Brüche in Prozentzahlen umwandeln

Brüche in Prozentzahlen umwandeln Übung

• Beschreibe, wie ein gemeiner Bruch in eine Prozentzahl umgewandelt wird.

  Tipps

  Schaue dir das folgende Beispiel an:

  $\frac14=\frac{25}{100}$.

  Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, in dessen Nenner eine Zehnerpotenz steht.

  Es ist $\frac{25}{100}=0,25$.

  Dies ist eine Dezimalzahl.

  Die Dezimalzahl $0,25$ kann auch wie folgt geschrieben werden: $0,25=25\%$.

  Lösung

  Um einen gemeinen Bruch in eine Prozentzahl umzuwandeln, musst du drei Schritte durchführen:

  1. Du schreibst den gemeinen Bruch als Dezimalbruch, also einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Hierfür musst du erweitern.
  2. Nun schreibst du den Dezimalbruch als Dezimalzahl: Du verschiebst das Komma nach links.
  3. Zuletzt multiplizierst du mit $100$ und erhältst die Prozentzahl.

  Dies schauen wir uns einmal an einem Beispiel an. Der gemeine Bruch $\frac14$ soll umgeformt werden.

  1. Erweitern mit $25$ führt zu dem Dezimalbruch $\frac{25}{100}$.
  2. Als Dezimalzahl erhält man $0,25$. Das Komma wird um zwei Stellen nach links verschoben.
  3. Multipliziere nun mit $100$. Das bedeutet, du verschiebst das Komma um zwei Stellen nach rechts: $25\%$. Fertig!

• Gib den gemeinen Bruch als Prozentzahl an.

  Tipps

  Wandle jeden der Brüche in einen Dezimalbruch um.

  Zum Beispiel ist $\frac25=\frac{4}{10}$.

  In einem Dezimalbruch steht eine Zehnerpotenz $10^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ im Nenner. Du kannst das Komma um $n$ Stellen nach links verschieben.

  Beispiele:

  • $\frac2{10}=0,2$
  • $\frac2{100}=0,02$
  • $\frac2{10^5}=0,00002$

  „Prozent“ steht für „von Hundert“.

  Das bedeutet, dass $\frac2{100}=2\%$ ist.

  Erweitern bedeutet, den Zähler und den Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl zu multiplizieren.

  Lösung

  Um einen gemeinen Bruch in eine Prozentzahl umzuwandeln, gehst du wie folgt vor:

  • Schreibe den gemeinen Bruch als Dezimalbruch. Ein Dezimalbruch ist ein Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Erweitere entsprechend.
  • Schreibe den Dezimalbruch als Dezimalzahl. Hierfür musst du das Komma nach links verschieben.
  • Zuletzt multiplizierst du mit $100$ und erhältst die Prozentzahl.

  Das üben wir jetzt an drei Beispielen:

  • $\frac12=\frac{1\cdot5}{2\cdot 5}=\frac5{10}=0,5=50\%$,
  • $\frac25=\frac{2\cdot2}{5\cdot 2}=\frac4{10}=0,4=40\%$,
  • $\frac32=\frac{3\cdot5}{2\cdot 5}=\frac{15}{10}=1,5=150\%$,
  • $\frac7{20}=\frac{7\cdot5}{20\cdot 5}=\frac{35}{100}=0,35=35\%$.

• Bestimme die zugehörige Prozentzahl.

  Tipps

  Beachte, dass du bei einer Prozentzahl das Prozentzeichen aufschreiben musst.

  Schaue dir noch einmal das Beispiel an, welches Gina vorgerechnet hat.

  Erweitern bedeutet, dass du den Zähler und den Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multiplizierst.

  Beachte: $\frac45$ ist das Doppelte von $\frac25$.

  Lösung

  Die Lösung kannst du hier sehen:

  • Erweitere den gemeinen Bruch mit $2$. Dies führt zu $\frac45=\frac{4\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{8}{10}$. Dies ist ein Dezimalbruch.
  • Schreibe den Dezimalbruch durch Verschieben des Kommas im Zähler als Dezimalzahl: $\frac{8}{10}=0,8$.
  • Multipliziere mit $100$. Das bedeutet, du verschiebst das Komma um zwei Stellen nach rechts: $0,8=80\%$. Dies ist die gesuchte Prozentzahl.

• Ermittle die Prozentzahl.

  Tipps

  Du betrachtest den Preisnachlass im Verhältnis zu dem ursprünglichen Preis.

  Kürze den so erhaltenen Bruch mit $20$.

  Erweitere den gemeinen Bruch mit $25$.

  Merke dir die folgenden Prozentzahlen:

  • $\frac1{10}=10\%$;
  • $\frac1{5}=20\%$;
  • $\frac1{4}=25\%$;
  • $\frac1{2}=50\%$.

  Lösung

  Der Preisnachlass $20~€$ wird im Verhältnis zu dem ursprünglichen Preis $80~€$ betrachtet. Dies führt zu dem Bruch $\frac{20}{80}$. Dieser Bruch kann gekürzt werden zu $\frac14$.

  Nun möchte Maria diesen gemeinen Bruch in eine Prozentzahl umwandeln.

  1. Sie schreibt $\frac14$ zunächst als Dezimalbruch, indem sie mit $25$ erweitert zu $\frac14=\frac{25}{100}$.
  2. Als Dezimalzahl ist dies $0,25$.
  3. Zuletzt multipliziert sie mit $100$ und erhält die Prozentzahl $25\%$.

  Die $20~€$ Preisnachlass entsprechen also $25\%$ des ursprünglichen Preises. Natürlich kommt (fast!) niemand auf die Idee, den Preisnachlass in Prozent auszurechnen. Meistens ist ein Preisnachlass in Prozent angegeben. Dann ist es richtig spannend, dies in Euro umzurechnen. ... aber das merkst du spätestens an der Kasse.

• Benenne die einzelnen Terme bei der Umwandlung von einem gemeinen Bruch zu einer Prozentzahl.

  Tipps

  In einem Dezimalbruch steht im Nenner eine Zehnerpotenz.

  Eine Dezimalzahl besteht aus Vorkommastellen, einem Komma und Nachkommstellen.

  Du beginnst mit einem gemeinen Bruch und möchtest diesen in eine Prozentzahl umwandeln.

  Lösung

  Hier kannst du an einem Beispiel sehen, wie du von einem gemeinen Bruch zu einer Prozentzahl kommst. Von links nach rechts:

  • $\frac25$ ist ein gemeiner Bruch. Es gibt auch gemischte Brüche, zum Beispiel $1\frac15$ für $1+\frac15$.
  • $\frac4{10}$ ist auch ein Bruch. Das Besondere an diesem Bruch ist, dass der Nenner eine Zehnerpotenz ist. Ein solcher Bruch wird als Dezimalbruch bezeichnet.
  • $0,4$ ist eine Dezimalzahl: Diese besteht aus Vorkommastellen, einem Komma und Nachkommstellen.
  • $40\%$ ist eine Prozentzahl.

  Übrigens: Je nachdem wie gerne du Bruchrechnung magst, gibt es entweder nur freundliche Brüche oder nicht.

• Leite zu jedem der Brüche die Prozentzahl her.

  Tipps

  Denke an das Prozentzeichen.

  Merke dir die folgenden Prozentzahlen.

  • $\frac1{25}=4\%$
  • $\frac1{20}=5\%$
  • $\frac1{10}=10\%$
  • $\frac1{5}=20\%$
  • $\frac1{4}=25\%$
  • $\frac1{2}=50\%$

  Zwei Brüche sind größer als $1$. Das bedeutet, dass die Prozentzahl größer als $100\%$ sein muss.

  Lösung

  Es ist gut, wenn du dir Prozentzahlen zu einigen Brüchen merken kannst.

  • $\frac1{25}=4\%$
  • $\frac1{20}=5\%$
  • $\frac1{10}=10\%$
  • $\frac1{5}=20\%$
  • $\frac1{4}=25\%$
  • $\frac1{2}=50\%$

  Damit ist

  • $\frac52=5\cdot \frac12=5\cdot 50\%=250\%$,
  • $\frac34=3\cdot \frac14=3\cdot 25\%=75\%$,
  • $\frac9{20}=9\cdot \frac1{20}=9\cdot 5\%=45\%$,
  • $\frac2{25}=2\cdot \frac1{25}=2\cdot 4\%=8\%$ und
  • $\frac{13}{10}=13\cdot \frac1{10}=13\cdot 10\%=130\%$.

  Natürlich kannst du auch jedes Mal den gemeinen Bruch in einen Dezimalbruch, in eine Dezimalzahl und dann in eine Prozentzahl umwandeln.

  • $\frac52=\frac{25}{10}=2,5=250\%$
  • $\frac34=\frac{75}{100}=0,75=75\%$
  • $\frac9{20}=\frac{45}{100}=0,45=45\%$
  • $\frac2{25}=\frac{8}{100}=0,08=8\%$
  • $\frac{13}{10}=1,3=130\%$