Grundrechenarten bis 1 Million – Zahlen zwischen 100 und 119 multiplizieren

Grundrechenarten bis 1 Million – Zahlen zwischen 100 und 119 multiplizieren Übung

• Beschreibe, wie du $112$ und $109$ multiplizierst.

  Tipps

  Du vereinfachst die Multiplikation dieser Zahlen, indem du zuerst etwas addierst und dann zweistellige Zahlen multiplizierst.

  Erinnere dich daran, wie du Zahlen zwischen $10$ und $19$ multiplizierst. Betrachte hierzu folgendes Beispiel:

  • $11\cdot 13 = 143$

  Denn $11+3=14$ und $1\cdot3=3$.

  Der Übertrag wird zum Schluss addiert.

  Lösung

  Die Multiplikation von Zahlen zwischen $100$ und $119$ verläuft sehr ähnlich wie die von Zahlen zwischen $10$ und $19$. Für $11\cdot 13$ gilt zum Beispiel:

  • $11+3=14$ und $1\cdot3=3$ $\Rightarrow 11\cdot 13= 143$

  Für die Zahlen zwischen $100$ und $119$ betrachtest du dann von hinten eine Stelle mehr. Bei dem Beispiel $112\cdot 109$ gehen wir wie folgt vor:

  1. Zuerst addierst du die erste Zahl und die letzten beiden Ziffern der zweiten Zahl. Also $112+09=121$. Dies sind die ersten drei Ziffern deines vorläufigen Ergebnisses.
  2. Nun multiplizierst du die letzten beiden Ziffern der ersten Zahl mit denen der zweiten. Also $12\cdot 09= 108$. Hätte diese Zahl nur zwei Ziffern, könntest du diese direkt hinschreiben und wärst fertig, hier brauchen wir jedoch noch den Übertrag.
  3. Die letzten beiden Ziffern notierst du also sofort und die $1$ schreibst du als Übertrag. $\begin{array}{cccccc} &&&\small{+1}&&\\ 121\cdot109=&1&2&1&0&8\\ \end{array}$
  4. Du erhältst schließlich $121\cdot 109=12208$

• Berechne die Produkte.

  Tipps

  Für die Multiplikation von $101$ und $112$ müssen wir zuerst $101+12=113$ rechnen.

  Danach multiplizieren wir die letzten beiden Ziffern miteinander: $01\cdot 12=12$

  Wir erhalten insgesamt: $101\cdot 112=11312$

  Einen eventuellen Übertrag notieren wir mit einer kleinen Zahl über der entsprechenden Ziffer und addieren ihn am Ende.

  Lösung

  Bei der Multiplikation von Zahlen zwischen $100$ und $119$ gehst du wie folgt vor:

  1. Zuerst addierst du die erste Zahl und die letzten beiden Ziffern der zweiten Zahl. Dies sind die ersten drei Ziffern deines vorläufigen Ergebnisses.
  2. Nun multiplizierst du die letzten beiden Ziffern der ersten Zahl mit denen der zweiten. Hat diese Zahl nur zwei Ziffern, könntest du diese direkt hinschreiben. Hat sie drei Ziffern, benötigst du noch den Übertrag.
  3. Die letzten beiden Ziffern notierst du also direkt und schreibst den eventuellen Übertrag über die Ziffer, bei der er auftaucht.
  4. Du addierst den Übertrag und erhältst dein Ergebnis.

  Wir erhalten also die folgenden Ergebnisse:

  Beispiel 1

  • $102\cdot 103=10506$

  Wir rechnen zuerst $102+ 03=105$ für die ersten drei Ziffern und dann $02\cdot 03=06$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir keinen Übertrag. Beachte aber, dass du die $0$ nicht vergisst.

  Beispiel 2

  • $112\cdot 109=12208$

  Wir rechnen zuerst $112+ 09=121$ für die ersten drei Ziffern und dann $12\cdot 09=108$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir einen Übertrag von $1$, während wir die letzten beiden Ziffern direkt notieren können

  $\begin{array}{cccccc} &&&\small{+1}&&\\ 121\cdot109=&1&2&1&0&8\\ \end{array}$

  Beispiel 3

  • $113\cdot 111= 12543$

  Wir rechnen zuerst $113+ 11=124$ für die ersten drei Ziffern und dann $13\cdot 11=143$ für die letzten beiden Ziffern. Auch hier benötigen wir einen Übertrag von $1$, während wir die letzten beiden Ziffern direkt notieren können.

  $\begin{array}{cccccc} &&&\small{+1}&&\\ 113\cdot111=&1&2&4&4&3\\ \end{array}$

  Beispiel 4

  • $116\cdot 102= 11832$

  Wir rechnen zuerst $116+ 02=118$ für die ersten drei Ziffern und dann $16\cdot 02=32$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir keinen Übertrag, sondern können die Ziffern direkt nacheinander aufschreiben.

• Gib an, wo Fehler in den Rechnungen gemacht wurden.

  Tipps

  Es kann auch sein, dass ein Ergebnis komplett richtig ist oder mehrere falsche Ziffern enthält.

  Denk daran, dass du am Ende den Übertrag zu deinem vorläufigen Ergebnis addieren musst.

  Lösung

  Bei der Multiplikation von Zahlen zwischen $100$ und $119$ gehst du wie folgt vor:

  1. Zuerst addierst du die erste Zahl und die letzten beiden Ziffern der zweiten Zahl. Dies sind die ersten drei Ziffern deines vorläufigen Ergebnisses.
  2. Nun multiplizierst du die letzten beiden Ziffern der ersten Zahl mit denen der zweiten. Hat diese Zahl nur zwei Ziffern, könntest du diese direkt hinschreiben. Hat sie drei Ziffern benötigst du noch den Übertrag.
  3. Die letzten beiden Ziffern notierst du also direkt und schreibst den eventuellen Übertrag über die Ziffer, bei der er auftaucht.
  4. Du addierst den Übertrag und erhältst dein Ergebnis.

  Damit würden die korrekten Rechnungen wie folgt lauten:

  Beispiel 1

  Hier ist die zweite Ziffer falsch. Es gilt nämlich:

  • $103\cdot 113=11639$

  Wir rechnen zuerst $103+ 13=116$ für die ersten drei Ziffern und dann $03\cdot 13=39$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir keinen Übertrag, sondern können die Ziffern direkt hintereinander schreiben.

  Beispiel 2

  Hier ist die dritte Ziffer falsch, weil wahrscheinlich der Übertrag vergessen wurde. Es gilt:

  • $112\cdot116=12992$

  Wir rechnen zuerst $112+ 16=128$ für die ersten drei Ziffern und dann $12\cdot 16=192$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir einen Übertrag von $1$, während wir die letzten beiden Ziffern direkt notieren können:

  $\begin{array}{cccccc} &&&\small{+1}&&\\ 112\cdot116=&1&2&8&9&2\ \end{array}$

  Beispiel 3

  Hier ist alles korrekt:

  • $119\cdot 111= 13209$

  Wir rechnen zuerst $119+ 11=130$ für die ersten drei Ziffern und dann $19\cdot 11=209$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir einen Übertrag von $2$, während wir die letzten beiden Ziffern direkt notieren können:

  $\begin{array}{cccccc} &&&\small{+2}&&\\ 116\cdot116=&1&3&0&0&9\\ \end{array}$

  Beispiel 4

  Hier sind außer der letzten alle Ziffern falsch. Es gilt:

  • $104\cdot 119=12376$

  Wir rechnen zuerst $104+ 19=123$ für die ersten drei Ziffern und dann $04\cdot 19=76$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir keinen Übertrag, sondern können die Ziffern direkt hintereinander schreiben.

• Ermittle die Produkte.

  Tipps

  Wenn du $103$ mit $104$ multiplizieren willst, rechnest du erst $103+04=107$ und dann $03\cdot 04=12$. Zum Schluss schreibst du die Ziffern hintereinander, aber beachte, dass du keine $0$ vergisst: $10712$.

  Lösung

  Bei der Multiplikation von Zahlen zwischen $100$ und $119$ gehst du wie folgt vor:

  1. Zuerst addierst du die erste Zahl und die letzten beiden Ziffern der zweiten Zahl. Dies sind die ersten drei Ziffern deines vorläufigen Ergebnisses.
  2. Nun multiplizierst du die letzten beiden Ziffern der ersten Zahl mit denen der zweiten. Hat diese Zahl nur zwei Ziffern, könntest du diese direkt hinschreiben und hat sie drei Ziffern, benötigst du noch den Übertrag.
  3. Die letzten beiden Ziffern notierst du also direkt und schreibst den eventuellen Übertrag über die Ziffer, bei der er auftaucht.
  4. Du addierst den Übertrag und erhältst dein Ergebnis.

  Damit lauten die Rechnungen wie folgt:

  Beispiel 1

  Wir erhalten:

  • $113\cdot118=13334$

  Wir rechnen zuerst $113+ 18=131$ für die ersten drei Ziffern und dann $13\cdot 18=234$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir einen Übertrag von $2$, während wir die letzten beiden Ziffern direkt notieren können:

  $\begin{array}{cccccc} &&&\small{+2}&&\\ 113\cdot118=&1&3&1&3&4\\ \end{array}$

  Beispiel 2

  Hier erhalten wir:

  • $104\cdot 112=11648$

  Wir rechnen zuerst $104+ 12=116$ für die ersten drei Ziffern und dann $04\cdot 12=48$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir keinen Übertrag, sondern können die Ziffern direkt hintereinander schreiben.

  Beispiel 3

  Wir erhalten:

  • $109\cdot 111= 12099$

  Wir rechnen zuerst $109+ 11=120$ für die ersten drei Ziffern und dann $09\cdot 11=99$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir keinen Übertrag, sondern können die Ziffern direkt hintereinander schreiben.

  Beispiel 4

  Wir erhalten:

  • $116\cdot 116=13456$

  Wir rechnen zuerst $116+ 16=132$ für die ersten drei Ziffern und dann $16\cdot 16=256$ für die letzten beiden Ziffern. Hier benötigen wir einen Übertrag von $2$, während wir die letzten beiden Ziffern direkt notieren können:

  $\begin{array}{cccccc} &&&\small{+2}&&\\ 116\cdot116=&1&3&2&5&6\\ \end{array}$

• Zeige auf, wie du das Produkt von $12$ und $13$ bestimmst.

  Tipps

  Es gilt: $11\cdot 12=132$

  Du musst zunächst zwei Zahlen addieren und danach benötigst du nur noch das kleine $1x1$.

  Lösung

  Bei der Multiplikation zweier Zahlen zwischen $10$ und $19$ kannst du wie folgt vorgehen:

  1. Zuerst addierst du die erste Zahl und die letzten beiden Ziffern der zweiten Zahl. Also $12+3=15$. Dies sind die ersten zwei Ziffern deines vorläufigen Ergebnisses.
  2. Nun multiplizierst du die letzte Ziffer der ersten Zahl mit der der zweiten. Also $2\cdot 3= 6$. Diese Zahl besteht aus nur einer Ziffer, du kannst sie also direkt hinschreiben.
  3. Hätte diese Zahl zwei Ziffern, würdest du nur die hintere direkt hinschreiben und die vordere als Übertrag notieren, den du am Ende dazu addieren musst.

  Damit sind also die folgenden Aussagen richtig:

  „Für die ersten beiden Ziffern des Ergebnisses addiert man die letzte Ziffer der zweiten Zahl zur ersten Zahl.“

  „Es gilt: $12\cdot13=156$“

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  „Man multipliziert jeweils die ersten Ziffern miteinander und dann die zweiten.“

  • Dann würden wir hier $1\cdot1=1$ und $2\cdot3=6$ erhalten. Schreiben wir das hintereinander, ergibt das $16$. Es sollte dir direkt auffallen, dass das nicht sein kann.

  „Mit dem Übertrag wird am Ende multipliziert.“

  • Der Übertrag wird am Ende addiert.

  „Für die letzte Ziffer des Ergebnisses addieren wir die letzten Ziffern der beiden Faktoren.“

  • Für die letzte Ziffer des Ergebnisses multiplizieren wir die letzten Ziffern der beiden Faktoren.

• Gib an, wie du $1019$ mit $1012$ multiplizieren kannst.

  Tipps

  Allgemein addierst du bei derartigen Aufgaben immer die erste Zahl mit der zweiten Zahl ohne die erste Ziffer und multiplizierst dann die Zahlen jeweils ohne die erste Ziffer.

  Lösung

  Bei der Multiplikation dieser Zahlen kannst du wie folgt vorgehen:

  1. Zuerst addierst du die erste Zahl und die letzten drei Ziffern der zweiten Zahl. $1019+012=1031$. Dies sind die ersten vier Ziffern deines vorläufigen Ergebnisses.
  2. Nun multiplizierst du die letzten drei Ziffern der ersten Zahl mit denen der zweiten. $019\cdot 012=228$. Diese Zahl besteht nur aus drei Ziffern, du kannst sie also direkt hinschreiben: $\Rightarrow 1031228$.
  3. Hätte diese Zahl vier Ziffern, würdest du nur die hinteren drei direkt hinschreiben und die vordere als Übertrag notieren, den du am Ende dazu addieren müsstest.

  Damit sind also die folgenden Aussagen richtig:

  „Es gilt: $1019\cdot1012=1031228$“

  „Für die letzten Ziffern des Ergebnisses multiplizieren wir die letzten drei Ziffern der beiden Faktoren.“

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  „Es gilt: $1019\cdot1012=103328$“

  • Hier gibt es keinen Übertrag, also müssen keine Zahlen am Ende addiert werden, sondern nur hintereinander geschrieben werden.

  „Man multipliziert jeweils die ersten Ziffern miteinander und dann die zweiten, dann die dritten und zum Schluss die vierten.“

  • Dann würden wir hier $1\cdot1=1$, $0\cdot0=0$, $1\cdot1=1$ und $9\cdot2=18$ erhalten, schreiben wir das hintereinander, ergibt das $10118$. Ist dir aufgefallen, dass das zu wenig ist?

  „Für die ersten fünf Ziffern des Ergebnisses addiert man die letzten drei Ziffern der zweiten Zahl zur ersten Zahl.“

  • Nur für die ersten vier Ziffern des Ergebnisses addiert man die letzten drei Ziffern der zweiten Zahl zur ersten Zahl.

  „Beim Multiplizieren der jeweils letzten drei Ziffern entsteht ein Übertrag von $1$.“

  • $019\cdot 012=228$. Diese Zahl besteht nur aus drei Ziffern, du kannst sie also direkt hinschreiben. Wäre das Ergebnis vierstellig, gäbe es einen Übertrag.