Parameter bei trigonometrischen Funktionen

Parameter bei trigonometrischen Funktionen Übung

• Beschreibe, bei welchem Parameter die Amplitude sich verändert.

  Tipps

  Die Amplitude ist definiert als der maximale Ausschlag einer trigonometrischen Funktion vom arithmetischen Mittel aus.

  Bei $f(x) = a\cdot \sin(x)$ wird der Funktionswert mit $a$ multipliziert.

  Zeichne dir für verschiedene Parameter die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensystem.

  Lösung

  Welche Auswirkungen haben die Parameter auf den Graphen der Funktion

  $f(x)=a\cdot\sin(bx-d)+e$?

  Dies ist eine trigonometrische Funktion mit einer Amplitude und einer Periode:

  • Die Amplitude ist definiert als der maximale Ausschlag einer trigonometrischen Funktion vom arithmetischen Mittel aus. Dies ist in dem obigen Bild zu sehen.
  • Die Periode ist erklärt als das $x$-Intervall, in welchem sich der Graph der trigonometrischen Funktion wiederholt. Zum Beispiel ist die Funktion $\sin(x)$ $2\pi$-periodisch.

  Die Amplitude verändert sich nur in Abhängigkeit von dem Parameter $a$. Die Parameter $b$, $d$ und $e$ haben keine Auswirkung auf die Amplitude.

  Bei $\sin(x)$ ist die Amplitude $A=1$ und bei $a\cdot \sin(x)$ ist diese $A=|a|$.

  Die Periode hingegen ändert sich in Abhängigkeit von $b$. Bei $\sin(x)$ ist die Periode $P=2\pi$ und bei $\sin(bx)$ ist diese $P=\frac{2\pi}{|b|}$.

• Gib an, welcher Parameter verändert wird.

  Tipps

  Bei $f(x) = a\cdot \sin(x)$ wird der Funktionswert mit $a$ multipliziert. Das bedeutet, dass die Amplitude sich verändert.

  Bei $f (x) = \sin(bx)$ wird die Variable $x$ mit $b$ multipliziert. Dies führt zu einer Veränderung der Periode.

  Weder bei einer Veränderung von $d$ noch von $e$ verändert sich die Amplitude oder Periode.

  Lösung

  Wenn bei der Funktion $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$ die Parameter $a=b=1$ und $d=e=0$ sind, so erhält man den hier zu sehenden Verlauf der Sinusfunktion.

  Hier nun die Erklärung zu den Funktionsgraphen von oben nach unten:

  • Sei nun $b=1$ und $d=e=0$ und, zum Beispiel $a=2$, so erhält man den ersten Graphen: Die Amplitude ist größer $A=2$ als die der blauen Sinusfunktion, die Periode ist gleich.
  • Sei $a=b=1$ und $d=0$, dann liegt eine Verschiebung entlang der y-Achse vor: nach oben (unten), wenn $e>0$ ($e<0$) ist. In diesem Beispiel ist $e=1$.
  • Sei $a=1$ und $d=e=0$. Dieses Mal wird $b=\frac 12$ verändert. Die Amplitude bleibt gleich, jedoch ändert sich die Periode zu $P=4\pi$.
  • Sei $a=b=1$ und $e=0$. Dann wird der Funktionsgraph entlang der x-Achse verschoben, nach rechts, wenn $d>0$, und nach links, wenn $d<0$ ist. In dem zweiten Bild ist $d=1$.

  Bei der Veränderung von $d$ oder $e$ ändert sich jeweils weder die Amplitude noch die Periode.

• Entscheide, welche der Funktionsgraphen durch eine Veränderung von $d$ entstanden sind.

  Tipps

  Bei $\sin(x)+e$ wird $e$ zum Funktionswert addiert. Welche Verschiebung resultiert daraus?

  Durch $\sin(x-d)$ verändern sich die Nullstellen. Welche Verschiebung resultiert daraus?

  Du kannst dir eine Verschiebung wie einen Kopiervorgang vorstellen.

  Beim Kopieren bleiben alle Längenverhältnisse gleich. Das bedeutet, dass sich weder die Periode noch die Amplitude verändern.

  Lösung

  Bei der Funktion $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$ bewirkt eine Veränderung des Parameters $d$ eine Verschiebung entlang der x-Achse. Diese erfolgt

  • nach links, wenn $d<0$ und
  • nach rechts, wenn $d>0$.

  In beiden Fällen ändert sich weder die Periode noch die Amplitude.

  Somit können alle Graphen, bei welchen entlang der y-Achse verschoben wird, oder bei welchen sich die Amplitude oder Periode verändert, ausgeschlossen werden.

  Der einzige Graph, welcher aus dem blauen, dem zur Sinusfunktion, durch Veränderung von $d$ hervorgeht, ist der violette.

• Leite jeweils die Amplitude und Periode der Funktion her.

  Tipps

  Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen haben keine Auswirkung auf die Periode oder die Amplitude.

  Bei $a\cdot \sin(x)$ wird der Funktionswert mit $a$ multipliziert. Dies entspricht einer Streckung oder Stauchung entlang der y-Achse.

  $\sin(bx)$ entspricht einer Streckung oder Stauchung entlang der x-Achse.

  Die Periode bezieht sich auf die x-Achse, die Amplitude auf die y-Achse.

  Lösung

  Bei der Funktion $f(x)=a\cdot (bx-d)+e$ kann die Veränderung der Parameter wie folgt zusammengefasst werden:

  • Veränderung von $a$: Diese führt zu einer Veränderung der Amplitude zu $A=|a|$. Bei negativen $a$ wird der Verlauf der Funktion gespiegelt. Ist $|a|>1$, wird der Graph gestreckt und für $|a|<1$ gestaucht entlang der y-Achse.
  • Veränderung von $b$: Diese führt zu einer Veränderung der Periode zu $P=\frac{2\pi}{|b|}$. In diesem Fall wird der Graph der Funktion entlang der x-Achse gestreckt für $|b|>1$ und gestaucht für $|b|<1$.
  • Veränderung von $d$: Diese führt zu einer Verschiebung entlang der x-Achse. Die Periode und Amplitude werden nicht verändert.
  • Veränderung von $e$: Diese führt zu einer Verschiebung entlang der y-Achse. Die Periode und Amplitude werden nicht verändert.

  Somit gilt:

  • $f(x)=\frac12\sin(x-4)$ hat die Amplitude $A=\frac12$ und die Periode $P=2\pi$.
  • $g(x)=\frac12\sin(2x-4)$ hat die Amplitude $A=\frac12$ und die Periode $P=\pi$.
  • $h(x)=2\sin(2x-4)+3$ hat die Amplitude $A=2$ und die Periode $P=\pi$.
  • $k(x)=2\sin(\frac12x-4)+2$ hat die Amplitude $A=2$ und die Periode $P=4\pi$.

• Ergänze die Definition eines Parameters.

  Tipps

  Bei der Funktionsgleichung $f(x)=\sin(x)$ ist $x$ eine Variable, also eine Veränderliche.

  Bei der Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot \sin(x)$ ist $x$ eine Veränderliche. Der Parameter, zum Beispiel $a=2$, wird für $f(x)=2\cdot \sin(x)$ nicht verändert.

  Lösung

  Was ist ein Parameter?

  Parameter, auch Formvariablen genannt, treten gemeinsam mit anderen Variablen wie $x$ und $y$ auf.

  Sie sind beliebig frei wählbar, aber für konkrete Funktionsgleichungen fest.

• Bestimme die Funktionsgleichung der abgebildeten Funktion.

  Tipps

  Die Funktion ist nicht gespiegelt.

  Die Amplitude ist der maximale Ausschlag der Funktion in Relation zum arithmetischen Mittel.

  Das arithmetische Mittel ist in diesem Beispiel $1,\!5$.

  Lösung

  Da nur die Parameter $a$ und $e$ in der Gleichung vorkommen, kann man sich zunächst zur Bestimmung von $a$ die Amplitude anschauen. Diese ist $1,\!5$. Somit ist, da $a>0$, vorausgesetzt ist $a=1,\!5$.

  Die Funktion ist um $1,\!5$ verschoben entlang der y-Achse nach oben verschoben. Somit ist $e=1,\!5$.

  Die gesuchte Funktionsgleichung lautet damit

  $f(x)=1,\!5\cdot \sin(x)+1,\!5$.