Mittlere und lokale Änderungsrate – Beispiele

Mittlere und lokale Änderungsrate – Beispiele Übung

• Berechne die mittlere Änderungsrate für die gegebenen Intervalle.

  Tipps

  Sei das Intervall $[a;b]$ gegeben. So berechnet sich die mittlere Änderungsrate wie folgt:

  $m_{[a;b]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  Achte darauf, dass die Reihenfolge der Subtraktion im Zähler und im Nenner übereinstimmen muss.

  Schau dir ein Beispiel an: $I_4=[20;60]$

  Es ist $m_4=\frac{8-2}{60-20}=\frac{6}{40}=0,15$.

  Lösung

  Die Wachstumsfunktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=2^{\frac1{20}x}$.

  Nun sollst du die mittlere Änderungsrate, also die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit, für vorgegebene Intervalle berechnen. Da du hierfür die Funktionswerte an den Intervallgrenzen benötigst, kannst du diese zunächst berechnen und in einer Wertetabelle notieren:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} \text{Zeit in Minuten}&0&20&40&60&80\\ \hline \text{Anzahl der Bakterien}&1&2&4&8&16 \end{array}$

  Du kannst anhand der Wertetabelle bereits erkennen, dass sich die Anzahl der Bakterien alle $20$ Minuten verdoppelt. Die Zeit, in welcher sich ein Bestand verdoppelt, wird als Verdopplungszeit oder auch Generationszeit bezeichnet. Die mittlere Änderungsrate verdoppelt sich ebenfalls alle $20$ Minuten. Das kannst du nun sehen:

  • Auf dem Intervall $I_1=[20;40]$ ergibt sich $m_1=\frac{4-2}{40-20}=\frac{2}{20}=0,1$.
  • Ebenso kannst du die mittlere Änderungsrate auf den beiden übrigen Intervallen berechnen:
  • $m_2=\frac{8-4}{60-40}=\frac{4}{20}=0,2$
  • $m_3=\frac{16-8}{80-60}=\frac{8}{20}=0,4$

• Beschreibe, wie du die lokale Änderungsrate berechnen kannst.

  Tipps

  Verwende die folgende Formel für die lokale Änderungsrate

  $s'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{s(x_0+h)-s(x_0)}{h}$.

  Verwende die 1. binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Beachte, dass du nur Faktoren kürzen kannst.

  Lösung

  Hier kannst du an dem Beispiel $t_1=3$ ausführlich sehen, wie die lokale Änderungsrate bestimmt wird. Die Berechnung für die beiden anderen Zeitpunkte verläuft vollkommen analog. Am Ende der Lösung werden die entsprechenden lokalen Änderungsraten angegeben.

  Für den Differentialquotienten und somit die lokale Änderungsrate zum Zeitpunkt $t_1=3$ gilt:

  $m_1=s'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{20(3+h)-(3+h)^2-(20\cdot 3-3^2)}{h}$

  Wir betrachten zunächst den Quotienten:

  Du multiplizierst aus und verwendest die 1. binomische Formel:

  $\frac{20(3+h)-(3+h)^2-(20\cdot 3-3^2)}{h}=\frac{60+20h-9-6h-h^2-60+9}{h}$

  Nun kannst du den Term im Zähler umformen und $h$ ausklammern:

  $\frac{60+20h-9-6h-h^2-60+9}{h}=\frac{14h-h^2}{h}=\frac{(14-h)h}{h}$

  Zuletzt kannst du den Bruchterm kürzen:

  $\frac{(14-h)h}{h}=14-h$

  Wir betrachten nun den Grenzwert des aufgestellten Differenzenquotienten:

  $m_1=s'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{20(3+h)-(3+h)^2-(20\cdot 3-3^2)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(14-h)=14$

  Für die Zeitpunkte $t_2=6$ und $t_3=10$ resultieren die folgenden Momentangeschwindigkeiten:

  • $m_2=s'(6)=8$ und
  • $m_3=s'(10)=0$. Das bedeutet, dass der Wagen nach $10$ Sekunden steht.

  Die jeweilige Einheit ist $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

• Berechne die mittlere Fallgeschwindigkeit.

  Tipps

  Berechne jeweils die Funktionswerte an den Intervallrändern.

  Verwende folgenden Differenzenquotienten:

  $m_{\left[a;b\right]}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}$

  • Ziehe von dem Funktionswert am rechten Intervallrand den Funktionswert am linken Intervallrand ab.
  • Dividiere diese Differenz durch die Länge des Intervalls.

  Die mittleren Änderungsraten werden immer größer.

  Lösung

  Diese Funktion gibt den zurückgelegten Weg $s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Sekunden an.

  Da du nun weißt, wie du die mittlere Änderungsrate berechnen kannst, kannst du die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit der Teetasse in gegebenen Intervallen berechnen. Natürlich ist die Tasse in jedem der Intervalle noch „unterwegs“. Die folgenden Rechnungen werden jeweils ohne die Maßeinheiten durchgeführt. Die resultierende Maßeinheit bei der mittleren Fallgeschwindigkeit ist $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

  Auf dem Intervall $I_1=[0;1]$ ergibt sich $m_1=\frac{s(1)-s(0)}{1}=\frac{\frac{9,81}2}{1}=4,905$.

  Auf den übrigen Intervallen kannst du die mittlere Änderungsrate ebenso berechnen. Im Nenner der jeweiligen mittleren Änderungsrate steht immer $1$:

  • $m_2=\frac{s(2)-s(1)}{2-1}=19,62-4,905=14,715$
  • $m_3=\frac{s(3)-s(2)}{3-2}=44,145-19,62=24,525$
  • $m_4=\frac{s(4)-s(3)}{4-3}=78,48-44,145=34,335$

• Leite eine Formel zur Berechnung der lokalen Änderungsrate her.

  Tipps

  Es ist $s'(t_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$.

  Verwende die oben angegebene Definition der Funktion $s(t)$.

  Beachte: Du kannst den Term im Zähler so umformen, dass du schließlich $h$ ausklammern und dann kürzen kannst.

  Lösung

  Für einen allgemeinen Zeitpunkt $t_0$ lässt sich die lokale Änderungsrate, also die Momentangeschwindigkeit, als Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen.

  $s'(t_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$.

  Du kannst unter Verwendung der Funktionsgleichung $s(t)=\frac{9,81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}2t^2$, im Folgenden ohne Maßeinheiten, wie folgt vorgehen:

  $s'(t_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{9,81}2(t_0+h)^2-\frac{9,81}2t_0^2}{h}$

  Verwende die 1. binomische Formel und forme weiter um:

  $s'(t_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{9,81}2(t_0+h)^2-\frac{9,81}2t_0^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{9,81}2(t_0^2+2t_0h+h^2)-\frac{9,81}2t_0^2}{h}=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}\frac{t_0^2+2t_0h+h^2-t_0^2}{h}$

  Nun kannst du den Term im Zähler umformen und $h$ ausklammern:

  $s'(t_0)=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}\frac{t_0^2+2t_0h+h^2-t_0^2}{h}=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}\frac{2t_0h+h^2}{h}=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}\frac{(2t_0+h)h}{h}$

  Nun kannst du $h$ kürzen und erhältst $s'(t_0)=\frac{9,81}2\lim\limits_{h\to 0}(2t_0+h)=\frac{9,81}2\cdot 2t_0=9,81t_0$.

• Gib an, welche Formulierungen auf eine mittlere Änderungsrate hinweisen.

  Tipps

  Bei einer mittleren Änderungsrate ist ein Intervall vorgegeben.

  Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung einer Sekante.

  Die lokale Änderungsrate wird immer an einer Stelle berechnet. Hier betrachtest du kein Intervall.

  Lösung

  Was ist der Unterschied zwischen einer mittleren und einer lokalen Änderungsrate?

  Zur Berechnung der mittleren Änderungsrate einer Funktion $f$ benötigst du ein Intervall $[a;b]$. Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung einer Sekante.

  In den folgenden Aufgabenstellungen ist jeweils die mittlere Änderungsrate gesucht:

  • Gesucht ist die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Autos in einem Streckenabschnitt. Der Streckenabschnitt ist das Intervall.
  • Wie hoch ist der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch eines Lkws für eine gegebene Strecke? Hier ist die vorgegebene Strecke das Intervall.
  • Berechne die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit einer Pflanze in einem Zeitabschnitt. Dieser Zeitabschnitt ist das Intervall.

  Du kannst dir natürlich auch die hier verwendeten Schlüsselwörter merken: Durchschnitts-, durchschnittliche, mittlere, ...

  Die lokale Änderungsrate ergibt sich als Grenzwert der mittleren Änderungsrate. Du berechnest diese also an einer Stelle. Die lokale Änderungsrate entspricht der Steigung einer Tangente.

  Alle verbleibenden Aufgabenstellungen führen zu einer lokalen Änderungsrate.

• Berechne, nach wie vielen Sekunden und mit welcher Geschwindigkeit die Teetasse auf dem Boden aufschlägt.

  Tipps

  Du musst die Gleichung $s(t)=176,58$ lösen.

  Du kannst für $t_0$ die Momentangeschwindigkeit $s'(t_0)=9,81t_0$ herleiten.

  Der gesamte Zeitraum ist $[0;t_0]$, wobei $t_0$ der Zeitpunkt des Aufpralls ist.

  Übrigens:

  • Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt $105,948~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
  • Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt des Aufpralls beträgt $211,896~\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Die arme Teetasse wird den Aufprall wohl nicht unbeschadet überstanden haben.

  Lösung

  Um zu berechnen, wann die Tasse aufprallt, musst du die Gleichung $s(t)=176,58$ lösen. Dies siehst du hier ohne Maßeinheiten: $\frac{9,81}2t^2=176,58$

  • Dividiere durch $\frac{9,81}2$. So erhältst du $t^2=36$.
  • Nun kannst du die Wurzel ziehen. Dies führt zu $t=6$.

  Nach $6$ Sekunden schlägt die Tasse auf dem Boden auf.

  Die mittlere Änderungsrate

  Der gesamte Zeitraum des Tassenflugs ist das Intervall $[0;6]$. Auf diesem Intervall ergibt sich

  $m=\frac{s(6)-s(0)}{6-0}=\frac{\frac{9,81}2\cdot 6^2}{6}=29,43$.

  Die Tasse fliegt also mit einer mittleren Geschwindigkeit von $29,43~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ nach unten. Dies entspricht $105,948~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

  Die lokale Änderungsrate

  Für die lokale Änderungsrate kannst du die Ableitung der Funktion $s(t)$, also $s'(t)=9,81t$ verwenden. So erhältst du unmittelbar vor dem Aufprall eine Momentangeschwindigkeit von $s'(6)=9,81\cdot 6=58,86$. Die Einheit ist $\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Diese Geschwindigkeit entspricht $211,896~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

  Da wird sich Galileo Galilei wohl eine neue Teetasse kaufen müssen.