Potenzregel für Integrale
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Grundlagen zum Thema Potenzregel für Integrale
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, unbestimmte Integrale zu berechnen, indem du die Potenzregel anwendest.
Zunächst lernst du, dass das Integrieren die Umkehrung vom Ableiten ist. Anschließend lernst du, dass sich beim Integrieren einer Potenzfunktion der Exponent um 1 erhöht und man mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multiplizieren muss. Abschließend erfährst du, wie du Brüche und Wurzeln integrieren kannst.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie unbestimmtes Integral, Stammfunktion, Potenzregel und Integrationskonstante.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Stammfunktionen kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Ableitungen haben.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Integrieren mit Summen- und Produktregel zu lernen.
Transkript Potenzregel für Integrale
Sich zu integrieren fällt nicht jedem auf Anhieb so leicht. Wenn es dann auch noch darum geht Funktionen zu integrieren, wird meist direkt das Handtuch geworfen. Das muss aber nicht sein. Wie du mit der „Potenzregel“ auch Integrale gut in den Griff bekommst, erfährst du in diesem Video. Integrale – wie dieses hier – können auf den ersten Blick erstmal etwas abschreckend wirken. Das Ganze ist aber halb so wild, wenn uns klar ist, dass das Integrieren gewissermaßen die Umkehrung des Ableitens ist. Ableitungen da müssen wir wohl nochmal ganz tief im Gedächtnis kramen. Also gut, eine Funktion, wie diese hier, haben wir schnell abgeleitet. F-Strich-von-x, also unsere Ableitungsfunktion, ist in diesem Fall gleich „drei x hoch zwei“. Wenn wir „x hoch drei“ hingegen integrieren, suchen wir eine Funktion, die abgeleitet wieder „x hoch drei“ ergibt. Eine solche Funktion nennen wir dann „Stammfunktion“. Diese schreiben wir mit einem Großbuchstaben – also „Groß-f-von-x“. Fällt dir eine Funktion ein, die abgeleitet „x hoch drei“ ergibt? Du kannst das Video ja kurz pausieren und selbst überlegen! Eine mögliche Stammfunktion lautet zum Beispiel „ein Viertel x hoch vier“. Wenn das Integrieren das Gegenteil vom Ableiten sein soll, dann muss sich der Grad einer Potenzfunktion dabei um eins erhöhen. Das klingt schonmal einleuchtend. Aber wo kommt denn jetzt der Faktor „ein Viertel“ her? Das wird klar, wenn wir das Ganze mal rückwärts durchgehen. Denn wenn wir die so aufgestellte Stammfunktion probeweise ableiten, kürzen sich „vier“ und „ein Viertel“ weg und wir erhalten genau das, was wir haben wollen. Somit haben wir überprüft, dass es sich bei „Groß-F-von-X“ tatsächlich um eine Stammfunktion von „x hoch drei“ handelt. Genauso wie „x hoch drei“ eine Stammfunktion von „drei x hoch zwei“ ist. Doch warum betonen wir eigentlich die ganze Zeit, dass es sich nur um eine mögliche Stammfunktion handelt? Anders als das Ableiten, durch das wir eine eindeutig bestimmte Ableitungsfunktion erhalten, führt das Integrieren nicht zu einer eindeutig bestimmten Stammfunktion. Das liegt daran, dass Konstanten beim Ableiten ja gleich null werden, sprich einfach wegfallen. Das heißt, dass zum Beispiel diese Funktion genauso eine Stammfunktion von „f-von-x“ ist. Wir können eine beliebige Zahl addieren oder subtrahieren. Die Ableitung wird immer „x hoch drei“ bleiben. Allgemein notieren wir dafür die Variable c und nennen sie die „Integrationskonstante“. Die sollten wir uns gut merken! Es gibt also nicht nur eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion, sondern unendlich viele! Und da kommt wieder unser Integral ins Spiel. Denn ein sogenanntes „unbestimmtes Integral“, wie dieses hier, gibt die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion an. Die betrachtete Funktion ist dabei von dem Integralzeichen und dem „d-x“, das anzeigt, dass wir nach x integrieren, eingerahmt. In diesem Fall ist das unbestimmte Integral also gleich „ein Viertel x hoch vier“ plus „C“, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist. Jetzt haben wir „x hoch drei“ integriert. In anderen Worten: Wir haben die Menge aller Stammfunktionen von „x hoch drei“ bestimmt. Und zwar mit der „Potenzregel“. Da gab es ja auch schon beim Ableiten eine entsprechende Regel. Die Potenzregel für Integrale besagt, dass sich der Exponent einer Potenzfunktion beim Integrieren um eins erhöht und wir dann nur noch durch den neuen Exponenten dividieren, sprich mit dem Kehrwert multiplizieren müssen. Das gilt für eine beliebige reelle Zahl n, außer minus eins. Zudem addieren wir noch die Integrationskonstante, also eine beliebige reelle Zahl. Schauen wir uns das nochmal an einem Beispiel an. Wenn wir „x hoch fünf“ integrieren möchten, müssen wir also den Exponenten auf sechs erhöhen, und dann noch mit einem Sechstel multiplizieren. Jetzt noch die Integrationskonstante addieren, damit wir auch wirklich alle Stammfunktionen abdecken, und fertig! Und auch einen Bruch wie „eins durch x Quadrat“ können wir mit dieser Regel integrieren. Dafür müssen wir uns nur daran erinnern, dass wir den Bruch auch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben können. Dann den Exponenten wieder um eins erhöhen, und mit dem Kehrwert multiplizieren. Der ist hier einfach gleich minus eins. Wir können diese Potenz wieder als Bruch schreiben und c addieren. Dann haben wir die Funktion integriert. Und natürlich dürfen wir auch nicht unsere geliebten Wurzelfunktionen vergessen. Auch so eine Funktion können wir mit der Potenzregel integrieren, wenn wir sie zunächst als Potenz umschreiben. Dann ist die Vorgehensweise wie gehabt: Exponenten um eins erhöhen und mit dem Kehrwert multiplizieren. Wir addieren wieder das c und können das Ganze anschließend auch wieder als Wurzel schreiben. Ob unser Ergebnis richtig ist, können wir überprüfen, indem wir es einfach wieder ableiten. Denn die Potenzregel für Ableitungen besagt ja gerade, dass wir die Potenz als Faktor nach vorne ziehen und um eins verringern. Dadurch kehren wir das Integrieren wieder um und sollten, wenn wir richtig gerechnet haben, unsere Ausgangsfunktion erhalten. Wenn du Bock hast, kannst du es ja mal ausprobieren! Wir fassen das Wichtigste nochmal auf einen Blick zusammen. Mit der Potenzregel für Integrale können wir das unbestimmte Integral von Potenzfunktionen bestimmen. Das ist gewissermaßen das Gegenteil vom Ableiten. Wir müssen also den Exponenten um eins erhöhen und dann mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multiplizieren. Da das „unbestimmte Integral“ die Menge aller Stammfunktionen der betrachteten Funktion beschreibt, addieren wir noch die „Integrationskonstante c“, also eine beliebige reelle Zahl, die als Konstante beim Ableiten immer wegfällt. Auch Brüche und Wurzeln können wir so integrieren, wenn wir sie zuvor als Potenzen umgeschrieben haben. Und eine gelungene Integration ist doch ein Gewinn für alle Seiten! Ende gut, alles gut!
Potenzregel für Integrale Übung
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Gib die Potenzregel für Integrale an.
TippsFür jede Stammfunktion gilt:
$F'(x) = f(x)$
Beispiel für das Integral der Potenzfunktion $f(x) = x^2$:
$\displaystyle \int x^2 ~\text{d}x = \dfrac{1}{2+1} x^{2+1} + c = \dfrac{x^3}{3} + c$
Mögliche Stammfunktionen:
$F_1(x) = \dfrac{x^3}{3} + 3$
$F_2(x) = \dfrac{x^3}{3} - 0{,}74$
$F_3(x) = \dfrac{x^3}{3}$
...
LösungDas Integral einer Funktion $f(x)$ gibt die Summe aller ihrer Stammfunktionen an. Das sind alle Funktionen $F(x)$, für die gilt $F'(x) = f(x)$. Das Integrieren ist also gewissermaßen die Umkehrung des Ableitens. Für Potenzfunktionen wie $f(x) = x^2$ gibt es auch hier eine Potenzregel: Wir müssen den Exponenten um eins erhöhen und den Term mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multiplizieren.
So erhalten wir für $\displaystyle \int x^2 ~\text{d}x = \dfrac{1}{2+1} x^{2+1} + c = \dfrac{x^3}{3} + c$Allgemein lautet die Potenzregel für $n \ne -1$:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$Die Integrationskonstante $c$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl. Für unterschiedliche Werte von $c$ erhalten wir verschiedene Stammfunktionen, deren Ableitung stets gleich der Ausgangsfunktion ist.
Zum Beispiel hat $f(x) = x^2$ die Stammfunktionen:$F_1(x) = \dfrac{x^3}{3} + 3$ mit $c = 3$
$F_2(x) = \dfrac{x^3}{3} - 0{,}74$ mit $c = -0{,}74$
$F_3(x) = \dfrac{x^3}{3}$ mit $c = 0$
...
Da die Konstante $c$ beim Ableiten von $F$ wegfällt, erhalten wir stets $f$.
-
Bestimme das Integral.
TippsSchreibe den Term zunächst als Potenzfunktion der Form:
$x^n$ mit $n \in \mathbb{R}$Beispiel:
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt[5]{x}} ~\text{d}x = \int x^{-\frac{1}{5}} ~\text{d}x = \frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + c = \frac{5}{4} \sqrt[5]{x^4} + c$
LösungPotenzregel für Integrale:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$Wir können die Potenzregel für Integrale für Potenzfunktionen der Form $x^n$ mit $n \in \mathbb{R}, n \ne -1$ anwenden. Auch Wurzeln oder Brüche können wir mithilfe der Potenzgesetze in diese Form bringen.
Beispiel 1:
$\displaystyle \int 3x^2 ~\text{d}x = 3 \cdot \dfrac{1}{2+1} x^{2+1} +c = x^3 +c$Beispiel 2:
$\displaystyle \int x^5 ~\text{d}x = \dfrac{1}{5+1} x^{5+1} + c= \dfrac{1}{6} x^6 + c$Beispiel 3:
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2} ~\text{d}x = \int x^{-2} ~\text{d}x = \dfrac{1}{-2+1} x^{-2+1} + c= \dfrac{1}{-1} x^{-1} + c= -\dfrac{1}{x} + c$Beispiel 4:
$\displaystyle \int \sqrt[3]{x^2} ~\text{d}x = \int x^{\frac{2}{3}} ~\text{d}x = \dfrac{1}{\frac{2}{3}+1} x^{\frac{2}{3}+1} + c= \dfrac{1}{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{3}} + c= \dfrac{3}{5} \sqrt[3]{x^5} + c$ -
Ermittle verschiedene Stammfunktionen.
TippsBestimme zunächst das Integral von $f(x)$. Durch Einsetzen verschiedener reeller Zahlen für die Integrationskonstante $c$ erhältst du unterschiedliche Stammfunktionen.
Beispiel:
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt[4]{x^3}} ~\text{d}x = \int x^{-\frac{3}{4}} ~\text{d}x = 4 x^{\frac{1}{4}} + c = 4 \sqrt[4]{x} + c$
LösungDie Potenzregel für Integrale lautet:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c$Sie gibt die Summe aller Stammfunktionen für eine Potenzfunktion $x^n$ an. Dabei steht die Integrationskonstante $c$ für eine beliebige reelle Zahl. Durch Einsetzen verschiedener Werte für $c$ erhalten wir unterschiedliche Stammfunktionen.
Da beim Ableiten Konstanten wegfallen, haben alle diese Stammfunktionen dieselbe Ableitung, die Ausgangsfunktion $x^n$.Wir integrieren:
- $\displaystyle \int x^4 ~\text{d}x = \dfrac{1}{4+1} x^{4+1} + c = \dfrac{x^5}{5} + c$
- $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^4} ~\text{d}x = \int x^{-4} ~\text{d}x = \dfrac{1}{-4+1} x^{-4+1} + c = -\dfrac{1}{3} x^{-3} + c = -\dfrac{1}{3x^3} + c$
- $\displaystyle \int \sqrt[4]{x} ~\text{d}x = \int x^\frac{1}{4} ~\text{d}x = \dfrac{1}{\frac{1}{4} + 1} x^{\frac{1}{4} + 1} + c = \dfrac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + c = \dfrac{4}{5} \sqrt[4]{x^5} + c$
Wir können die Stammfunktionen zuordnen:
$f(x) = x^4$:
- $F(x) = \dfrac{x^5}{5} - 3$ mit $c = -3$
- $F(x) = \dfrac{1}{5} x^5 $ mit $c = 0$
- $F(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{x^5}{5}$ mit $c = \dfrac{1}{2}$
$f(x) = \dfrac{1}{x^4}$:
- $F(x) = -\dfrac{1}{3x^3} + 17$ mit $c = 17$
- $F(x) = \dfrac{4}{5} -\dfrac{1}{3x^3}$ mit $c = \dfrac{4}{5}$
$f(x) = \sqrt[4]{x}$:
- $F(x) = \dfrac{4}{5} \sqrt[4]{x^5} - \dfrac{2}{3}$ mit $c = -\dfrac{2}{3}$
- $F(x) = \dfrac{4}{5} \sqrt[4]{x^5} + 1 $ mit $c = 1$
- $F(x) = \dfrac{4 \sqrt[4]{x^5}}{5}$ mit $c = 0$
Hinweis: Du kannst auch die Ableitung der Stammfunktion bilden, um sie der passenden Ausgangsfunktion zuzuordnen.
-
Berechne die unbestimmten Integrale.
TippsSchreibe den Term als Potenzfunktion der Form $x^n$.
Es gilt:
- $\dfrac{3}{x^2} = 3x^{-2}$
- $\sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}$
LösungPotenzregel für Integrale:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$Wir können die Potenzregel für Integrale für Potenzfunktionen der Form $x^n$ mit $n \in \mathbb{R}, n \ne -1$ anwenden. Auch Wurzeln oder Brüche können wir mithilfe der Potenzgesetze in diese Form bringen. Dazu nutzen wir die Potenzgesetze:
- $\dfrac{1}{a} = a^{-1}$
- $\sqrt[m]{a} = a^{\frac{1}{m}}$
Beispiel 1:
$\displaystyle \int x^{17} ~\text{d}x = \dfrac{1}{17+1} x^{17+1} +c = \dfrac{1}{18} x^{18} +c$Beispiel 2:
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x^{19}} ~\text{d}x = \int x^{-19} ~\text{d}x = \dfrac{1}{-19+1} x^{-19+1} + c= -\dfrac{1}{18} x^{-18} + c = -\dfrac{1}{18x^{18}} + c$Beispiel 3:
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^6}} ~\text{d}x = \int \dfrac{1}{x^3} ~\text{d}x = \int x^{-3} ~\text{d}x = \dfrac{1}{-3+1} x^{-3+1} + c= -\dfrac{1}{2} x^{-2} + c= -\dfrac{1}{2x^2} + c$Beispiel 4:
$\displaystyle \int \sqrt[6]{x^2} ~\text{d}x = \int x^{\frac{2}{6}} ~\text{d}x = \int x^{\frac{1}{3}} ~\text{d}x = \dfrac{1}{\frac{1}{3}+1} x^{\frac{1}{3}+1} + c= \dfrac{1}{\frac{4}{3}} x^{\frac{4}{3}} + c= \dfrac{3}{4} \sqrt[3]{x^4} + c$Beispiel 5:
$\displaystyle \int \sqrt{x^{18}} ~\text{d}x = \int x^{\frac{18}{2}} ~\text{d}x = \int x^9 ~\text{d}x = \dfrac{1}{9+1} x^{9+1} + c= \dfrac{1}{10} x^{10} + c$ -
Vervollständige die Tabelle mit den Ableitungen der Potenzfunktionen.
TippsPotenzregel für die Ableitung:
$f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$
Beispiel:
$f(x) = x^7 \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = 7 \cdot x^{6}$
Potenzgesetze:
$\dfrac{1}{a} = a^{-1}$
$\sqrt[m]{a} = a^{\frac{1}{m}}$
LösungWir können Potenzfunktionen mithilfe der Potenzregel für die Ableitung ableiten:
$f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}$
Dazu ziehen wir den Exponenten als Faktor nach vorne und verringern ihn dann um eins. Das funktioniert auch, wenn der Exponent negativ oder ein Bruch ist.
Wir erhalten die folgenden Ableitungen:
$\begin{array}{l|c|c|c|c} & & & & \\ f(x) & x & x^2 & \sqrt{x} & \dfrac{1}{x^2} \\ & & & & \\ \hline & & & & \\ f'(x) & 1 & 2x & \dfrac{1}{2\sqrt{x}} & -\dfrac{2}{x^3} \\ & & & & \end{array}$
Wir rechnen:
- $f(x) = x = x^1 \quad \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1$
- $f(x) = x^2 \quad \quad \quad \ \ \ ~ \rightarrow \quad f^\prime(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$
- $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = \dfrac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$
- $f(x) = \dfrac{1}{x^2} = x^{-2} \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = -2 \cdot x^{-2-1} = -2 \cdot x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3}$
-
Entscheide, ob die Potenzregel richtig angewendet wurde.
TippsPotenzregel für Integrale:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$
für $n \in \mathbb{R}, n \ne -1$ und $c \in \mathbb{R}$.
Für jede Stammfunktion gilt:
$F'(x) = f(x)$
LösungWir können das unbestimmte Integral für Potenzfunktionen der Form $x^n$ mit $n \in \mathbb{R}, n \ne -1$ mit der Potenzregel bestimmen:
$\displaystyle \int x^n ~\text{d}x = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c$
Um zu überprüfen, ob du richtig integriert hast, kannst du die Ableitung der Stammfunktion bestimmen. Diese muss stets gleich der Ausgangsfunktion sein:
$F'(x) = f(x)$Beispiel 1: $\displaystyle \int \dfrac{7}{x^7} ~\text{d}x = \dfrac{1}{x^8} + c$
Ableitung: $F(x) = \dfrac{1}{x^8} + c = x^{-8} + c \quad \to \quad F'(x) = -8x^{-9} = -\dfrac{8}{x^9}$
$\Rightarrow$ Integral falsch
Integral: $\displaystyle \int \dfrac{7}{x^7} ~\text{d}x = \int 7 x^{-7} ~\text{d}x = \dfrac{7}{-7 + 1} x^{-7 + 1} + c = -\dfrac{7}{6x^6} + c$Beispiel 2: $\displaystyle \int \dfrac{4}{3} \sqrt[3]{x} ~\text{d}x = \sqrt[3]{x} + c$
Ableitung: $F(x) = \sqrt[3]{x} + c = x^{\frac{1}{3}} + c \quad \to \quad F'(x) = \dfrac{1}{3} x^{\frac{1}{3} -1} = \dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$
$\Rightarrow$ Integral falsch.
Integral: $\displaystyle \int \dfrac{4}{3} \sqrt[3]{x} ~\text{d}x = \int \dfrac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} ~\text{d}x = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{3}+1}x^{\frac{1}{3}+1} + c = x^{\frac{4}{3}} + c = \sqrt[3]{x^4} + c$Beispiel 3: $\displaystyle \int -80 \dfrac{x^2}{x^7} ~\text{d}x = \dfrac{20}{x^4} + c$
Ableitung: $F(x) = \dfrac{20}{x^4} + c = 20 x^{-4} + c \quad \to \quad F'(x) = 20 \cdot (-4)x^{-4 -1} = -80 x^{-5} = -\dfrac{80}{x^5}$
$\Rightarrow$ Integral richtig, da $-80 \dfrac{x^2}{x^7} = -\dfrac{80}{x^5}$.
Integral: $\displaystyle \int -80 \dfrac{x^2}{x^7} ~\text{d}x = \int -80 \dfrac{1}{x^5} ~\text{d}x = \int -80 \cdot x^{-5} ~\text{d}x = -80 \cdot \dfrac{1}{-5+1}x^{-5+1} + c = \dfrac{20}{x^4} + c$
Beispiel 4: $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~\text{d}x = c$
Ableitung: $F(x) = c \quad \to \quad F'(x) = 0$
$\Rightarrow$ Integral falsch.
Wir dürfen hier die Potenzregel nicht anwenden, da diese nur für $n \ne -1$ gilt und $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ ist.
Es gilt: $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~\text{d}x = ln\vert x \vert + c$Beispiel 5: $\displaystyle \int x^2 + 2x ~\text{d}x = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + c$
Ableitung: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + c \quad \to \quad F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} + 2x = x^2 + 2x$
$\Rightarrow$ Integral richtig.
Integral: $\displaystyle \int x^2 + 2x ~\text{d}x = \dfrac{1}{2+1} x^{2+1} + 2 \cdot \dfrac{1}{1+1} x^{1+1} + c = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + c$Beispiel 6: $\displaystyle \int 5 \sqrt[5]{x} ~\text{d}x = \dfrac{25}{6} \sqrt[5]{x^6} + c$
Ableitung: $F(x) = \dfrac{25}{6} \sqrt[5]{x^6} + c = \dfrac{25}{6} x^{\frac{6}{5}} + c \quad \to \quad F'(x) = \dfrac{25}{6} \cdot \dfrac{6}{5}x^{\frac{1}{5}} = 5 \sqrt[5]{x}$
$\Rightarrow$ Integral richtig.Integral: $\displaystyle \int 5 \sqrt[5]{x} ~\text{d}x = \int x^{\frac{1}{5}} ~\text{d}x = \dfrac{5}{\frac{1}{5}+1} x^{\frac{1}{5}+1} + c = \dfrac{5}{\frac{6}{5}} x^{\frac{6}{5}} + c = \dfrac{25}{6} \sqrt[5]{x^6} + c$
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