Faktor- und Summenregel für Integrale

Faktor- und Summenregel für Integrale Übung

• Vervollständige die Faktor- und die Summenregel für Integrale.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für die Faktorregel:

  $\displaystyle \int 3x^5 =3 \displaystyle \int x^5 ~\text{d}x = 3 \cdot \frac{1}{6}x^6 + c= \frac{1}{2}x^6+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Die Summenregel besagt, dass das Integral aus einer Summe zweier Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen ist.

  Lösung

  Die Potenzregel für Integrale hilft uns, wenn wir eine Potenzfunktion integrieren möchten:
  $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$

  Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Potenzfunktion, welche mit einer reellen Zahl $k$ multipliziert wird, so können wir die Faktorregel anwenden: Sie besagt, dass dieser Faktor einfach stehen bleibt:
  $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = \color{#99CC00}{k} \color{black}{~\cdot \int f(x) ~\text{d}x}$

  Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so können wir die Summenregel anwenden. Sie besagt, dass das Integral aus einer Summe zweier Funktionen $f$ und $g$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen ist:
  $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int \color{#99CC00}{f(x)}\color{black}{~\text{d}x}\color{#99CC00}{~+}\color{black}{\int g(x) ~\text{d}x}$

• Bestimme die Integrale durch Anwendung der Faktor- und Summenregel.

  Tipps

  Versuche, die Integrale zu zerlegen. Wende dabei die Faktor- und Summenregel an:

  • $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
  • $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$

  Du kannst die Probe machen, indem du die erhaltene Funktion ableitest.

  Lösung

  Um komplexere Integrale zu bestimmen, können wir die Faktor- und die Summenregel anwenden:

  Faktorregel:
  $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
  Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Funktion, welche mit einer reellen Zahl $k$ multipliziert wird, so bleibt dieser Faktor bei der Integration erhalten.

  Summenregel:
  $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
  Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so ist das Integral aus der Summe der beiden Funktionen $f$ und $g$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen.

  Wir wenden die Regeln auf die gegebenen Beispiele an:

  Beispiel 1: $\displaystyle \int 8 \cdot x^3 ~\text{d}x $
  Wir ziehen den konstanten Faktor vor das Integral:
  $8 \cdot \displaystyle \int x^3 ~\text{d}x$
  Um das Integral zu berechnen, wenden wir die Potenzregel an:
  $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
  Damit ergibt sich: $8 \cdot \dfrac{1}{4} x^4 + c = 2x^4 + c$
  Wir können die Probe machen, indem wir die erhaltene Funktion ableiten:
  $(2x^4)' = 2 \cdot 4 \cdot x^3 = 8x^3$
  Da wir die zu integrierende Funktion erhalten, haben wir richtig gerechnet.

  Beispiel 2: $\displaystyle \int x^7 - \frac{1}{3}x + 3 \cdot \cos x ~\text{d}x $
  Wir zerlegen das Integral in drei Teilintegrale:
  $\displaystyle \int x^7 ~\text{d}x + \displaystyle \int - \frac{1}{3}x ~\text{d}x + \displaystyle \int 3 \cdot \cos x ~\text{d}x $
  Um die ersten beiden Integrale zu berechnen, wenden wir die Potenzregel an. Für das dritte Integral müssen wir wissen, dass das Integral der Kosinusfunktion gleich der Sinusfunktion ist. Zudem können wir wie im ersten Beispiel die konstanten Faktoren beim Integrieren einfach stehen lassen:
  $\displaystyle \int x^7 ~\text{d}x + \displaystyle \int - \frac{1}{3}x ~\text{d}x + \displaystyle \int 3 \cdot \cos x ~\text{d}x = \frac{1}{8}x^8 - \frac{1}{6}x^2 + 3 \sin x +c$
  Wir können wieder die Probe machen, indem wir die erhaltene Funktion ableiten:
  $\left(\dfrac{1}{8}x^8 - \dfrac{1}{6}x^2 + 3 \sin x\right)^{\!\prime} = \dfrac{1}{8}\cdot 8 \cdot x^7 - \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot x^1 + 3 \cos x = x^7 - \dfrac{1}{3}x + 3 \cdot \cos x $
  Da wir die zu integrierende Funktion erhalten, haben wir richtig gerechnet.

• Berechne die Integrale mit der Faktor- und Summenregel.

  Tipps

  Es gilt:

  $\displaystyle \int 3~\text{d}x =3x+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Wir integrieren eine Konstante, indem wir einfach ein $x$ anhängen und die Integrationskonstante $c$ addieren.

  Die Potenzregel für Integrale hilft uns, wenn wir eine Potenzfunktion integrieren möchten:
  $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$

  Lösung

  Die Integrale der wichtigsten Funktionen sind:

  • $\displaystyle \int 3~\text{d}x =3x+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Wir integrieren eine Konstante, indem wir einfach ein $x$ anhängen und die Integrationskonstante $c$ addieren.

  • $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x =\ln |x|+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Bei der Funktion $\frac{1}{x}$ können wir nicht die Potenzregel anwenden. Das Integral dieser Funktion ist gleich dem natürlichen Logarithmus des Betrags von $x$. Auch hier müssen wir noch die Integrationskonstante $c$ addieren.

  • $\displaystyle \int \sin x~\text{d}x =- \cos x+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Das Integral der Sinusfunktion ist gleich der negativen Kosinusfunktion plus der Integrationskonstanten $c$.

  • $\displaystyle \int \cos x~\text{d}x =\sin x+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Das Integral der Kosinusfunktion ist gleich der Sinusfunktion plus $c$.

  $\quad$

  Um komplexere Integrale zu bestimmen, können wir uns der Potenzregel, der Faktor- und der Summenregel bedienen:

  • $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
  • $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
  • $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$

  $\quad$

  Wir wenden die Regeln auf die gegebenen Integrale an:

  • Erstes Integral:

  $\displaystyle \int 3x^2 - \dfrac{\cos x}{2} ~\text{d}x $
  Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
  $\displaystyle \int 3x^2 - \dfrac{\cos x}{2} ~\text{d}x = 3 \displaystyle \int x^2 ~\text{d}x - \frac{1}{2}\displaystyle \int \cos x ~\text{d}x $
  Wir berechnen nun die Integrale.
  $ 3 \displaystyle \int x^2 ~\text{d}x - \frac{1}{2}\displaystyle \int \cos x ~\text{d}x = 3 \cdot \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2} \cdot \sin x +c$
  Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
  $3 \cdot \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2} \cdot \sin x +c = \color{#99CC00}{x^3 - \dfrac{1}{2} \sin x +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
  Probe:
  Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
  $ \left(x^3 - \dfrac{1}{2} \sin x +c\right)' = 3x^2 - \dfrac{\cos x}{2}$

  • Zweites Integral:

  $\displaystyle \int x^3 + 4 \sin x ~\text{d}x $
  Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
  $\displaystyle \int x^3 + 4 \sin x ~\text{d}x = \displaystyle \int x^3 ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x $
  Wir berechnen nun die Integrale.
  $ \displaystyle \int x^3 ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x = \frac{1}{4}x^4 + 4 \cdot (- \cos x) +c $
  Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
  $ \dfrac{1}{4}x^4 + 4 \cdot (- \cos x) +c = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{4}x^4 - 4 \cdot \cos x +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
  Probe:
  Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
  $ \left( \dfrac{1}{4}x^4 - 4 \cdot \cos x +c\right)' = x^3 + 4 \sin x $

  • Drittes Integral:

  $\displaystyle \int - \sin x + \frac{4}{x} ~\text{d}x $
  Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
  $\displaystyle \int - \sin x + \frac{4}{x} ~\text{d}x = - \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x $
  Wir berechnen nun die Integrale.
  $ - \displaystyle \int \sin x ~\text{d}x + 4 \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x = - (-\cos x) + 4 \ln |x| +c $
  Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
  $ - (-\cos x) + 4 \ln |x| +c = \cos x + 4 \ln |x| +c = \color{#99CC00}{4 \ln |x| + \cos x +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
  Probe:
  Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
  $ ( \cos x + 4 \ln |x| +c )' = - \sin x + \dfrac{4}{x} $

  • Viertes Integral:

  $\displaystyle \int 5 - \frac{\sin x}{4} ~\text{d}x $
  Wir wenden die Faktor- und die Summenregel an:
  $\displaystyle \int 5 - \frac{\sin x}{4} ~\text{d}x = \displaystyle \int 5 ~\text{d}x - \frac{1}{4}\displaystyle \int \sin x ~\text{d}x $
  Wir berechnen nun die Integrale.
  $ \displaystyle \int 5 ~\text{d}x - \frac{1}{4}\displaystyle \int \sin x ~\text{d}x = 5x - \frac{1}{4} \cdot (-\cos x) +c $
  Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
  $5x + \dfrac{1}{4} \cdot \cos x +c = \color{#99CC00}{5x + \dfrac{\cos x}{4} +c \quad (c \in \mathbb{R})}$
  Probe:
  Wir leiten die erhaltene Funktion ab, und erhalten die zu integrierende Funktion:
  $ \left(5x + \dfrac{\cos x}{4} +c\right)' = 5 - \dfrac{\sin x}{4}$

• Entscheide, welche Regel bei der Berechnung des Integrals zur Anwendung kommt.

  Tipps

  Die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Integrieren einfach stehen bleibt.

  Beispiel:

  $\displaystyle \int x^2 + 3\sin(x) ~\text{d}x$

  $~\displaystyle = \int x^2~\text{d}x + \int 3\sin(x)~\text{d}x$

  $~\displaystyle = \int x^2 ~\text{d}x + 3 \int \sin(x)~\text{d}x$

  Hier wurde zunächst die Summenregel angewendet. Da im hinteren Integral der konstante Faktor $3$ vor $\sin(x)$ steht, müssen wir hier noch die Faktorregel anwenden.

  $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x =\ln |x|+c $

  Lösung

  Um komplexere Integrale zu bestimmen, können wir uns der Faktor- und der Summenregel bedienen:

  Faktorregel:
  $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
  Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Funktion, welche mit einer reellen Zahl $k$ multipliziert wird, so bleibt dieser Faktor bei der Integration erhalten.

  Summenregel:
  $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$
  Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so ist das Integral aus der Summe der beiden Funktionen $f$ und $g$ gleich der Summe der Integrale der beiden Einzelfunktionen.

  Handelt es sich um eine Summe, bei der einer oder beide Summanden einen konstanten Faktor enthalten, so müssen wir beide Regeln anwenden.

  Wir untersuchen dahingehend die gegebenen Funktionen und ordnen zu:

  Anwendung der Faktorregel:

  • $\displaystyle \int 5 e^x ~\text{d}x $

  Der konstante Faktor ist $5$. Den können wir vor das Integral schreiben: $\displaystyle5 \int e^x ~\text{d}x $

  • $\displaystyle \int \frac{4}{x^2} ~\text{d}x $

  Der konstante Faktor ist $4$. Den können wir wieder vor das Integral schreiben: $\displaystyle 4 \int \frac{1}{x^2} ~\text{d}x $

  • $\displaystyle \int - \frac{e^x}{2} ~\text{d}x $

  Der konstante Faktor ist $-\dfrac{1}{2}$. Auch diesen schreiben wir vor das Integral: $\displaystyle -\frac{1}{2} \int e^x ~\text{d}x $

  Anwendung der Summenregel:

  • $\displaystyle \int 4 - \sin x ~\text{d}x \quad$

  Das Integral besteht aus zwei Summanden. Wir zerlegen es: $\displaystyle \int 4 ~\text{d}x - \int \sin x ~\text{d}x$

  • $\displaystyle \int x^4 + \frac{1}{x} ~\text{d}x \quad$

  Das Integral besteht aus zwei Summanden. Wir zerlegen es: $\displaystyle \int x^4 ~\text{d}x + \int \frac{1}{x} ~\text{d}x$

  Anwendung der Faktor- und der Summenregel:

  • $\displaystyle \int 5 \cdot x^2 - \frac{1}{2} e^x ~\text{d}x \quad $

  Das Integral besteht aus zwei Summanden, welche jeweils einen konstanten Faktor enthalten:

  $\displaystyle 5 \int x^2 ~\text{d}x - \frac{1}{2} \int e^x ~\text{d}x$

  • $\displaystyle \int 3 \cos x -4 ~\text{d}x \quad $

  Das Integral besteht aus zwei Summanden. Der erste Summand enthält außerdem einen konstanten Faktor:

  $\displaystyle 3 \int \cos x ~\text{d}x - \int 4 ~\text{d}x \quad $

• Gib die Integrale der wichtigsten Funktionen an.

  Tipps

  Bei diesem Kreislauf gehen wir zum Ableiten im Uhrzeigersinn und beim Integrieren gegen den Uhrzeigersinn.

  Die Funktion $e^x$ verändert sich beim Ableiten nicht:

  $\left(e^x\right)^\prime = e^x$

  Lösung

  Wir können mithilfe der Potenzregel für Integrale eine Potenzfunktion integrieren:
  $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$

  Die Faktorregel hilft uns, einen konstanten Faktor $k$ im Integral zu berücksichtigen:
  $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $

  Handelt es sich bei der zu integrierenden Funktion um eine Summe zweier Funktionen, so können wir die Summenregel anwenden:
  $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$

  $\quad$

  Diese Regeln helfen uns aber nur, wenn wir die Integrale der wichtigsten Funktionen kennen:

  • $\displaystyle \int 3~\text{d}x =3x+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Wir integrieren eine Konstante, indem wir einfach ein $x$ anhängen und die Integrationskonstante $c$ addieren.

  $\quad$

  • $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x =\ln |x|+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Bei der Funktion $\frac{1}{x}$ können wir nicht die Potenzregel anwenden. Das Integral dieser Funktion ist gleich dem natürlichen Logarithmus des Betrags von $x$. Auch hier müssen wir noch die Integrationskonstante $c$ addieren.

  $\quad$

  • $\displaystyle \int e^x~\text{d}x =e^x+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Da sich $e^x$ beim Ableiten nicht verändert, verändert sich auch beim Integrieren die Funktion nicht. Wir behalten sie also bei und addieren die Integrationskonstante $c$.

  $\quad$

  • $\displaystyle \int \sin x~\text{d}x =- \cos x+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Das Integral der Sinusfunktion ist gleich der negativen Kosinusfunktion plus der Integrationskonstanten $c$.

  $\quad$

  • $\displaystyle \int \cos x~\text{d}x =\sin x+c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Das Integral der Kosinusfunktion ist gleich der Sinusfunktion plus $c$.

• Überprüfe die Berechnungen der Integrale.

  Tipps

  Du kannst zum Vereinfachen eines Terms die dritte binomische Formel verwenden:
  $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

  $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$

  Auch Potenzen mit negativem Exponenten $(\neq -1)$ kannst du mit der Potenzregel integrieren:

  $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$

  Lösung

  Um komplexere Integrale zu bestimmen, können wir uns der Potenzregel, der Faktor- und der Summenregel bedienen:

  • $\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \quad (c \in \mathbb{R})~(n \in \mathbb{R}, n \neq -1)$
  • $\displaystyle \int k \cdot f(x) ~\text{d}x = k \cdot \int f(x) ~\text{d}x $
  • $\displaystyle \int f(x) + g(x) ~\text{d}x = \int f(x) ~\text{d}x+ \int g(x) ~\text{d}x$

  Wir überprüfen damit die vorliegenden Integrale:

  Erstes Integral:
  $\displaystyle \int \frac{x^5}{5x} -3e^x ~\text{d}x $
  Wir fassen den ersten Summanden zusammen:
  $\displaystyle \int \frac{x^4}{5} -3e^x ~\text{d}x $
  Wir wenden die Summenregel an und teilen das Integral in zwei Teile:
  $\displaystyle \int \frac{x^4}{5} ~\text{d}x + \displaystyle \int -3e^x ~\text{d}x $
  Wir wenden nun die Faktorregel an, und ziehen die konstanten Faktoren vor die Integrale:
  $\dfrac{1}{5} \cdot \displaystyle \int x^4 ~\text{d}x - 3 \cdot \displaystyle \int e^x ~\text{d}x $
  Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral wenden wir die Potenzregel an. Beim zweiten Integral müssen wir wissen, dass sich die $e$-Funktion beim Integrieren nicht verändert. Zuletzt müssen wir noch die Integrationskonstante $c$ addieren:
  $\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{5}x^5 - 3 \cdot e^x +c $
  Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
  $ \dfrac{1}{25}x^5 - 3e^x +c \quad (c \in \mathbb{R})$
  Die vorliegende Lösung ist somit falsch, da einer der beiden Faktoren $\dfrac{1}{5}$ vergessen wurde.

  Zweites Integral:
  $\displaystyle \int 3 - \frac{x^2-1}{x-1} ~\text{d}x $
  Wir fassen den zweiten Summanden zusammen, indem wir die dritte binomische Formel anwenden:
  $ - \dfrac{(x+1) \cdot (x-1)}{x-1} = - \dfrac{x+1}{1} = -(x+1) $
  Wir können nun das Integral zusammenfassen:
  $\displaystyle \int 3 - (x+1) ~\text{d}x = \int 3 - x - 1 ~\text{d}x = \int 2 - x ~\text{d}x$
  Wir wenden die Summenregel an und teilen das Integral in zwei Teile:
  $\displaystyle \int 2 ~\text{d}x -\displaystyle \int x ~\text{d}x $
  Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral beachten wir, dass beim Integrieren einer Konstanten ein $x$ angehängt wird.
  $2x - \dfrac{1}{2}x^2 +c $
  Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
  $ 2x - \dfrac{x^2}{2} +c \quad (c \in \mathbb{R})$
  Die vorliegende Lösung ist somit richtig.

  Drittes Integral:
  $\displaystyle \int \frac{5}{x^5} + \frac{5}{x} ~\text{d}x $
  Wir können die Summanden nicht zusammenfassen und wenden direkt die Summenregel an:
  $\displaystyle \int \frac{5}{x^5} ~\text{d}x + \displaystyle \int\frac{5}{x} ~\text{d}x $
  Wir wenden nun die Faktorregel an, und ziehen die konstanten Faktoren vor die Integrale:
  $5 \cdot \displaystyle \int x^{-5} ~\text{d}x + 5 \cdot \displaystyle \int \frac{1}{x} ~\text{d}x $
  Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral wenden wir die Potenzregel an. Beim zweiten Integral ergibt sich der natürliche Logarithmus vom Betrag von $x$:
  $\dfrac{5}{-4}x^{-4} +5 \cdot \ln |x| +c $
  Wir können nun den Term noch zusammenfassen:
  $ -\dfrac{5}{4}x^{-4} +5 \cdot \ln |x| +c \quad (c \in \mathbb{R})$
  Die vorliegende Lösung ist somit falsch, da die beiden Summanden falsch zusammengefasst wurden.

  Viertes Integral:
  $\displaystyle \int \frac{1}{2}e (1- e^{x-1}) ~\text{d}x $
  Wir fassen den Term zusammen:
  $ \dfrac{1}{2}e (1- e^{x-1}) = \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2}e^1 \cdot e^{x-1} = \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2}e^{1+x-1} = \dfrac{1}{2}e - \dfrac{1}{2}e^{x}$
  Wir wenden die Summenregel an und teilen das Integral in zwei Teile:
  $\displaystyle \int \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e^x ~\text{d}x = \displaystyle \int \frac{1}{2}e ~\text{d}x -\displaystyle \int \frac{1}{2}e^x ~\text{d}x $
  Wir wenden nun die Faktorregel auf das zweite Integral an:
  $\displaystyle \int \frac{1}{2}e ~\text{d}x - \frac{1}{2} \cdot \displaystyle \int e^x ~\text{d}x $
  Wir berechnen nun die Integrale. Beim ersten Integral wird eine Konstante integriert, somit wird beim Integrieren ein $x$ angehängt. Die $e$-Funktion bleibt beim Integrieren erhalten:
  $\dfrac{1}{2}ex - \dfrac{1}{2}e^x +c \quad (c \in \mathbb{R})$
  Die vorliegende Lösung ist somit richtig.