Parameter bei Exponentialfunktionen

Parameter bei Exponentialfunktionen Übung

• Gib an, welche Auswirkung der Parameter $a$ auf die Funktion hat.

  Tipps

  Beachte: Jeder Funktionswert wird mit dem Faktor $a$ multipliziert.

  Zeichne dir die beiden Funktionsgraphen

  • $2^x$ sowie
  • $-2^x$

  in ein gemeinsames Koordinatensystem. Was fällt dir auf?

  Du kannst dir die beiden Fälle $|a|>1$ sowie $|a|<1$ jeweils für positive $a$ klarmachen. Bei negativen $a$ ist das Verhalten analog.

  Lösung

  In der Funktion $f(x)=a \cdot 2^x$ wird $a$ variiert. Wozu führen diese Veränderungen?

  • $a=-1$: $f_1(x)=-1\cdot 2^x=-2^x$. Dies entspricht einer Spiegelung an der x-Achse. Man kann dies verallgemeinern für alle negativen $a$.
  • $a=2$: $f_3(x)=2\cdot 2^x$. Hier ist $a>1$, allgemein $|a|>1$. Jeder Funktionswert wird mit einer Zahl multipliziert, deren Betrag größer ist als $1$. Der Funktionsgraph wird gestreckt.
  • $a=\frac 12$: $f_4(x)=\frac12\cdot 2^x$. Hier ist $a<1$, allgemein $|a|<1$. Jeder Funktionswert wird mit einer Zahl multipliziert, deren Betrag kleiner ist als $1$. Der Funktionsgraph wird gestaucht.

• Beschreibe die Verschiebungen bei der Veränderung der Parameter $d$ und $e$.

  Tipps

  Der Term $d$ wird von der Variablen $x$ abgezogen.

  Dies entspricht einer Veränderung entlang der x-Achse.

  Der Term $e$ wird zu dem Funktionswert addiert oder von diesem subtrahiert.

  Wenn die Funktionswerte größer oder kleiner werden, handelt es sich um eine Veränderung entlang der y-Achse.

  Lösung

  Welche Auswirkungen haben die Parameter $d$ und $e$ auf den Funktionsgraphen zu $f(x)=2^{x-d}$ bzw. $f(x)=2^x+e$?

  • Durch die Subtraktion von $d$ erhält man eine Verschiebung entlang der x-Achse, da $d$ von $x$ subtrahiert wird. Für positive $d$ wird in positiver x-Achsenrichtung, also nach rechts, verschoben. Falls $d$ negativ ist, dann wird in negativer x-Achsenrichtung, also nach links, verschoben.
  • Durch die Addition von $e$ zu dem Funktionswert erhält man eine Verschiebung entlang der y-Achse. Für positive $e$ wird in positiver y-Achsenrichtung, also nach oben, verschoben. Falls $e$ negativ ist, dann wird in negativer y-Achsenrichtung, also nach unten, verschoben.

• Entscheide, bei welchen der Funktionsterme eine Streckung oder Stauchung vorliegt.

  Tipps

  Sowohl eine Streckung als auch eine Stauchung kann entlang der x- oder y-Achse vorliegen.

  Wann wird verschoben und wann gestreckt oder gestaucht?

  Wenn zu der Variablen addiert oder davon subtrahiert wird oder wenn zu dem Funktionswert addiert oder davon subtrahiert wird, führt dies zu einer Verschiebung des Funktionsgraphen.

  Mache dir dies zum Beispiel bei $f(x)=3^x+4$ klar.

  Streckung und Stauchung unterschieden durch die Größe eines Faktors:

  Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=3^x$ sowie $f(x)=2\cdot 3^x$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.

  Lösung

  Streckung und Stauchung von Funktionsgraphen erhält man durch Multiplikation

  • der Variablen oder
  • des Funktionswertes.

  Das heißt, dass Funktionen vom Typ

  • $f(x)=a\cdot b^x$ gestreckt bzw. gestaucht werden, wenn $|a|>1$ bzw. $|a|<1$ ist.
  • $f(x)=b^{cx}$ gestreckt bzw. gestaucht werden, wenn $|c|>1$ bzw. $|c|<1$ ist.

  Eine Streckung des Funktionsgraphen haben wir in den folgenden Fällen:

  • $f(x)=1,5\cdot 3^x$
  • $f(x)=-4\cdot 5^x$
  • $f(x)=4^{-3x}$

  Eine Stauchung des Funktionsgraphen haben wir in den folgenden Fällen:

  • $f(x)=-0,7\cdot 3^x$
  • $f(x)=\frac 13\cdot 5^x$
  • $f(x)=4^{-0,25x}$

  Alle übrigen Funktionen werden verschoben.

• Prüfe, welcher Funktionsgraph zu welcher Veränderung der Parameter gehört.

  Tipps

  Die Faktoren $a$ oder $c$ und auch die Basis $b$ führen zu Streckungen/Stauchungen oder Spiegelungen für die Graphen zur Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot b^{c\cdot (x-d)}+e$.

  Die Subtraktion bzw. Addition von $d$ bzw. $e$ führt zu Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen.

  Sei $f(x)=2^{x-d}$.

  Ob eine Verschiebung nach rechts oder links erfolgt, hängt davon ab, ob $d$ größer oder kleiner als $0$ ist.

  Sei $f(x)=2^x+e$.

  Ob eine Verschiebung nach oben oder unten erfolgt, hängt davon ab, ob $e$ größer oder kleiner als $0$ ist.

  Lösung

  Bei beiden Graphen liegen Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen vor.

  • Der Parameter $e$ bei $f(x)=2^x+e$ führt zu einer Verschiebung nach oben bzw. unten, wenn $e$ größer bzw. kleiner ist als $0$. Der grüne Graph entsteht aus dem roten durch Verschiebung nach unten. Das bedeutet, dass $e$ kleiner sein muss als $0$.
  • Der Parameter $d$ bei $f(x)=2^{x-d}$ führt zu einer Verschiebung nach rechts bzw. links, wenn $d$ größer bzw. kleiner ist als $0$. Der blaue Graph entsteht durch eine solche Verschiebung nach rechts aus dem roten. Das bedeutet, dass $d$ größer als $0$ sein muss.

• Bestimme, bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt immer gleich $1$ ist.

  Tipps

  Setze jeweils in der Funktionsgleichung $x=0$ ein.

  Es ist $p^0=1$ für alle $p\neq 0$.

  Es ist gefragt nach den Parametern, für welche immer $1$ herauskommt, nicht nur für eine spezielle Wahl des Parameters.

  Lösung

  Der y-Achsenabschnitt ist die Stelle, an welcher der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Wie kann man diesen y-Wert bestimmen? Man setzt $x=0$ in der Funktionsgleichung ein.

  • $f(x)=a\cdot 2^x$: $f(0)=a\cdot 2^0=a$.
  • $f(x)=2^{cx}$: $f(0)=2^{c\cdot 0}=2^0=1$.
  • $f(x)=2^{x-d}$: $f(0)=2^{0-d}=2^{-d}$
  • $f(x)=2^x+e$: $f(0)=2^0+e=1+e$.
  • $f(x)=b^x$: $f(0)=b^0=1$.

  Für die beiden Parameter $b$ und $c$ ist der y-Achsenabschnitt immer $1$.

• Erkläre anhand der angegebenen Funktion, warum für $0<b<1$ der Graph der Funktion $f(x)=b^x$ an der y-Achse gespiegelt ist.

  Tipps

  Schreibe $0,5$ als Bruch.

  Verwende die Regel $a^{-n}=\frac 1 {a^n}$.

  Für $f(x)=2^{cx}$ führen negative $c$ zu einer Spiegelung an der y-Achse.

  Lösung

  Wenn die Basis $b$ verändert wird, führt dies dazu, dass bei $0<b<1$ der Graph der Funktion an der y-Achse gespiegelt wird.

  Wieso ist das so?

  Dies kann man sich am Beispiel $b=0,5$ klarmachen.

  Es ist $f(x)=0,5^x=\left(\frac12\right)^x=\frac1{2^x}$.

  Nun können Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen verwendet werden:

  $a^{-n}=\frac 1{a^n}$.

  Somit ist $\frac1{2^x}=2^{-x}$.

  Dies entspricht dem Fall $2^{cx}$ mit $c=-1$ und führt damit zu einer Spiegelung an der y-Achse.