Brüche und Dezimalbrüche ineinander umwandeln

Brüche und Dezimalbrüche ineinander umwandeln Übung

• Beschreibe die Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche.

  Tipps

  Die Zahlen $10, 100, 1000, 10\,000, ...$ heißen Zehnerpotenzen.

  $\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$

  Beispiel:

  $\dfrac{150}{100} = 1{,}50$

  Nenner: $100$ (zwei $0$en)
  $\Rightarrow$ Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen

  Lösung

  Am einfachsten kannst du einen Bruch in einen Dezimalbruch umrechnen, wenn eine Zehnerpotenz im Nenner steht. In diesem Fall kannst du nämlich den zugehörigen Dezimalbruch direkt ablesen: Die Anzahl der Nullen im Nenner ist die Anzahl der Nachkommastellen des Dezimalbruchs. Die Ziffern des Zählers sind auch die Ziffern des Dezimalbruchs. Der Dezimalbruch entsteht aus der Zahl im Zähler durch Verschieben des Kommas. Im Zähler des Bruches steht eine ganze Zahl ohne Komma. Das entspricht einem Komma, das ganz rechts steht. Du verschiebst das Komma um die Anzahl der Nullen im Nenner nach links und erhältst so den Dezimalbruch.

  Den Bruch $\frac{43}{25}$ erweiterst du mit $4$, so dass im Nenner die Zehnerpotenz $100$ steht. Für den Zähler erhältst du dann $4 \cdot 43 = 172$. Du verschiebst das Komma um zwei Stellen. Der zugehörige Dezimalbruch ist also:

  $\frac{43}{25} = \frac{172}{100} = 1,72$

  Um einen Dezimalbruch mit endlich vielen Nachkommastellen in einen Bruch umzuwandeln, schreibst du in den Nenner eine Zehnerpotenz. Für die Anzahl der Nullen dieser Zehnerpotenz wählst du genau die Anzahl der Nachkommastellen des Dezimalbruchs. Der Zähler des Bruches ist die Zahl aus dem Dezimalbruch ohne Komma.

• Bestimme die passenden Brüche.

  Tipps

  Zur Probe der Gleichungen kannst du den Zähler eines Bruches durch den Nenner schriftlich dividieren.

  Kannst du den Nenner eines Bruches zu einer Zehnerpotenz erweitern, so stehen im Zähler des erweiterten Bruches die Ziffern des zugehörigen Dezimalbruchs.

  Den Bruch $\frac{17}{8}$ kannst du mit $125$ erweitern und erhältst $\frac{125 ~\cdot~ 17}{1.000} = \frac{16.125}{1.000}$. Der zugehörige Dezimalbruch ist dann $16,125$.

  Lösung

  Um einen Bruch in einen Dezimalbruch umzurechnen, kannst du den Bruch so erweitern, dass im Nenner eine Zehnerpotenz entsteht (dies geht aber nicht bei allen Brüchen). Im Zähler des erweiterten Bruches steht schon fast der Dezimalbruch: Du musst nur das noch nicht vorhandene Komma um so viele Stellen nach links verschieben, wie die Zehnerpotenz im Nenner Nullen hat.

  Alternativ kannst du auch den Zähler des Bruches schriftlich durch den Nenner dividieren. Das Ergebnis der Division ist der Dezimalbruch.

  Umgekehrt kannst du auch einen Dezimalbruch in einen Bruch umwandeln: Du wählst als Nenner eine Zehnerpotenz mit genau so vielen Nullen, wie der Dezimalbruch Nachkommastellen hat. Der Zähler des Bruches ist der Dezimalbruch ohne Komma. Eventuell kannst du den Bruch nun noch kürzen.

  Auf diese Weise kannst du die hier aufgestellten Gleichungen überprüfen.

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0,6$ (durch Erweiterung mit $2$).

  • $\frac{43}{25} = \frac{172}{100} = 1,72$ (durch Erweiterung mit $4$).

  • $\frac{209}{250} = \frac{836}{1.000} = 0,836$ (durch Erweiterung mit $4$).

  • $\frac{65}{4} = \frac{1.625}{100} = 16,25$ (durch Erweiterung mit $25$).

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $\frac{66}{4} \neq 16,25$, denn $66:4 = 16,5$ und $16,25 = \frac{65}{4}$.

  • $\frac{3}{10} \neq 0,03$, denn $\frac{3}{10} = 0,3$ und $0,03 = \frac{3}{100}$.

  • $\frac{3}{5} \neq 0,75$, denn $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0,4$ und $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

• Vergleiche die Brüche.

  Tipps

  Dividiere den Zähler durch den Nenner, um einen Bruch in einen Dezimalbruch umzurechnen.

  Kürze die Brüche, bevor du die Division durchführst.

  Merke dir folgende Umrechnungen:

  $ \begin{array}{lll} \frac{1}{2} &=& 0,5 \\ \\ \frac{1}{4} &=& 0,25 \\ \\ \frac{1}{5} &=& 0,2 \\ \\ \frac{1}{8} &=& 0,125 \end{array} $

  Lösung

  Du kannst jeden Dezimalbruch in einen Bruch verwandeln, indem du im Nenner eine Zehnerpotenz setzt und im Zähler den Dezimalbruch ohne Komma. Die Zehnerpotenz wählst du so, dass die Anzahl ihrer Nullen genau der Anzahl der Nachkommastellen des Dezimalbruchs entspricht. Eventuell musst du den Bruch noch kürzen oder erweitern, um auf die Brüche in der Aufgabe zu kommen.

  Alternativ kannst du auch den Bruch so lange kürzen, wie er sich kürzen lässt, und dann die Division (Zähler $:$ Nenner) durchführen.

  Außerdem kannst du auch den Bruch in einen gemischten Bruch verwandeln. Die Ganzen sind dann die Vorkommastellen und du musst die Division nur noch für die Nachkommastellen ausführen.

  Hier sind die passenden Zuordnungen:

  • $\frac{123}{25} = 4,92$, denn $\frac{123}{25} = \frac{123 ~\cdot~ 4}{25 ~\cdot~ 4} = \frac{492}{100} = 4,92$ (durch Erweitern mit $4$).

  • $\frac{924}{200} = 4,62$, denn $\frac{924}{200} = \frac{924 ~:~ 2}{200~ :~ 2} = \frac{462}{100} = 4,62$ (durch Kürzen mit $2$).

  • $\frac{297}{66} = 4,5$, denn $\frac{297}{66} = \frac{99}{22} = \frac{9}{2}$ (durch Kürzen mit $3$ und dann mit $11$) und $9:2 = 4,5$.

  • $\frac{68}{16} = 4,25$, denn $\frac{68}{16} = \frac{17}{4} = 4 \frac{1}{4} = 4,25$.

  • $\frac{35}{8} = 4,375$, denn $\frac{35}{8} = 4 \frac{3}{8}$ und $3:8 = 0,375$, so dass $4 \frac{3}{8} = 4,375$.

  • $\frac{234}{45} = 5,2$, denn $\frac{234}{45} = \frac{78}{15} = \frac{26}{5} = \frac{52}{10} = 5,2$ (durch Kürzen zuerst mit $3$, dann wieder mit $3$ und schließlich erweitern mit $2$).

• Prüfe die Gleichungen.

  Tipps

  Steht im Nenner eines gekürzten Bruches die Zahl $3$, so ist der zugehörige Dezimalbruch periodisch.

  Forme die Brüche in gemischte Brüche um. Die Ganzen im gemischten Bruch entsprechen der Zahl vor dem Komma des zugehörigen Dezimalbruchs.

  Lösung

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $\frac{33}{24} = 1,375$, denn $\frac{33}{24} = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1,375$.

  • $\frac{522}{50} = 10,44$, denn $\frac{522}{50} = \frac{1044}{100} = 10,44$.

  • $\frac{98}{16} = 6,125$, denn $\frac{98}{16} = \frac{49}{8} = 6\frac{1}{8} = 6,125$.

  • $\frac{63}{56} = 1,125$, denn $\frac{63}{56} = \frac{9}{8} = 1,125$.

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $\frac{17}{3} = 5,6$, denn ein gekürzter Bruch mit dem Nenner $3$ ist stets periodisch. Tatsächlich ist $\frac{17}{3} = 5,\overline{6}$.

  • $\frac{522}{10} = 5,22$, denn $\frac{522}{10} = (522:10) = 52,2$.

  • $\frac{99}{16} = 6,1275$, denn $\frac{99}{16} = 6\frac{3}{16} = 6,1875$.

• Beschreibe das Rechnen mit Brüchen.

  Tipps

  Einen Bruch kannst du in einen Dezimalbruch umrechnen, indem du schriftlich den Zähler durch den Nenner teilst.

  Einen Bruch mit dem Nenner $5$ kannst du mit $2$ erweitern und erhältst einen Bruch mit dem Nenner $10$. Der zugehörige Dezimalbruch entsteht aus dem Zähler des erweiterten Bruches durch Verschieben des Kommas.

  Ein Bruch mit dem Nenner $1~000$ entspricht einem Dezimalbruch mit drei Nachkommastellen.

  Lösung

  Jeder Dezimalbruch ist eine Kommazahl. Jeden Dezimalbruch mit endlich vielen Nachkommastellen kannst du in einen Bruch umrechnen, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist. Die Anzahl der Nullen im Nenner ist dann das gleiche wie die Anzahl der Nachkommastellen des Dezimalbruchs.

  Jeden Bruch kannst du als Division ganzer Zahlen beschreiben. Der Zähler ist dabei die Zahl, die geteilt wird, also der Dividend. Der Nenner ist der Divisor, das ist die Zahl, durch die geteilt wird. Rechnest du die Division schriftlich, so erhältst du als Ergebnis den Dezimalbruch.

  Den Bruch $\frac{65}{4}$ kannst du mittels schriftlicher Division oder durch Erweitern in einen Dezimalbruch umwandeln. Du erweiterst den Nenner mit $25$, so dass du die Zehnerpotenz $100$ erhältst. Der Zähler ist dann $25 \cdot 65 = 1~625$. Die Zehnerpotenz hat zwei Nullen, daher hat der zugehörige Dezimalbruch zwei Nachkommastellen. Er lautet also:

  $\frac{65}{4} = \frac{1.625}{100} = 16,25$

  Dasselbe erhältst du durch die Division:

  $65:4 = 16,25$

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Schreibe $\frac{1}{9}$ und $\frac{1}{11}$ als Dezimalbruch und überlege, welche Stellen diese Dezimalbrüche haben.

  Multipliziere den Dezimalbruch zu $\frac{1}{9}$ wieder mit $9$ und überlege, welche Zahl du dabei erhältst.

  Lösung

  Folgende Sätze sind richtig:

  • „Zu jedem Dezimalbruch findest du einen Bruch, dessen Zähler nicht mehr Ziffern hat als der Dezimalbruch hinter dem Komma.“ Aus einem Dezimalbruch kannst du einen Bruch machen, indem du als Zähler den Dezimalbruch ohne Komma und als Nenner eine passende Zehnerpotenz wählst. Beispiel: $0,563 = \frac{563}{1000}$.

  • „Ein Bruch lässt sich in einen nicht-periodischen Dezimalbruch umwandeln, wenn sein Nenner zu einer Zehnerpotenz erweitert werden kann.“ Durch die Erweiterung zu einem Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner kannst du den Dezimalbruch aus dem Zähler durch Kommaverschiebung direkt ablesen.

  • „Enthält der Nenner eines gekürzten Bruches den Primfaktor $3$, so kann er nicht in einen endlichen Dezimalbruch umgewandelt werden.“ Ein Dezimalbruch ist eine andere Schreibweise für einen Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist. Die $3$ im Nenner des gekürzten Bruches macht die Erweiterung zu einem solchen Bruch unmöglich, da keine Zehnerpotenz den Primfaktor $3$ enthält.

  • „Das Dreifache von $0,\overline{3}$ ist $1$.“ Der Dezimalbruch $0,\overline{3}$ ist dasselbe wie $\frac{1}{3}$. Das Dreifache davon ist $1$. Es gilt also: $3 \cdot 0,\overline{3} = 0,\overline{9} = 1$. Interessanterweise ist die Zahl $0,\overline{9}$ nicht kleiner als $1$. Dieser Dezimalbruch ist dasselbe wie $1$, denn $0,\overline{9} = 9 \cdot 0,\overline{1} = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1$.

  Folgende Sätze sind falsch:

  • „Die Anzahl der Ziffern eines Dezimalbruchs ist nicht größer als die Anzahl der Stellen des Zählers des zugehörigen Bruches.“ Der Dezimalbruch $0,6$ hat zwei Ziffern, aber der Zähler von $\frac{3}{5}$ hat nur eine Stelle. Gleichwohl ist $\frac{3}{5} = 0,6$.

  • „Jeden Bruch kannst du als Dezimalbruch mit endlich vielen Stellen schreiben.“ Den Kehrwert einer Primzahl, die verschieden von $2$ und $5$ ist, kannst du so nicht schreiben, denn jeder solche Bruch enthält einen periodischen Anteil. Dasselbe gilt für alle gekürzten Brüche, deren Nenner andere Primfaktoren als $2$ und $5$ enthält.