30} = \frac{9 : 3}{30 : 3} = \frac{3}{10} = 0,3$

• Stelle $\frac{23}{8}$ mithilfe der schriftlichen Division als Dezimalbruch dar.

  Tipps

  Wenn du mit den Vorkommastellen des Dividenden fertig bist, kannst du weiterrechnen, indem du Nullen von hinter dem Komma nach unten ziehst. An dieser Stelle steht im Ergebnis das Komma.

  Beispiel:

  Da $4$ keinmal in die $2$ passt, beginnt das Ergebnis mit $0$, nun denken wir uns hinter dem Komma bei der $2$ eine $0$, also $2 = 2,0$ und setzen beim Ergebnis ein Komma hinter die $0$. Es folgt das Ergebnis von $20 : 4 = 5$, das Ergebnis ist damit $0,5$.

  Lösung

  Wir können jeden Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Dazu nutzen wir die schriftliche Division.

  In die $23$ passt $8$ zweimal. Wir schreiben eine $2$ ins Ergebnis und subtrahieren $2 \cdot 8 = 16$.
  Es verbleiben $7$. Nun müssen wir beim Ergebnis das Komma setzen, da die Vorkommastellen von $23$ verbraucht sind. Wir ergänzen eine $0$ hinter der $7$ und überlegen, wie oft die $8$ in $70$ passt: $8$-mal.
  Wir schreiben eine $8$ ins Ergebnis und subtrahieren $8 \cdot 8 = 64$.
  Es verbleiben $6$ und wir ergänzen erneut eine $0$. In $60$ passt $8$ jetzt $7$-mal.
  Wir schreiben die $7$ ins Ergebnis und subtrahieren $7 \cdot 8 = 56$.
  Es verbleiben $4$ und wir ergänzen wiederum eine $0$. In $40$ passt $8$ exakt $5$-mal.
  Wir schreiben die $5$ ins Ergebnis und subtrahieren $5 \cdot 8 = 40$.
  Es verbleiben $0$, damit ist die schriftliche Division abgeschlossen. Das Ergebnis lautet $2,875$.

• Entscheide, welche Brüche dieselbe Darstellung als Dezimalbruch haben.

  Tipps

  Brüche, die sich durch Kürzen oder Erweitern ineinander umformen lassen, haben dieselbe Darstellung als Dezimalbruch.

  Beispiel:

  $\dfrac{3}{10} = \dfrac{30}{100} = \dfrac{15}{50} = \dfrac{21}{70} = ...$

  Alle diese Brüche werden als Dezimalbruch mit $0,3$ dargestellt.

  Lösung

  Da sich der Wert eines Bruches durch Kürzen oder Erweitern nicht verändert, können wir eine Zahl als Bruch auf viele verschiedene Arten schreiben. Das bedeutet, die Darstellung einer Zahl als Bruch ist nicht eindeutig. Als Dezimalbruch gibt es dagegen immer nur eine korrekte Schreibweise für eine Zahl, diese repräsentiert alle Brüche mit demselben Wert.

  Wir betrachten die gegebenen Brüche und versuchen sie durch Kürzen und Erweitern ineinander umzuwandeln:

  $0,2$:

  $\mathbf{\frac{2}{10}} = \frac{2 : 2}{10 : 2} = \mathbf{\frac{1}{5}} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \mathbf{\frac{8}{40}}$

  $1,5$:

  $\mathbf{\frac{15}{10}} = \frac{15 : 5}{10 : 5} = \mathbf{\frac{3}{2}} = \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \mathbf{\frac{30}{20}}$

  $0,75$:

  $\mathbf{\frac{75}{100}} = \frac{75 : 25}{100 : 25} = \mathbf{\frac{3}{4}} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \mathbf{\frac{9}{12}}$

  $1,375$:

  $\mathbf{\frac{1375}{1000}} = \frac{1375 : 125}{1000 : 125} = \mathbf{\frac{11}{8}} = \frac{11 \cdot 11}{8 \cdot 11} = \mathbf{\frac{121}{88}}$

• Vervollständige die Tabelle mit den Werten wichtiger Brüche als Dezimalbruch.

  Tipps

  Bei Flaschen, die einen halben Liter enthalten, findest du häufig die Aufschrift $0,5~\ell$.

  Du kannst die Brüche in Dezimalbrüche umwandeln, indem du sie auf eine Zehnerpotenz im Nenner erweiterst.

  Lösung

  Damit das Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche noch etwas schneller geht, ist es nützlich, sich die Schreibweise für ein paar wichtige Brüche zu merken. Manche Werte kennst du sicher auch schon aus dem Alltag. Zum Beispiel steht auf Flaschen mit einem halben Liter als Mengenangabe meistens $0,5~\ell$.
  Wir können die Brüche auch wie gewohnt umwandeln, indem wir im Nenner auf eine Zehnerpotenz erweitern. Dann übernehmen wir die Zahl im Zähler und setzen das Komma so, dass der Dezimalbruch dieselbe Anzahl an Nachkommastellen hat, wie Nullen im Nenner des Bruchs stehen:

  • $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0,5$
  • $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0,25$
  • $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0,75$
  • $\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0,2$
  • $\frac{1}{10} = 0,1$

• Ermittle die Mengenangaben als Dezimalbruch.

  Tipps

  Ist der Nenner eines Bruchs eine Zehnerpotenz, dann können wir den Zähler direkt übernehmen. Die Anzahl der Nullen im Nenner gibt die Anzahl der Nachkommastellen an.

  Andernfalls können wir den Nenner durch Kürzen oder Erweitern auf eine Zehnerpotenz bringen oder den Zähler schriftlich durch den Nenner dividieren.

  Beispiel:

  $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0,6$

  Lösung

  Wir kennen verschiedene Möglichkeiten, um Brüche in Dezimalbrüche umzuwandeln:

  • Wir können den Zähler schriftlich durch den Nenner dividieren.
  • Ist der Nenner eine Zehnerpotenz, dann können wir den Nenner übernehmen und das Komma so setzen, dass die Anzahl der Nachkommastellen der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht.
  • Wir können den Nenner eines Bruchs durch Kürzen oder Erweitern auf eine Zehnerpotenz bringen und dann entsprechend in einen Dezimalbruch umwandeln.

  Damit erhalten wir:

  Metalle:

  Gold: $\dfrac{5}{4}~\text{kg} = \dfrac{125}{100}~\text{kg} = \mathbf{1,25}~\text{kg}$

  Silber: $\dfrac{9}{2}~\text{kg} = \dfrac{45}{10}~\text{kg} = \mathbf{4,5}~\text{kg}$

  Orichalcum: $\dfrac{2}{5}~\text{kg} = \dfrac{4}{10}~\text{kg} = \mathbf{0,4}~\text{kg}$

  Edelsteine:

  Mondstein: $\dfrac{550}{100}~\text{g} = 5,50 ~\text{g}= \mathbf{5,5}~\text{g}$

  Rubine: $\dfrac{183}{6}~\text{g} = \dfrac{61}{2}~\text{g} = \dfrac{305}{10}~\text{g} = \mathbf{30,5}~\text{g}$

  Smaragde: $\dfrac{56}{280}~\text{g} = \dfrac{8}{40}~\text{g} = \dfrac{2}{10}~\text{g} = \mathbf{0,2}~\text{g}$