Grundrechenarten – Multiplikation

Grundrechenarten – Multiplikation Übung

• Vervollständige den Text zur Multiplikation.

  Tipps

  Das lateinische Wort „commutare“ bedeutet „vertauschen“.

  Die Aufgabe $5 \cdot 3$ ist die Kurzschreibweise von $3 + 3 + 3 + 3 +3$.

  Lösung

  Die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise für die wiederholte Addition des gleichen Summanden. Du kannst also, anstatt immer wieder dieselbe Zahl zu addieren, auch ein Produkt schreiben.
  Beispiele:

  • $3 + 3 + 3 + 3 +3 = \mathbf{5} \cdot 3$
  • $15 + 15 + 15 = \mathbf{3} \cdot 15$
  • $7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 +7 = \mathbf{7} \cdot 7$

  
  Das Kommutativgesetz bei der Multiplikation besagt, dass du die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauschen kannst. Das Produkt ändert sich dadurch nicht. Das heißt, zwei Multiplikationen mit denselben Faktoren ergeben immer dasselbe Produkt, und zwar unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren.
  Beispiele:

  • $3 \cdot 5 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$
  • $4 \cdot 1 \cdot 3 = 3 \cdot 4 \cdot 1 = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12$
  • $5 \cdot 10 = 10 \cdot 5 = 50$

• Bestimme die Multiplikationsaufgaben mit dem Produkt $0$.

  Tipps

  Zum Beispiel gilt $0 \cdot 2 = 0$, da wir keinmal die Zahl $2$ haben.

  Die Reihenfolge der Faktoren kannst du in einem Produkt beliebig vertauschen (Kommutativgesetz).

  Lösung

  Eine Multiplikation, bei der einer der Faktoren $0$ ist, ergibt immer $0$. Dabei ist es egal, an welcher Stelle der Faktor $0$ steht und wie groß die anderen Faktoren sind.

  Folgende Aufgaben haben einen Faktor $0$ und somit das Produkt $0$:

  • $235 \cdot 0 \cdot 51 = 0$
  • $0 \cdot 6 = 0$
  • $0 \cdot 51 = 0$

  
  Folgende Aufgaben haben ein Produkt ungleich $0$:

  • $3 \cdot 5 \cdot 6 = 15 \cdot 6 = 90$
  • $3 \cdot 15 = 45$
  • $3 \cdot 6 \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90$

• Ermittle die Lösung der Aufgabe mithilfe der Multiplikation.

  Tipps

  Du kannst die Faktoren bei der Multiplikation vertauschen. Das hilft dir, wenn die Rechnung in einer anderen Reihenfolge leichter ist.

  Wenn $20$ Ameisen mit je zwei Eimern zum Fluss laufen, dann bringen sie insgesamt $20 \cdot 2 = 40$ Eimer Wasser zurück.

  Lösung

  Die Anzahl der Ameisen in der Einheit ergibt sich, wenn wir die acht Ameisen pro Reihe mit der Anzahl der Reihen multiplizieren. Es sind also insgesamt $8 \cdot 5 = 40$ Ameisen in der neuen Spezialeinheit.

  Da jede der Ameisen zwei Wassereimer schleppen kann, ergibt sich die Anzahl der Eimer, wenn wir die Anzahl der Ameisen noch mit $2$ multiplizieren. Insgesamt rechnen wir:

  $5 \cdot 8 \cdot 2 = 40 \cdot 2 = 80$

  Das heißt, mit jedem Weg zum Fluss bringt die Einheit $80$ Eimer Wasser für den Vorrat zurück.

  Wenn die Einheit dreimal zum Fluss marschiert, dann müssen wir zusätzlich noch mit dem Faktor $3$ multiplizieren und kommen so auf:

  $3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 2 = 15 \cdot 8 \cdot 2$

  Hier können wir den zweiten und den dritten Faktor, also die $8$ und die $2$, vertauschen, damit die Rechnung einfacher wird:

  $15 \cdot 2 = 30$

  Daher ergibt sich für $15 \cdot 2 \cdot 8 = 30 \cdot 8 = 240$.
  Die neue Spezialeinheit bringt also insgesamt $240$ Eimer Wasser für den Vorrat zurück.

• Bestimme die Multiplikationsaufgaben mit gleichem Produkt.

  Tipps

  Erinnere dich an das Kommutativgesetz bei der Multiplikation.

  Zwei Produkte sind auch dann gleich, wenn du schon einen Teil berechnet hast. Zum Beispiel ist $3 \cdot 5 \cdot 6 = 15 \cdot 6 = 6 \cdot 15$.

  Lösung

  Wenn dieselben Faktoren multipliziert werden, dann ergibt sich unabhängig von der Reihenfolge dasselbe Produkt. Du kannst also die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauschen oder auch einzelne Faktoren miteinander multiplizieren.

  Wir haben die folgenden Produkte:

  • $\mathbf{2 \cdot 5 \cdot 3} = \mathbf{10 \cdot 3} = 30$

  Hier wurden die ersten beiden Faktoren zusammengefasst.

  • $\mathbf{17 \cdot 9} = \mathbf{9 \cdot 17} = 153$

  Hier wurden die Faktoren vertauscht.

  • $\mathbf{3 \cdot 3 \cdot 5} = 9 \cdot 5 = \mathbf{5 \cdot 9} = 45$

  Hier wurden die ersten beiden Faktoren zusammengefasst und mit dem letzten Faktor vertauscht.

  • $\mathbf{2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 13} = \mathbf{13 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 7} = 26 \cdot 4 \cdot 7 = 104 \cdot 7 = 728$

  Hier wurden die Faktoren vertauscht.

  • $\mathbf{7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 3} = 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 = \mathbf{3 \cdot 22 \cdot 7} = 66 \cdot 7 = 462$

  Hier wurden der erste und der letzte Faktor vertauscht und die mittleren Faktoren zusammengefasst.

• Benenne die Elemente einer Multiplikationsaufgabe.

  Tipps

  Bei einer Multiplikation heißen die Zahlen, die multipliziert werden, Faktoren.

  Das Ergebnis einer Multiplikation wird als Produkt bezeichnet.

  Lösung

  Bei einer Multiplikation heißen die Zahlen, die miteinander multipliziert werden, Faktoren. Um die einzelnen Faktoren zu unterscheiden, werden sie häufig nummeriert, also als 1. Faktor, 2. Faktor usw. bezeichnet. Das Ergebnis einer Multiplikation nennen wir Produkt.

• Berechne die Produkte.

  Tipps

  Ein Produkt ist $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

  Zwei Produkte mit denselben Faktoren sind gleich, unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren.

  Lösung

  Sobald ein Faktor bei einer Multiplikation $0$ ist, ergibt sich das Produkt $0$. Wir können also die folgenden Aufgaben dem Produkt $0$ zuordnen:

  • $6 \cdot 2 \cdot 0$
  • $0 \cdot 12$
  • $2 \cdot 5 \cdot 0 \cdot 6$
  • $3 \cdot 0 \cdot 4$

  
  Bei den weiteren Aufgaben können wir gemeinsame Faktoren identifizieren:

  • $\mathbf{3 \cdot 2 \cdot 4} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = \mathbf{8 \cdot 3} = 24$
  • $\mathbf{3 \cdot 2 \cdot 4} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = \mathbf{2 \cdot 12} = 24$

  
  

  • $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = \mathbf{6 \cdot 2 \cdot 5} = 12 \cdot 5 = \mathbf{5 \cdot 12} = 60$
  • $3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 = \mathbf{15 \cdot 4} = 60$

  Eine Multiplikation mit $1$ ändert das Ergebnis nicht. Es gilt also:
  

  • $\mathbf{5 \cdot 12} = \mathbf{5 \cdot 12 \cdot 1} = 60$