Mittlere und lokale Änderungsrate

Mittlere und lokale Änderungsrate Übung

• Ergänze die Erklärung zur mittleren und lokalen Änderungsrate.

  Tipps

  Der Name „Differenzenquotient“ rührt daher, dass du den Quotienten aus Differenzen bildest.

  Achte bei dem Differenzenquotienten unbedingt auf die Reihenfolge der Subtraktion im Zähler und im Nenner.

  Lösung

  In vielen Zusammenhängen musst du die mittlere Änderungsrate berechnen. Diese wird dir auch in Form von anderen Bezeichnungen begegnen:

  • Durchschnittsgeschwindigkeit
  • durchschnittliches Wachstum
  • mittleres Wachstum
  • ...

  Gemeinsam ist diesen Aufgabenstellungen immer, dass es um die Steigung einer Sekante geht. Das bedeutet, dass du zwei Punkte benötigst oder im Zusammenhang mit Funktionen ein Intervall $[x_0;x_0+h]$.

  Du berechnest dann die mittlere Änderungsrate mit Hilfe des Differenzenquotienten:

  $m_{[x_0;x_0+h]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  In manchen Zusammenhängen wird auch nach einer lokalen Änderungsrate oder beispielsweise einer Momentangeschwindigkeit oder dem Wachstum zu einem Zeitpunkt gefragt. Hier geht es immer um den Grenzwert des Differenzenquotienten:

  $m_{x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  Dieser Grenzwert wird auch als Differentialquotient bezeichnet.

  Das sieht nun sehr kompliziert aus. Hier nun ein Geheimnis: Die lokale Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ ist nichts anderes als die Ableitung dieser Funktion an dieser Stelle, also $m_{x_0}=f'(x_0)$.

• Berechne die mittlere Änderungsrate vom Schneefernerkopf zur Zugspitze.

  Tipps

  Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall $[a;b]$ kannst du mit der folgenden Formel berechnen:

  $m_{\left[a;b\right]}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Achte auf die Reihenfolge der Differenzen. Die Reihenfolge der Subtraktion im Zähler und im Nenner muss übereinstimmen.

  Wenn du zwei Punkte $(5000|3200)$ und $(8000|4700)$ betrachtest, erhältst du als mittlere Änderungsrate

  $m_{\left[5000|8000\right]}=\frac{4700-3200}{8000-5000}=\frac{1500}{3000}=\frac12=0,5$.

  Das wäre allerdings schon ein ziemlich steiler Anstieg.

  Lösung

  Tim verwendet die Formel für den Differenzenquotienten, um die mittlere Änderungsrate in einem vorgegebenen Intervall $[x_0;x_0+h]$ zu berechnen:

  $m_{\left[x_0;x_0+h\right]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  Da hier keine Funktion, sondern zwei Punkte gegeben sind, geht er wie folgt vor: $m_{\left[13200;16200\right]}=\frac{2962-2874}{16200-13200}$.

  Er dividiert die Differenz der Höhenmeter durch die Differenz der horizontalen Distanzen. Dabei muss er auf die Reihenfolge achten. Hier subtrahiert er von den Höhenmetern der Zugspitze die Höhenmeter des Schneefernerkopfs.

  Er rechnet nun weiter: $m_{\left[13200;16200\right]}=\frac{88}{3000}\approx 0,03$.

  Das bedeutet, dass er bei einer horizontalen Distanz von $100$ Metern $3~\text{m}$ Höhenmeter zurücklegt.

• Berechne die mittlere Änderungsrate von $f$ bei gegebenem Intervall.

  Tipps

  Verwende für die mittlere Änderungsrate die Formel

  $m_{[x_0;x_0+h]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  In dieser Aufgabe ist $x_0=0$. Der Summand $h$ ändert sich jeweils.

  Schau dir ein Beispiel an für das Intervall $[0;0,1]$.

  $m_{[0;0,1]}=\frac{f(0,1)-f(0)}{0,1}=\frac{2,21-2}{0,1}=2,1$

  Lösung

  Im Folgenden verwendest du für die Berechnung der mittleren Änderungsrate immer die Formel

  $m_{[x_0;x_0+h]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  Dabei ist $x_0=0$.

  • $m_{[0;1]}=\frac{f(1)-f(0)}{1}=\frac{5-2}1=3$: Diese Steigung kannst du in dem nebenstehenden Bild erkennen.
  • $m_{[0;0,8]}=\frac{f(0,8)-f(0)}{0,8}=\frac{4,24-2}{0,8}=2,8$
  • $m_{[0;0,6]}=\frac{f(0,6)-f(0)}{0,6}=\frac{3,56-2}{0,6}=2,6$
  • $m_{[0;0,4]}=\frac{f(0,4)-f(0)}{0,4}=\frac{2,96-2}{0,4}=2,4$
  • $m_{[0;0,2]}=\frac{f(0,2)-f(0)}{0,2}=\frac{2,44-2}{0,2}=2,2$

• Leite die lokale Änderungsrate an der Stelle $x_0=0$ her.

  Tipps

  Die lokale Änderungsrate ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten.

  Die lokale Änderungsrate $m_{x_0}$ an der Stelle $x_0$ ist gegeben durch die folgende Beziehung:

  $m_{x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  Lösung

  Wenn du ganz genau hinschaust, kannst du hier bereits die lokale Änderungsrate erkennen. Diese ist $m_0=2$.

  Nur leider ist es in der Mathematik nicht üblich, Ergebnisse abzulesen. Abgesehen davon, ist ein solches Vorgehen meist zu ungenau.

  Die lokale Änderungsrate ist allgemein gegeben durch den Grenzwert des Differenzenquotienten:

  $m_{x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  In unserem Beispiel mit $x_0=0$ vereinfacht sich die Formel für die lokale Änderungsrate zu:

  $m_{0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}$.

  Wir schauen uns zunächst den Quotienten an:

  $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^2+2h+2-2}{h}=\frac{h^2+2h}{h}=\frac{h(h+2)}{h}=h+2$.

  Nun kannst du den Grenzwert bestimmen:

  $m_{0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(h+2)=2$.

  Du kannst die lokale Änderungsrate auch so berechnen:

  • Du bestimmst die erste Ableitung der Funktion $f$. Diese ist $f'(x)=2x+2$.
  • Dann ist $m_0=f'(0)=2\cdot 0+2=2$.

• Beschreibe den Unterschied zwischen der mittleren und der lokalen Änderungsrate.

  Tipps

  Mit Hilfe eines Steigungsdreiecks kannst du die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte berechnen. Hier ist

  $m=\frac{1-4}{0-(-4)}=-\frac34$.

  • Eine Sekante schneidet den Graphen einer Funktion in (mindestens) zwei Punkten.
  • Eine Tangente berührt den Graphen einer Funktion in einem Punkt.

  Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ in dem Intervall $[a;b]$ ist wie folgt definiert:

  $m_{\left[a;b\right]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  Sie beschreibt die mittlere Steigung in einem Streckenabschnitt.

  Die lokale Änderungsrate beschreibt die lokale Steigung an einer Stelle.

  Lösung

  Was ist der Unterschied zwischen einer mittleren und einer lokalen Änderungsrate?

  Zur Berechnung der mittleren Änderungsrate einer Funktion $f$ benötigst du ein Intervall $[a;b]$ oder gerne auch $[x_0;x_0+h]$. Nun berechnest du die mittlere Änderungsrate:

  $m_{[x_0;x_0+h]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  Da du hier den Quotienten zweier Differenzen bildest, wird dieser auch als Differenzenquotient bezeichnet.

  Anschaulich entspricht die mittlere Änderungsrate in einem Intervall der Steigung einer Sekante, hier grün eingezeichnet.

  Die lokale Änderungsrate ergibt sich als Grenzwert der mittleren Änderungsrate:

  $m_{x_0}=f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  Die lokale Änderungsrate wird auch als Differentialquotient bezeichnet. Anschaulich entspricht diese der Steigung einer Tangente, hier rot eingezeichnet.

  Die Schreibweise $f'(x_0)$ kennst du vielleicht bereits oder lernst sie sehr bald kennen. Der Strich steht für die Ableitung.

• Ermittle die Stelle $x_0$, an welcher die lokale Änderungsrate so groß ist wie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall $[-1;2]$.

  Tipps

  Verwende die folgende Definition für die mittlere Änderungsrate:

  $m_{[x_0;x_0+h]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  Die mittlere Änderungsrate ist eine natürliche Zahl.

  Es ist $m_{x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2+2(x_0+h)+2-(x_0^2+2x_0+2)}{h}$ die lokale Änderungsrate.

  Verwende die erste binomische Formel $(x_0+h)^2=x_0^2+2x_0h+h^2$.

  Lösung

  Zunächst berechnest du die mittlere Änderungsrate für die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+2x+2$ auf dem gegebenen Intervall $[-1;2]$. Es ist also $x_0=-1$ und $h=3$.

  Damit ist

  $m_{[-1;-1+3]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(-1+3)-f(-1)}{3}=\frac{f(2)-f(-1)}{3}$.

  Berechne zunächst die Funktionswerte

  • $f(-1)=(-1)^2+2\cdot (-1)+2=1$ und
  • $f(2)=2^2+2\cdot 2+2=10$.

  Nun kann es losgehen: $m_{[-1;2]}=\frac{10-1}3=\frac93=3$.

  Die lokale Änderungsrate ist allgemein gegeben durch den Grenzwert des Differenzenquotienten:

  $m_{x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

  Dieser Grenzwert wird im Folgenden für die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+2x+2$ hergeleitet.

  $\begin{array}{rclll} m_{x_0}&=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2+2(x_0+h)+2-(x_0^2+2x_0+2)}{h}&|&\text{1. binomische Formel}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{x_0^2+2x_0h+h^2+2x_0+2h+2-x_0^2-2x_0-2}{h}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{2x_0h+h^2+2h}{h}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{h(2x_0+h+2)}{h}\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}(2x_0+h+2) \end{array}$

  Zuletzt berechnest du den Grenzwert:

  $m_{x_0}=\lim\limits_{h\to 0}(2x_0+h+2)=2x_0+2$.

  Es muss also für $x_0$ gelten: $2x_0+2=3$.

  • Subtrahiere $2$ auf beiden Seiten der Gleichung, so erhältst du $2x_0=1$.
  • Dividiere nun beide Seiten der Gleichung durch $2$. So kommst du zu $x_0=\frac12=0,5$.