Lineare Substitutionsregel für Integrale

Lineare Substitutionsregel für Integrale Übung

• Beschreibe die lineare Substitutionsregel.

  Tipps

  Wir können die lineare Substitutionsregel immer dann anwenden, wenn in uns bekannten Funktionen, wie zum Beispiel $f(x)= x^4$, anstelle des $x$ ein linearer Funktionsterm der Form $m \cdot x +b$ steht.

  Beispiel: $f(x)=(4x+5)^4$

  Beispiel:

  $\displaystyle \int (4x+5)^4~\text{d}x$

  $~= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5}(4x+5)^5 +c$

  $~= \dfrac{1}{20}(4x+5)^5 +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Lösung

  Die lineare Substitutionsregel hilft uns beim Integrieren ganz bestimmter Funktionen.
  Bei der Integration einer verketteten Funktion, bei der die innere Funktion eine lineare Funktion der Form $\color{#99CC00}{m \cdot x +b}$ ist, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden. Wir nennen sie daher auch lineare Kettenregel.

  In uns bekannten Funktionen, wie zum Beispiel $f(x)= x^4$, steht dann anstelle des $x$ ein linearer Funktionsterm der Form $mx +b$.

  Beispiel: $f(x)= (4x+5)^4$

  Wenn wir eine solche Funktion integrieren möchten, können wir die äußere Funktion zunächst einfach wie gewohnt integrieren, indem wir die Stammfunktion bilden. Diese multiplizieren wir noch mit dem Kehrwert von $m$.
  Formal lautet die lineare Substitutionsregel:

  $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{m}}\color{black}{ ~\cdot~} F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  In unserem Beispiel setzen wir dies wie folgt um:

  $\displaystyle \int (4x+5)^4~\text{d}x = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5}(4x+5)^5 +c = \dfrac{1}{20}(4x+5)^5 +c \quad (c \in \mathbb{R})$

• Benenne Integrale, die mit der linearen Substitutionsregel gebildet werden können.

  Tipps

  Steht in einem Integral eine verkettete Funktion, bei der die innere Funktion eine lineare Funktion der Form $mx+b$ ist, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden.

  Hier siehst du einige Beispiele für lineare Funktionen:

  • $3x-4$
  • $5+x$
  • $2x+7$
  • $6x$

  Lösung

  Steht in einem Integral eine verkettete Funktion, bei der die innere Funktion eine lineare Funktion der Form $mx+b$ ist, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden. Wir nennen sie daher auch lineare Kettenregel.

  In uns bekannten Funktionen steht dann anstelle des $x$ ein linearer Funktionsterm der Form $m \cdot x +b$.

  Wir überprüfen die gegebenen Integrale:

  • $\displaystyle \int (4x+5)^4~\text{d}x$

  Die äußere Funktion ist $x^4$ und die innere Funktion ist $4x+5$, also linear.
  $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann angewendet werden.

  • $\displaystyle \int e^{3x}~\text{d}x$

  Die äußere Funktion ist $e^x$ und die innere Funktion ist $3x$, also linear.
  $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann angewendet werden.

  • $\displaystyle \int e^{2x^2}~\text{d}x$

  Die äußere Funktion ist $x^4$ und die innere Funktion ist $2x^2$, also quadratisch und nicht linear.
  $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann nicht angewendet werden.

  • $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^3-x^2+1}~\text{d}x$

  Die äußere Funktion ist $\dfrac{1}{x}$ und die innere Funktion ist $x^3-x^2+1$, also kubisch und nicht linear.
  $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann nicht angewendet werden.

  • $\displaystyle \int \dfrac{1}{3-x}~\text{d}x$

  Die äußere Funktion ist $\dfrac{1}{x}$ und die innere Funktion ist $3-x$, also linear, dies erkennen wir besser, wenn wir sie umschreiben: $3-x = -1x+3$
  $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann angewendet werden.

  • $\displaystyle \int \cos (2x-4)~\text{d}x$

  Die äußere Funktion ist $\cos x$ und die innere Funktion ist $2x-4$, also linear.
  $\Rightarrow \quad$ Die lineare Substitutionsregel kann angewendet werden.

  Ergänzung:
  Wenn wir eine solche Funktion integrieren möchten, können wir die äußere Funktion zunächst wie gewohnt integrieren, also eine entsprechende Stammfunktion aufstellen. Dann müssen wir mit dem Kehrwert von $m$ multiplizieren. Formal schreiben wir:

  $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

• Wende die lineare Substitutionsregel zur Berechnung der Integrale an.

  Tipps

  Beispiel:

  $\displaystyle \int e^{-3x-1}~\text{d}x = -\frac{1}{3} \cdot e^{-3x-1} +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Beachte die Vorzeichen.

  Lösung

  Wir wenden die lineare Substitutionsregel an:

  $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Dazu tragen wir in die erste Lücke jeweils den Kehrwert $\frac{1}{m}$ ein, und in die zweite Lücke die Stammfunktion $F(mx+b)$.

  Erstes Integral:
  $\displaystyle \int e^{4x}~\text{d}x = \dfrac{1}{4} \cdot e^{4x} +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Zweites Integral:
  $\displaystyle \int \cos(5-2x)~\text{d}x = \frac{1}{-2} \cdot \sin(5-2x) +c = -\frac{1}{2} \sin(5-2x) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

• Bestimme die Integrale mit der linearen Substitutionsregel.

  Tipps

  Identifiziere jeweils zuerst die innere Funktion und den Faktor $m$ vor $x$.

  Wende dann die Regel an:

  $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Es gilt:

  $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x = \ln(\vert x\vert) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Lösung

  In den vorliegenden Integralen stehen verkettete Funktion, bei der die innere Funktion jeweils eine lineare Funktion der Form $mx+b$ ist. Wir können daher die lineare Substitutionsregel anwenden:

  $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Wir identifizieren dazu jeweils zuerst die innere Funktion und speziell die Zahl $m$. Anschließend wenden wir die Regel an.

  Rechnung 1:

  $\displaystyle \int (2x+5)^3~\text{d}x$
  Die innere Funktion lautet $2x+5$, also ist $m=2$.
  $\begin{array}{ll} \displaystyle \int (2x+5)^3~\text{d}x &= {\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}(2x+5)^4 +c} \\ \\ \displaystyle &= {\dfrac{1}{8}(2x+5)^4 +c} \\ \\ \displaystyle &= {\dfrac{1}{8}(5+2x)^4 +c} \quad (c \in \mathbb{R}) \end{array}$

  Rechnung 2:

  $\displaystyle \int \frac{1}{(4x+5)^2}~\text{d}x$
  Die innere Funktion lautet $4x+5$, also ist $m=4$.
  $\begin{array}{ll} \displaystyle \int \dfrac{1}{(4x+5)^2}~\text{d}x &= {\displaystyle \int (4x+5)^{-2}~\text{d}x} \\ \\ \displaystyle &= {\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{-1}\cdot (4x+5)^{-1} +c} \\ \\ \displaystyle &= {- \dfrac{1}{4(4x+5)} +c} \\ \\ \displaystyle &= {- \dfrac{1}{16x+20} +c} \\ \\ &= {- (16x+20)^{-1} +c} \quad (c \in \mathbb{R}) \end{array}$

  Rechnung 3:

  $\displaystyle \int \frac{1}{3x+4}~\text{d}x $
  Die innere Funktion lautet $3x+4$, also ist $m=3$.
  $\displaystyle \int \dfrac{1}{3x+4}~\text{d}x = {\dfrac{1}{3} \ln (\vert 3x+4 \vert) +c} \quad (c \in \mathbb{R})$
  Dabei nutzen wir die Regel:
  $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x = \ln(\vert x\vert) +c \quad (c \in \mathbb{R})$

  Rechnung 4:

  $\displaystyle \int (3-3x)^3~\text{d}x$
  Die innere Funktion lautet $3-3x$, also ist $m=-3$.
  $\displaystyle \int (3-3x)^3~\text{d}x = {\dfrac{1}{-3} \cdot \dfrac{1}{4}(3-3x)^4 +c} = {-\dfrac{1}{12}(3-3x)^4 +c} \quad (c \in \mathbb{R})$

• Gib die lineare innere Funktion an.

  Tipps

  Die innere Funktion ist eine lineare Funktion. Diese schreiben wir allgemein in der Form ${m \cdot x +b}$.

  Achte auf negative Vorzeichen.

  Lösung

  Für Integrale von verketteten Funktionen, bei denen die innere Funktion eine lineare Funktion ist, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden. Wir nennen sie daher auch lineare Kettenregel.
  Um die Regel richtig anzuwenden, ist es besonders wichtig, die innere Funktion korrekt zu identifizieren.

  Die innere Funktion ist eine lineare Funktion. Diese schreiben wir allgemein in der Form:
  $m \cdot x +b$
  Dabei nennen wir $m$ die Steigung und $b$ den $y$-Achsenabschnitt.

  In uns bekannten Funktionen, wie zum Beispiel $f(x)= x^4$ steht dann also anstelle des $x$ ein linearer Funktionsterm der Form $m \cdot x +b$.
  Beispiel: $f(x)= (4x+5)^4$

  Wir betrachten die vorliegenden Funktionen:

  • $\displaystyle \int \sin (3x+4) ~\text{d}x \quad$

  Die lineare innere Funktion lautet: $\color{#99CC00}{3x+4}$

  • $\displaystyle \int (-5x+4)^5 ~\text{d}x \quad$

  Die lineare innere Funktion lautet: $\color{#99CC00}{-5x+4}$

  • $\displaystyle \int \sqrt{2x+1} ~\text{d}x \quad$

  Die lineare innere Funktion lautet: $\color{#99CC00}{2x+1}$

  Werden solche Funktionen integriert, können wir die lineare Substitutionsregel anwenden:
  $\displaystyle \int f(mx+b)~\text{d}x = \dfrac{1}{m} \cdot F(mx+b) +c$ mit $c \in \mathbb{R}$

  Wir können die äußere Funktion also zunächst einfach wie gewohnt integrieren, also eine entsprechende Stammfunktion aufstellen. Dann müssen wir nur noch mit dem Kehrwert von $m$ multiplizieren.

  Damit erhalten wir für die Integrale:

  • $\displaystyle \int \sin (3x+4) ~\text{d}x = -\dfrac{1}{3}\cos(3x+4) +c \quad (c \in \mathbb{R})$
  • $\displaystyle \int (-5x+4)^5 ~\text{d}x= -\dfrac{1}{30}(-5x+4)^6 \quad (c \in \mathbb{R})$
  • $\displaystyle \int \sqrt{2x+1} ~\text{d}x = \dfrac{1}{3}(2x+1)^{1{,}5} \quad (c \in \mathbb{R})$

• Entscheide, bei welchen Integralen die lineare Substitutionsregel angewendet werden kann.

  Tipps

  Identifiziere zunächst die innere Funktion. Entscheide dann, ob es sich hierbei um eine lineare Funktion handelt.

  In manchen Fällen kannst du den inneren Funktionsterm noch zusammenfassen.

  Denk an die dritte binomische Formel:

  $a^2-b^2 =(a+b)(a-b)$

  Lösung

  Die lineare Substitutionsregel können wir bei verketteten Funktionen immer dann anwenden, wenn die innere Funktion eine lineare Funktion der Form $mx+b$ ist. Wir nennen sie daher auch lineare Kettenregel.

  In den vorliegenden Integralen stehen verkettete Funktion. Wir müssen jeweils die innere Funktion identifizieren und entscheiden, ob es sich um eine lineare Funktion handelt. In manchen Fällen müssen wir die innere Funktion dazu erst vereinfachen.

  Integral 1:

  $\displaystyle \int (3-2x^2)^{-2}~\text{d}x $
  Die innere Funktion lautet $3-2x^2$. Hierbei handelt es sich wegen $x^2$ um eine quadratische Funktion, wir können also die lineare Substitutionsregel nicht anwenden.

  Integral 2:

  $\displaystyle \int e^{\sqrt{5x+1}}~\text{d}x$
  Die innere Funktion lautet $\sqrt{5x+1}$. Hierbei handelt es sich um eine Wurzelfunktion, wir können also die lineare Substitutionsregel nicht anwenden.

  Integral 3:

  $\displaystyle \int \cos \left(\dfrac{1-x^2}{1+x}\right)~\text{d}x $
  Wir können den Bruch im Kosinus-Argument mithilfe der binomischen Formel kürzen:

  $\dfrac{1-x^2}{1+x} = \dfrac{(1-x)(1+x)}{1+x} = 1-x$

  Wir erhalten somit das Integral:

  $\displaystyle \int \cos(1-x)~\text{d}x $

  Die innere Funktion ist somit linear, wir können die Regel anwenden. Es gilt $m=-1$.

  $\displaystyle \int \cos(1-x)~\text{d}x = {\dfrac{1}{-1} \sin(1-x) +c} = {- \sin(1-x) +c} \quad (c \in \mathbb{R})$

  Integral 4:

  $\displaystyle \int \left(\dfrac{4+ x^2 -2^2 +10x}{2x} \right)^3~\text{d}x $

  Wir können den Bruch, welcher die innere Funktion darstellt, zusammenfassen und kürzen:

  $\begin{array}{ll} \dfrac{4+ x^2 -2^2 +10x}{2x} &= {\dfrac{4-2^2+x^2+10x}{2x}} \\ \\ &= {\dfrac{x^2+10x}{2x}} = {\dfrac{x(x+10)}{2x}} \\ \\ &= {\dfrac{x+10}{2}} = {\dfrac{1}{2}x+5} \end{array}$

  Die innere Funktion ist also linear und die lineare Substitutionsregel somit anwendbar:

  $\displaystyle \int \left(\dfrac{1}{2}x+5 \right)^3~\text{d}x$

  Die innere Funktion lautet $\frac{1}{2}x+5$, also ist $m=\frac{1}{2}$.

  $\begin{array}{ll} \displaystyle \int \left(\dfrac{1}{2}x+5 \right)^3~\text{d}x &= {2 \cdot \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{2}x+5 \right)^4 +c} \\ \\ &= {\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2}x+5 \right)^4 +c} \quad (c \in \mathbb{R}) \end{array}$