Parameter a bei der Sinusfunktion

Parameter a bei der Sinusfunktion Übung

• Beschreibe den Einfluss des Parameters $a$ auf den Graphen der Sinusfunktion.

  Tipps

  Bei einer periodischen Funktion wie der Sinusfunktion beschreibt die Amplitude den Abstand zwischen der $x$-Achse und dem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt. Die Periodenlänge beschreibt eine Strecke auf der $x$-Achse, in der sich der bestimmte Teil des Graphen wiederholt.

  Schau dir das Bild oben an. Dort siehst du den Graphen der normalen Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$. Lies die Funktionswerte ab. Welche Wertetabelle passt zu dem Graphen?

  Was passiert, wenn du die Vorzeichen der Funktionswerte in einer Wertetabelle änderst? Was bedeutet das für den Funktionsgraphen? Nimm als Beispiel die Normalparabel $f(x)=x^2$ und $f(x)=-x^2$.

  Lösung

  Bei der allgemeinen Sinusfunktion $f(x)=a\cdot \sin[b\cdot(x-d)]+e$ ist $a$ für die Änderung der Amplitude verantwortlich.

  Wir können uns dies vor Augen führen, wenn wir uns überlegen, dass die Funktionswerte der normalen Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ mit diesem Faktor $a$ multipliziert werden. So sind die Funktionswerte das $a$-fache, also Vielfache, der normalen Funktionswerte einer Sinusfunktion.

  Betrachten wir die Funktion $f(x)=a\cdot \sin(x)$. So beschreibt die folgende Wertetabelle die Funktionswerte für $a=1$:

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2\cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  Dies ist die Wertetabelle der normalen Sinusfunktion, wie sie auch in dem Bild oben zu sehen ist. Sie hat ihre Nullstellen bei $\pi$ und $2\cdot \pi$. Der Funktionswert nimmt bei $ \frac 1 2 \pi$ seinen höchsten Wert $1$ an und bei bei $\frac32 \pi$ seinen kleinsten Wert $-1$.

  Nehmen wir zum Beispiel $a=-1$, so wechseln die Funktionswerte ihre Vorzeichen:

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2\cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\ \end {array} $

  Wenn alle Funktionswerte ihre Vorzeichen ändern, wird die Sinusfunktion einfach an der $x$-Achse gespiegelt. Bei $\frac 1 2 \pi$ hat die Funktion nun ein Minimum $-1$und bei $\frac 3 2 \pi$ ein Maximum $1$.

  Allgemein gilt also: Ist der Parameter $a$ negativ, so wird der Graph an der $x$-Achse gespiegelt.

• Bestimme, welche Aussagen über den Parameter $a$ richtig sind.

  Tipps

  Überlege dir, wo der Parameter $a$ in der Gleichung steht.

  Du rechnest zuerst den Sinus von $x$ aus und multipliziert dieses Ergebnis im Anschluss mit $a$.

  Wenn du eine große Zahl mit dem Sinus von $x$ multiplizierst, wird der so errechnete Funktionswert größer oder kleiner?

  Hier kannst du den Graphen der normalen Sinusfunktion betrachten. Wie ändern sich die Funktionswerte, wenn du einen Faktor $a$ multiplizierst?

  Lösung

  Wir besprechen alle Aussagen einzeln.

  1. Betrachten wir die Gleichung $f(x)=a\cdot \sin(x)$. Wenn wir in diese Gleichung $a=1$ einsetzen, vereinfacht sich die Formel wie folgt: $f(x)=a\cdot \sin(x)=1\cdot \sin(x)=\sin(x)$. Es bleibt also tatsächlich eine normale Sinusfunktion übrig. Diese Aussage war also richtig.
  2. Wir betrachten wieder die Gleichung $f(x)=a\cdot \sin(x)$. Wenn wir jetzt $a=-1$ einsetzen, wird diese Gleichung zu $f(x)=a\cdot \sin(x)=-1\cdot \sin(x)=-\sin(x)$. Jeder Funktionswert, der normalen Sinusfunktion wechselt das Vorzeichen. Aus $\sin(\frac 1 2 \pi)=1 $ wird $-\sin(\frac 1 2\pi)=-1$ und so weiter. Die Funktion wird also praktisch auf den Kopf gestellt, oder mathematischer ausgedrückt: Sie wird an der $x$-Achse gespiegelt. Diese Aussage war also falsch.
  3. Wir betrachten wieder die Funktion $f(x)=a\cdot \sin(x)$. Wir wollen nun eine beliebige Zahl für $a$ einsetzen, für die gilt $|a|>1$. Wenn wir $a=2$ in die Funktion einsetzen, bekommen wir $f(x)=a\cdot \sin(x)=2\cdot \sin(x)$. Nun wird jeder Funktionswert der normalen SInusfunktion mit $2$ multipliziert. Aus $\sin(\frac 1 2 \pi)=1$ wird so $2\cdot \sin(\frac 1 2 \pi)=2\cdot 1=2$ und so weiter. Jeder Betrag eines Funktionswertes wird also größer. Die Hoch- und Tiefpunkte haben also die $y$-Werte $2$ und $-2$. Die Funktion wird in $y$-Richtung gestreckt. Diese Aussage war also auch falsch.
  4. Wir betrachten wieder die Funktion $f(x)=a\cdot \sin(x)$. Was würde hier passieren, wenn wir $0<|a|<1$ einsetzen? Wie nehmen hier als Beispiel $a=\frac 1 2$. So wird aus $\sin(\frac 1 2 \pi)=1$ gerade $\frac 1 2 \cdot \sin(\frac 1 2 \pi)=\frac 1 2 \cdot 1=\frac 1 2$. Wenn wir eine andere Stelle nehmen, wie $\sin(\frac 3 2 \pi)=-1$ und sie mit $a=\frac 1 2$ multiplizieren, bekommen wir $\frac 1 2 \cdot \sin(\frac 3 2 \pi)=\frac 1 2 \cdot(- 1)=- \frac 1 2$. Die Funktionswerte werden also immer im Betrag kleiner, oder mathematischer ausgedrückt, die Funktion wird in $y$-Richtung gestaucht. Diese Aussage war also falsch.
  5. Wir betrachten zunächst wieder die Funktion $f(x)=a\cdot \sin(x)$ und wollen nun $a=-2$ einsetzen. Die Funktion wird also zu $f(x)=-2 \cdot \sin(x)$. Aus der Aussage 2 wissen wir schon, dass die Funktion an der $x$-Achse gespiegelt wird, wenn eine negative Zahl für $a$ eingesetzt wird. Die Funktionswerte der normalen Sinusfunktion werden mit einer negativen Zahl multipliziert und wechseln so ihr Vorzeichen. Wir wissen von Aussage 3, dass die Amplitude größer wird, sollte $|a|>1$ gelten. Die Funktion wird also nicht nur an der $x$-Achse gespiegelt, sondern auch in $y$-Richtung gestreckt. Diese Aussage ist also richtig.

• Ermittle die Funktionsgleichungen zu den Wertetabellen.

  Tipps

  Die Wertetabelle für eine normale Sinusfunktion lautet

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2\cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 &-1 & 0\\ \end {array} $

  Überlege dir noch einmal wie sich der Funktionsgraph ändert, wenn man verschiedene Werte für $a$ einsetzt.

  Was passiert bei negativen $a$?

  Was passiert, wenn man für $a$ eine sehr große Zahl einsetzt?

  Lösung

  1. Die erste Wertetabelle lautet:

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2 \cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & -2 & 0 & 2 & 0\\ \end {array} $

  Wir wissen, dass für eine normale Sinusfunktion gilt $y=\sin(\frac 1 2 \pi)=1$. Nun gilt für diese Funktion

  $y=a\cdot \sin(\frac 1 2 \pi)=a\cdot 1=-2$.

  Wir können nun den hinteren Teil der Gleichung umstellen und so $a$ ausrechnen. Wir schreiben also $a\cdot 1=-2 \Leftrightarrow a=-2 : 1 =-2$.

  Damit könne wir die erste Gleichung aufstellen $f(x)=-2\cdot \sin(x)$.

  2. Die zweite Wertetabelle lautet:

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2\cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & -\frac 1 4 & 0 & \frac 1 4 & 0\\ \end {array} $

  Um die Variable a auszurechnen, benutzen wir wieder die Formel

  $y=a\cdot \sin(\frac 1 2 \pi)=a\cdot 1=-\frac 1 4$ und stellen sie nach $a$ um. Wir bekommen so

  $a\cdot 1=-\frac 1 4 \Leftrightarrow a=-\frac 1 4 : 1 =-\frac 1 4$.

  Damit können wir die Gleichung aufstellen $f(x)=-\frac 1 4 \cdot \sin(x)$.

  3. Die dritte Wertetabelle lautet:

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2\cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & \frac 1 2 & 0 & - \frac 1 2 & 0\\ \end {array} $

  Um $a$ zu bestimmen, bedienen wir uns wieder der Gleichung

  $y=a\cdot \sin(\frac 1 2 \pi)=a\cdot 1=\frac 1 2$.

  Wenn wir sie nach $a$ umstellen, bekommen wir

  $a\cdot 1=\frac 1 2\Leftrightarrow a=\frac 1 2 : 1 =\frac 1 2$.

  Damit können wir die Funktionsgleichung aufstellen $f(x)=\frac 1 2 \cdot \sin(x)$.

  4. Die vierte Wertetabelle lautet:

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2\cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & -\frac 2 3 & 0 & \frac 2 3 & 0\\ \end {array} $

  Wir nutzen wieder die Gleichung

  $y=a\cdot \sin(\frac 1 2 \pi)=a\cdot 1= -\frac 2 3$

  und stellen sie nach $a$ um:

  $a\cdot 1=-\frac 2 3\Leftrightarrow a=-\frac 2 3 : 1 =-\frac 2 3$.

  Die Gleichung können wir so wieder aufstellen $f(x)=-\frac 2 3 \cdot \sin(x)$.

• Leite die Funktionsgleichung mit dem richtigen Parameter her.

  Tipps

  Bilde am besten Wertetabellen für die einzelnen Diagramme.

  So kannst du am einfachsten die Variable $a$ ausrechnen und die Gleichung aufstellen.

  Vergiss nicht, dass negative $a$ die Funktion an der $x$-Achse spiegeln.

  Lösung

  Wir stellen für alle Diagramme zunächst eine Wertetabelle auf und berechnen im Anschluss die Variable $a$. Dazu benutzen wir, dass für normale Sinusfunktionen gilt $\sin(\frac 1 2 \pi)=1$, und außerdem die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot \sin(x)$.

  • Erstes Diagramm: Wir stellen zunächst eine Wertetabelle auf

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2 \cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 & -3 & 0 & 3 & 0\\ \end {array} $

  Es gilt für eine einfache Sinusfunktion $y_2=\sin(\frac 1 2 \pi)=1$. Nun gilt für diese Funktion

  $y_2=a\cdot \sin(\frac 1 2 \pi)=a\cdot 1=-3$.

  Wir stellen den hinteren Teil dieser Gleichung nach $a$ um und bekommen so

  $a\cdot 1=-3 \Leftrightarrow a=-3 : 1 =-3$

  Die Gleichung ist damit

  $f(x)=-3\cdot \sin(x)$

  • Zweites Diagramm: Die Wertetabelle lautet

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2\cdot \pi & \pi & \frac 3 2 \cdot \pi & 2 \cdot \pi \\ \hline y & 0 &-\frac 1 2& 0 & \frac 1 2 & 0\\ \end {array} $

  Wir wissen also wieder

  $y_2=a\cdot \sin(\frac 1 2 \pi)=a\cdot 1=-\frac 1 2 $.

  Wir stellen diese Gleichung wieder nach $a$ um und können $a$ so ausrechnen

  $a\cdot 1=-\frac 1 2 \Leftrightarrow a=-\frac 1 2 : 1 =-\frac 1 2$

  Damit ist die Gleichung

  $f(x)=-\frac 1 2\cdot\sin(x)$.

  • Drittes Diagramm: Wir folgen wieder dem gleichen Muster und bekommen so die Funktionsgleichung

  $f(x)=2\cdot \sin(x)$.

  • Viertes Diagramm: Auch hier finden wir die Funktionsgleichung auf dem gleichen Weg

  $f(x)=3\cdot \sin(x)$.

• Gib die Veränderung des Graphen in Abhängigkeit von $a$ an.

  Tipps

  Hier siehst du den Verlauf einer normalen Sinusfunktion.

  Vergiss nicht, dass ein Betrag nicht negativ sein kann.

  Es gilt $|b|=|-b|=b$, oder in einem Beispiel ausgedrückt $|-2|=|2|=2$.

  Lösung

  Wir betrachten jedes Paar einzeln.

  1. Wenn wir nun $a=1$ einsetzen, wird die Funktion zu $f(x)=a\cdot \sin (x)=1\cdot \sin(x)=\sin(x)$. Das entspricht der normalen Sinusfunktion. Das erste Paar ist also $a=1 \Leftrightarrow$ „Normale Sinusfunktion.“
  2. Wenn wir in die Funktion $a<0$ einsetzen, werden die Vorzeichen der Funktionswerte einer normalen Sinusfunktion umgedreht. So wird zum Beispiel die Gleichung $\sin(\frac 1 2 \pi)=1$ zu $-1\cdot \sin(\frac 1 2 \pi)=-1\cdot1=-1$. Die normale Sinusfunktion wird also an der $x$-Achse gespiegelt. Damit ist das zweite Paar $a<0 \Leftrightarrow$ „Der Graph der normalen Sinusfunktion wird an der $x$-Achse gespiegelt.“
  3. Wenn wir in der Funktion $f(x)=a\cdot \sin (x)$ die Variable $|a|>1$ einsetzen, werden die Funktionswerte der normalen Sinusfunktion selbst im Betrag größer. So wird also zum Beispiel $\sin (\frac 1 2 \pi)=1$ zu $2\cdot \sin (\frac 1 2 \pi)=2\cdot1=2$ und $\sin (\frac 3 2 \pi)=-1$ wird zu $2\cdot \sin (\frac 3 2 \pi)=2\cdot(-1)=-2$. Die normale Sinusfunktion wird also in $y$-Richtung gestreckt. So ist das dritte Paar $|a|>1\Leftrightarrow$ „Die normale Sinusfunktion wird in $y$-Richtung gestreckt “.
  4. Wenn wir nun $0<|a|<1$ in die Funktion $f(x)=a\cdot \sin (x)$ einsetzen, bekommen wir kleinere Amplituden, als bei der normalen Sinusfunktion. Wir nehmen für $a$ zum Beispiel $a=\frac 1 2$. So wird $\sin (\frac 1 2 \pi)=1$ zu $\frac 1 2 \cdot \sin (\frac 1 2 \pi)=\frac 1 2\cdot1=\frac 1 2$. Die normale Sinusfunktion wird also in $y$-Richtung gestaucht. So ist das letzte Paar $0<|a|<1 \Leftrightarrow$ „Die normale Sinusfunktion wird in $y$-Richtung gestaucht“.

• Ermittle die passenden Parameter.

  Tipps

  Der Parameter $a$ steht wie immer für die Änderung der Amplitude.

  Der Parameter $e$ steht für eine Verschiebung auf der $y$-Achse.

  Um den Parameter $e$ zu bestimmen, musst du überprüfen, um welchen Faktor der Funktionsgraph nach oben oder nach unten verschoben wurde.

  Lösung

  Wir bestimmen die Funktionsgleichungen immer gleich. Wir ermitteln zunächst den Parameter $e$, indem wir überprüfen wie weit der Graph entlang der $y$-Achse nach oben bzw. nach unten verschoben wurde.

  Anschließend ermitteln wir den Parameter $a$, indem wir überprüfen, wie sehr der Funktionsgraph in $x$-Richtung gestreckt oder gestaucht wurde.

  • Erstes Diagramm: Die normale Sinusfunktion hat im Koordinatenursprung eine Nullstelle. Durch den Einsatz des Parameters $e$ verschiebt sich der Graph entlang der $y$-Achse. Wir müssen also nur überprüfen, wie sehr diese Nullstelle nach oben oder nach unten verschoben wurde und haben so unseren Parameter.

  Hier sehen wir, dass der Graph um $1$ nach oben verschoben ist. Damit ist $e=1$.

  Den Parameter $a$ bestimmen wir wieder, indem wir die Veränderung der Amplitude überprüfen.

  Wir sehen hier, dass die Amplitude dreimal so groß ist, wie bei einer normalen Sinusfunktion. Außerdem liegt im Verlauf zunächst ein Minimum und dann erst ein Maximum vor. Daher wissen wir, dass $a$ auch negativ sein muss.

  Wir stellen die Funktionsgleichung also auf

  $f(x)=-3\cdot \sin(x)+1$.

  • Zweites Diagramm: Wir suchen wieder zunächst die Verschiebung auf der $y$-Achse.

  Der Funktionsgraph ist hier um $1$ nach unten verschoben worden. Damit ist $e=-1$. Das negative Vorzeichen kommt daher, dass der Graph nach unten verschoben worden ist.

  Die Amplitude ist hier halb so klein, wie die einer normalen Sinusfunktion. Damit ist $a=0,5$.

  Damit lautet die Formel

  $f(x)=0,5\cdot \sin(x)-1$.

  • Drittes Diagramm: Die Suche nach der Funktionsgleichung folgt analog. Sie lautet

  $f(x)=2\cdot \sin(x)-2$.

  • Viertes Diagramm: Wir finden die Funktionsgleichung auf dem gleichen Weg.

  $f(x)=-1\cdot \sin(x)+2$