Winkelfunktionen – spezielle Funktionswerte
Erfahre alles über Sinus, Kosinus und Tangens! Von ihrer Definition bis hin zu speziellen Funktionswerten bei Winkeln wie 30°, 45° und 60°. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.
- Was sind Winkelfunktionen?
- Winkelfunktionen – Definitionen
- Spezielle Funktionswerte der Winkelfunktionen – Sinus
- Spezielle Funktionswerte der Winkelfunktionen – Cosinus
- Spezielle Funktionswerte der Winkelfunktionen – Tangens
- Ausblick – das lernst du nach Winkelfunktionen – spezielle Funktionswerte
- Zusammenfassung – spezielle Funktionswerte von Winkelfunktionen
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Spezielle Funktionswerte von Winkelfunktionen
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Grundlagen zum Thema Winkelfunktionen – spezielle Funktionswerte
Was sind Winkelfunktionen?
Winkelfunktionen beruhen auf der Trigonometrie (einem Teilgebiet der Geometrie) und werden daher auch trigonometrische Funktionen genannt. In der Trigonometrie geht es um das Untersuchen der Seiten und Winkel und deren Verhältnisse in Dreiecken. Die grundlegenden Winkelfunktionen sind der Sinus, der Cosinus und der Tangens eines Winkels. Die Definitionen dieser Winkelfunktionen basieren auf rechtwinkligen Dreiecken.
Wusstest du schon?
Wenn du eine Sinuswelle zeichnest, siehst du eine Form, die oft in der Natur vorkommt, zum Beispiel bei Wellen im Wasser oder bei Schallwellen.
Die komplizierten Formeln der Mathematik haben also durchaus eine Verbindung zur realen Welt!
Winkelfunktionen – Definitionen
Um spezielle Werte für die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens zu bestimmen, erinnern wir an die Definitionen dieser Winkelfunktionen. Die Winkelfunktionen sind definiert als Seitenverhältnisse spezieller Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck. Hier sind die Formeln zu den Definitionen der Winkelfunktionen noch einmal aufgelistet:
$\text{Sinus} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\text{Cosinus} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\text{Tangens} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
In der Abbildung siehst du, welche Seiten des rechtwinkligen Dreiecks mit den Begriffen Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse gemeint sind.
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkeln des Dreiecks gegenüber. Die Ankathete liegt an dem Winkel $\alpha$ an, der das Argument der entsprechenden Cosinusfunktion ist. Die Gegenkathete liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber, der in diesem Fall das Argument der Sinusfunktion ist.
Spezielle Funktionswerte der Winkelfunktionen – Sinus
Sehen wir uns nun ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen an. Wir beginnen mit der Sinusfunktion.
Sinus von 60 Grad
Zunächst möchten wir herausfinden, welchen Wert der Sinus bei einer Winkelgröße von $60$ Grad aufweist. Wir können durch eine geometrische Überlegung zeigen, dass der Wert für diese Winkelgröße gleich $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ ist. Für den Beweis der Gleichung $\sin(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\sqrt{3}$ konstruieren wir ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel $\alpha$ der Größe $60^{\circ}$. Ein solches Dreieck erhalten wir, indem wir ein gleichseitiges Dreieck längs seiner Höhe $h$ halbieren, wie in der folgenden Abbildung zu sehen. Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks nennen wir $a$.
Jedes der beiden Teildreiecke ist rechtwinklig und hat einen Winkel der Größe $60^{\circ}$. Da in einem gleichseitigen Dreieck die Höhe zugleich Mittelsenkrechte ist, halbiert die Höhe die Grundseite. Die beiden rechtwinkligen Dreiecke haben also jeweils die Hypotenuse der Länge $a$ und eine Kathete der Länge $\frac{a}{2}$.
Um den Sinus des Winkels $60^{\circ}$ zu berechnen, müssen wir die Gegenkathete und die Hypotenuse des Winkels $60^{\circ}$ bestimmen. Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks hat die Seitenlänge $a$. Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel immer gegenüber. Die Gegenkathete ist in unserem Fall demnach die Höhe $h$ des gleichseitigen Dreiecks. Diese können wir mithilfe des Satzes des Pythagoras bestimmen:
$h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} = a^2 \qquad \implies \qquad h = \sqrt{\dfrac{3}{4}a^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{~2}a$
Setzen wir diesen Wert in die Formel für den Sinus ein, erhalten wir:
$\sin(60^{\circ}) = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{~2}a}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{~2}$
Das ist gerade der Zusammenhang, den wir zeigen wollten.
Sinus von 30 Grad
Wir können auch den Sinus des anderen Winkels bestimmen. Da die Höhe $h$ den ursprünglichen Winkel gerade halbiert, hat der resultierende Winkel eine Größe von $30^{\circ}$ . Für diesen Winkel hat die zugehörige Gegenkathete die Länge $\frac{a}{2}$. Damit können wir den Sinus berechnen:
$\sin(30^{\circ}) = \dfrac{\frac{a}{2}}{a} = \dfrac{1}{2}$
Der Sinus von $30^{\circ}$ hat also den Wert $\frac{1}{2}$.
Sinus von 45 Grad
Um den Sinus von $45^{\circ}$ zu berechnen, bestimmen wir die Gegenkathete und die Hypotenuse in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck. Ein solches Dreieck erhalten wir durch die Teilung eines Quadrats längs der Diagonalen. Die Abbildung zeigt ein solches Dreieck:
Bezeichnen wir die Seiten des Quadrats mit $a$, bilden diese nun sowohl die Ankathete als auch die Gegenkathete des rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse des Dreiecks können wir dann mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$a^2+a^2 = c^2 \qquad \implies \qquad c = \sqrt{2}a$
Setzen wir diese Werte in die Formel für den Sinus ein, erhalten wir:
$\sin(45^{\circ}) = \dfrac{a}{\sqrt{2}a} = \dfrac{~1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{~2}$
Spezielle Funktionswerte der Winkelfunktionen – Cosinus
Ganz ähnliche Herleitungen können wir auch für die Cosinusfunktion durchführen.
Cosinus von 60 Grad
Analog zum Sinus können wir mit demselben rechtwinkligen Dreieck auch den Cosinus von $60^{\circ}$ berechnen. Hierzu bestimmen wir die Ankathete des Winkels $60^{\circ}$. Die Ankathete liegt dem Winkel an und hat die Länge $\frac{a}{2}$. Den Cosinus des Winkels können wir nun berechnen:
$\cos(60^{\circ}) = \dfrac{\frac{a}{2}}{a} = \dfrac{1}{2}$
Der Cosinus von $60^{\circ}$ hat also den Wert $\frac{1}{2}$.
Cosinus von 30 Grad
Ganz analog können wir auch den Cosinus des Winkels $30^{\circ}$ berechnen. Die Ankathete des Winkels hat nun die Länge $\frac{\sqrt{3}}{~2}a$. Der Cosinus des Winkels $30^{\circ}$ ist demnach:
$\cos(30^{\circ}) = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{~2}a}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{~2}$
Cosinus von 45 Grad
Den Cosinus des Winkels $45^{\circ}$ berechnen wir wieder in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck. Die Ankathete des Winkels hat die gleiche Länge wie die Gegenkathete, nämlich $a$. Daher ist der Cosinus des Winkels $45^{\circ}$ genauso groß wie der Sinus dieses Winkels:
$\cos(45^{\circ}) = \dfrac{a}{\sqrt{2}a} = \dfrac{\sqrt{2}}{~2}$
Kennst du das?
Hast du schon einmal deinen Schatten an einem sonnigen Tag beobachtet? Wenn die Sonne tief steht, ist dein Schatten länger, und wenn sie hoch steht, ist er kürzer. Das liegt an den Winkeln, die die Sonnenstrahlen zu deiner Körperhöhe bilden.
Mit Winkelfunktionen kannst du genau berechnen, wie lang dein Schatten zu verschiedenen Tageszeiten ist. So zeigt dir die Mathematik, wie dein Schatten ständig seine Form ändert.
Spezielle Funktionswerte der Winkelfunktionen – Tangens
Sehen wir uns zum Schluss auch noch die Tangensfunktion an.
Tangens von 60 Grad
Auch den Tangens des Winkels $60^{\circ}$ können wir in dem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Hierzu verwenden wir die Gegenkathete $h= \frac{\sqrt{3}}{~2}a$ und die Ankathete $\frac{a}{2}$ des Winkels $60^{\circ}$ – beide haben vier zuvor schon bestimmt. Der Tangens des Winkels $60^{\circ}$ ist demnach:
$\tan(60^{\circ}) = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{~2}a}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}$
Tangens von 30 Grad
Auch für den Winkel $30^{\circ}$ können wir den Tangens berechnen. Die Gegenkathete und die Ankathete des Winkels sind dieselben wie zuvor, aber mit vertauschten Rollen. Daher ist der Tangens von $30^{\circ}$:
$\tan(30^{\circ}) = \dfrac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{~2}a} = \dfrac{~1}{\sqrt{3}}$
Tangens von 45 Grad
Den Tangens des Winkels $45^{\circ}$ berechnen wir wieder mithilfe des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks. Da in diesem Dreieck beide Katheten die gleiche Länge $a$ haben, sind Gegenkathete und Ankathete des Winkels $45^{\circ}$ gleich lang. Wir erhalten daher für den Tangens:
$\tan(45^{\circ}) = \dfrac{a}{a} =1$
Der Tangens von $45^{\circ}$ hat also immer den Wert $\frac{1}{2}$.
Beachte:
Die hier bestimmten Werte der Winkelfunktionen gelten grundsätzlich – und nicht nur für die hier betrachteten, speziellen Dreiecke.
Ausblick – das lernst du nach Winkelfunktionen – spezielle Funktionswerte
Vertiefe dein Wissen über Sinus, Cosinus und Tangens, lerne mehr über die trigonometrischen Funktionen sowie die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis mithilfe der Polarkoordinaten und befasse dich auch mit der Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz. Stelle dich den Herausforderungen der Trigonometrie!
Zusammenfassung – spezielle Funktionswerte von Winkelfunktionen
- Die elementaren Winkelfunktionen $\sin$, $\cos$ und $\tan$ haben speziellen Funktionswerte, die wir für die Winkel $30^{\circ}$, $45^{\circ}$ und $60^{\circ}$ herleiten könnne.
- Hier siehst du die wichtigsten Funktionswerte der Winkelfunktionen noch einmal in einer Tabelle zusammengefasst:
| $\alpha$ | $\sin{\alpha}$ | $\cos{\alpha}$ | $\tan{\alpha}$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30^{\circ}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{~2}$ | $\dfrac{~1}{\sqrt{3}}$ |
| $45^{\circ}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{~2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{~2}$ | $1$ |
| $60^{\circ}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{~2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90^{\circ}$ | $1$ | $0$ | – |
Häufig gestellte Fragen zum Thema Spezielle Funktionswerte von Winkelfunktionen
Transkript Winkelfunktionen – spezielle Funktionswerte
Hallo, liebe Mathematikinteressierte. Hier ist André mit einem Video zu den Winkelfunktionen. Es geht heute um spezielle Funktionswerte. Welche Voraussetzungen solltet ihr dafür mitbringen? Ihr solltet: 1. Einfache geometrische Begriffe kennen und anwenden können. Dreiecke, gleichseitige, rechtwinklige und so weiter sollten für euch keine Fremdwörter sein. 2. Ihr solltet den Lehrsatz des Pythagoras kennen und anwenden können. 3. Ihr solltet gut vertraut sein mit einfachen Winkelfunktionen und deren Anwendung: Sinus, Kosinus, Tangens. Wir kommen zum Problem. Ich bitte euch einmal, jeder einen Taschenrechner zur Hand zu nehmen. Habt ihr ihn? Dann berechnet einmal den Wert des Ausdrucks ½×\sqrt(3). Habt ihr das? Bis auf 4 Stellen hinter dem Komma habe ich das auch getan und hier aufgeschrieben. Und jetzt ein anderer Wert zum Vergleich. Berechnet mit dem Taschenrechner den Wert von sin60° und notiert ihn bis auf 4 Stellen nach dem Komma. Habt ihr das? Was fällt euch auf? Beide Werte stimmen mit der angegebenen Genauigkeit überein. Ist das ein Zufall? Oder ist tatsächlich ½×\sqrt(3)=sin60°? Wir wollen versuchen, dafür den Beweis zu führen. Die Behauptung lautet: sin60°=½×\sqrt(3). Für die Beweisführung habe ich ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a gezeichnet. Nun fällen wir das Lot von dem oberen Eckpunkt des Dreiecks auf die entsprechende Dreiecksseite unten. Wir erhalten 2 neue Dreiecke. Für die Beweisführung benutzen wir das linke Dreieck. Wegen der Gleichseitigkeit des Ursprungsdreiecks hat es einen Winkel 60°, wegen der Lotbedingung einen 2. Winkel 90°. Das Lot hat die Grundseite halbiert. Daher beträgt die rot untersetzte Seite im kleinen Dreieck links a/2 oder ½a. Der sin60° ist laut Definition gleich Gegenkathete (hier blau) durch Hypotenuse (hier schwarz dargestellt). Wir berechnen die Länge der Gegenkathete g. Nach dem Lehrsatz des Pythagoras erhalten wir für das linke rechtwinklige Hilfsdreieck: a2=g2+(a/2)2. Daraus ergibt sich schließlich ganz rechts: g2+¼a2. Wir bringen nun das ¼a2 auf die linke Seite. Subtrahieren. Und erhalten links: 4/4a2 (ein ganzes a2 sozusagen) -¼a2=3/4a2=g2. Wir ziehen die Wurzel und erhalten: (\sqrt(3)/ \sqrt(4))a oder, weiter vereinfacht, (\sqrt(3)/2)a=g. Den Wert setzen wir in die untere Formel ein und erhalten (\sqrt(3)/2)a im Zähler, das ist die Gegenkathete, geteilt durch a, das ist die Hypotenuse im linken rechwinkligen Dreieck. Nun wird gekürzt. Wir erhalten \sqrt(3)/2=½×\sqrt(3). Der Beweis wurde geführt. Die nächste Behauptung: cos60°=½. Für den Beweis können wir wieder die Zeichnung links unten verwenden. cos60°=Ankathete/Hypotenuse. Wir entnehmen der Zeichnung: Ankathete=½a im Zähler, Hypotenuse=a im Nenner. Wir können nun kürzen, das Ergebnis ist ½, was zu beweisen war. Die nächste Behauptung: tan60°=\sqrt(3). Nach Definition ist der Tangens=Gegenkathete/Ankathete. Die Gegenkathete, so erinnert euch, beträgt g=(\sqrt(3)/2)a. Wir setzen in die Formel für den Tangens ein. Im Zähler (\sqrt(3)/2)a, im Nenner ½a. Wir vereinfachen den Ausdruck, indem wir mit dem Reziproken des Nenners multiplizieren. Nach Kürzen ergibt sich: tan60°=\sqrt(3). Was zu beweisen war. Die nächste Behauptung: sin30°=½. Wir können die Zeichnung wieder verwenden, müssen jetzt allerdings den Winkel 30° betrachten. sin30° ist der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse. Wir setzen ein: ½a im Zähler, a im Nenner. Nach Kürzen, dividieren durch a in Zähler und Nenner, erhalten wir sin30°=½. Was zu beweisen war. Die nächste Behauptung: cos30°=½\sqrt(3). cos30° ist laut Definition der Quotient aus Ankathete und Hypotenuse. Die Ankathete ist g=(\sqrt(3)/2)a. Dieser Ausdruck steht im Zähler. Im Nenner bleibt die Hypotenuse=a. Wir kürzen durch a und erhalten \sqrt(3)/2=½\sqrt(3). Somit ist cos30°=½\sqrt(3), was zu beweisen war. Den tan30° können wir berechnen, indem wir sin30°/cos30° rechnen. Das gilt nach Definition. Setzen wir die Werte ein, erhalten wir, nachdem wir gekürzt haben, 1/\sqrt(3). Das Ergebnis noch schnell notiert und weiter geht es. Die nächste Behauptung: sin45°=½\sqrt(2). Für den Beweis benötigen wir ein gleichschenkliges, rechwinkliges Dreieck, wie ich unten links dargestellt habe. Wegen dem rechten Winkel und der Gleichschenkligkeit sind die beiden Basiswinkel=45°. Nach dem Lehrsatz des Pythagoras erhalten wir h2=a2+a2=2a2. Wir ziehen die Wurzel und es ergibt sich h=\sqrt(2)a. sin45° ist nach Definition Gegenkathete/Hypotenuse. Die Gegenkathete ist hier blau, gleich a. Die Hypotenuse wurde berechnet \sqrt(2)a. Nach Kürzen erhalten wir 1/\sqrt(2). Wenn wir den Zähler und den Nenner mit \sqrt(2) multiplizieren und berücksichtigen, dass \sqrt(2)×\sqrt(2)=2 ist, erhalten wir nach einigen Umformungen sin45°=½\sqrt(2). Was zu beweisen war. So, das Ergebnis noch schnell notieren und weiter geht es. Nächste, vorletzte Behauptung: cos45°=½\sqrt(2). Wir schauen uns unsere Zeichnung an und setzen die entsprechenden Werte ein. Ganz analog wie beim Sinus von 45° erhalten wir hier cos45°=½\sqrt(2). Was zu beweisen war. Das Ergebnis noch schnell notiert und dann geht es zum letzten Beweis tan45°=1. Der Tangens ist der Quotient aus Gegenkathete und Ankathete. Die Gegenkathete und Ankathete sind jeweils a. Wir kürzen und erhalten tan45°=1. Was zu beweisen war. Nun noch dieses schöne Ergebnis notiert und dann können wir uns an unseren Resultaten erfreuen. Das war ein wirkliches Mammutprogramm. Ich bedanke mich für euer Durchhaltevermögen. Vielleicht habt ihr auch ein wenig Spaß gehabt. Bis zum nächsten Mal alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.
Winkelfunktionen – spezielle Funktionswerte Übung
-
Beschreibe, wie du $\sin(60^\circ)$ berechnen kannst.
TippsFür den Sinus gelten folgende Gleichungen:
- $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$ und
- $\sin(\beta)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}}$.
Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.
Die Werte der Sinusfunktion liegen in dem Intervall $[-1;1]$.
LösungZur Berechnung des Ausdrucks $\sin(60^\circ)$ schauen wir uns das linke rechtwinklige Hilfsdreieck an.
Hier gilt $\sin(60^\circ)=\frac ga$. Du teilst die Länge der Gegenkathete von $\alpha$ durch die Länge der Hypotenuse.
Zunächst muss die Länge der Gegenkathete berechnet werden. Hierfür verwendest du den Satz des Pythagoras:
$g^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2$.
Subtrahiere auf beiden Seiten $\left(\frac a2\right)^2$. Du erhältst:
$g^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2=a^2-\frac14a^2=\frac34a^2$.
Nun kannst du die Wurzel ziehen. Das führt zu $g=\sqrt{\frac34a^2}=\frac12\cdot \sqrt 3\cdot a$.
So! Jetzt kannst du $g$ in die obige Formel einsetzen und erhältst damit:
$\sin(60^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot \sqrt 3\cdot a}a=\frac12\cdot \sqrt 3$.
Wenn du sowohl $\sin(60^\circ)$ als auch $\frac12\cdot\sqrt 3$ in den Taschenrechner eingibst, erhältst du beide Male ungefähr $0{,}8660$.
-
Bestimme die speziellen Funktionswerte der Winkelfunktionen.
TippsDer Ausdruck $\sin(60^\circ)$ ergibt $\frac12\cdot \sqrt 3$.
Hier siehst du, dass die Gegenkathete von $\alpha$ die Ankathete von $\beta$ ist.
Die Bezeichnungen hängen also immer von dem Winkel ab, den du gerade betrachtest.
Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Ankathete von $\beta$.
Deshalb folgt:
$\sin(\alpha)=\cos(\beta)$.
Ebenso gilt $\cos(\alpha)=\sin(\beta)$.
LösungHier siehst du den Nachweis dafür, dass $\sin(30^\circ)=\frac12$ gilt. Die Gegenkathete des $30^\circ$-Winkels $(\beta)$ ist $\frac a2$. Damit gilt:
$\sin(30^\circ)=\dfrac{\frac a2}{a}=\frac12$.
Fertig! Das ging ja schnell!
Da die Gegenkathete von $\beta$ die Ankathete von $\alpha$ ist, gilt:
- $\cos(60^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac12$ und
- $\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$.
$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Mithilfe dieses Zusammenhangs kannst du nun die Werte für $\tan(60^\circ)$ und $\tan(30^\circ)$ ebenfalls berechnen:
- $\tan(60^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot\sqrt 3}{\frac12}=\sqrt 3$ und
- $\tan(30^\circ)=\dfrac{\frac12}{\frac12\cdot\sqrt 3}=\frac1{\sqrt 3}$.
-
Arbeite $\tan(\alpha)$ in Abhängigkeit von $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ heraus und verwende dies, um die speziellen Werte des Tangens zu berechnen.
TippsVerwende
- $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$,
- $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.
LösungZunächst benutzen wir die Definition des Tangens:
$\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$.
Wenn du diesen Bruch mit der Hypotenuse erweiterst, erhältst du
$\tan(\alpha)=\dfrac{\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}}$.
Nun kannst du erkennen, dass im Zähler $\sin(\alpha)$ und im Nenner $\cos(\alpha)$ stehen:
$\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Nun kannst du die bekannten Werte für Sinus und Cosinus einsetzen:
- $\tan(30^\circ)=\dfrac{\frac12}{\frac12\cdot\sqrt 3}=\frac1{\sqrt3}$,
- $\tan(45^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot \sqrt 2}{\frac12\cdot\sqrt 2}=1$ und
- $\tan(60^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot\sqrt 3}{\frac12}=\sqrt3$.
-
Weise den trigonometrischen Pythagoras nach.
TippsHier siehst du die Definitionen von Sinus und Cosinus:
- $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$ und
- $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.
Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.
Wenn du einen Bruch quadrierst, quadrierst du sowohl den Zähler als auch den Nenner.
LösungEs soll nachgewiesen werden, dass $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ ist.
Zunächst kannst du Sinus und Cosinus über den Quotienten von Gegenkathete beziehungsweise Ankathete zu Hypotenuse bestimmen:
- $\sin(\alpha)=\frac ac$ und
- $\cos(\alpha)=\frac bc$.
$\begin{array}{rclll} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)&=&\left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2\\ &=&\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}\\ &=&\frac{a^2+b^2}{c^2} \end{array}$
Nun kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. $a$ und $b$ sind die Katheten und damit gilt $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Du kannst also $a^2+b^2$ durch $c^2$ ersetzen. So geht es weiter:
$\begin{array}{rclll} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)&=&\frac{a^2+b^2}{c^2} \\ \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)&=&\frac{c^2}{c^2}\\ &=&1 \end{array}$
-
Benenne die Besonderheiten eines gleichseitigen Dreiecks.
TippsVerwende den Innenwinkelsatz: In einem beliebigen Dreieck ergänzen sich die drei Innenwinkel zu $180^\circ$.
Beachte: In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten liegen an dem rechten Winkel an.
In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der Winkel $90^\circ$. Damit gilt für die beiden verbleibenden Winkel, dass sie sich zu $90^\circ$ summieren.
LösungIn einem gleichseitigen Dreieck gilt nicht nur, dass die drei Seiten gleich lang sind.
- Darüber hinaus sind auch alle drei Winkel gleich groß. Da diese sich nach dem Innenwinkelsatz zu $180^\circ$ addieren, folgt, dass jeder dieser Winkel, also auch $\alpha$, $\frac{180^\circ}3=60^\circ$ beträgt.
- Ebenfalls mit dem Innenwinkelsatz gilt, dass $60^\circ+\beta+90^\circ=180^\circ$. Dies führt zu $\beta=30^\circ$. Merke dir: In einem rechtwinkligen Dreieck summieren sich die beiden spitzen Winkel zu $90^\circ$.
- Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Diesen erkennst du übrigens an dem Viertelkreis mit dem Punkt darin. Hier ist $a$ die Hypotenuse.
- Die eine Kathete ist die Höhe $g$.
- Da diese Höhe die Seite $a$ halbiert, ist $\frac a2$ die andere Kathete.
-
Ermittle die fehlenden Werte der Tabelle.
TippsIn diesem Einheitskreis ist der Winkel $60^\circ$ eingetragen. Der größere Winkel, welcher nicht eingetragen ist, beträgt $120^\circ$.
Du siehst, dass $\sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)$ ist.
Ebenso kannst du $\sin(135^\circ)$ und $\sin(150^\circ)$ bestimmen.
In dieser Darstellung erkennst du, dass $\cos(120^\circ)=-\cos(60^\circ)$ ist.
Ebenso kannst du $\cos(135^\circ)$ und $\cos(150^\circ)$ bestimmen.
Verwende $\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Einige der Werte sind bereits in dem Video hergeleitet worden.
LösungHier siehst du die ausgefüllte Tabelle.
Die Werte für $\alpha=30^\circ;~45^\circ;~60^\circ$ hast du bereits kennengelernt.
Du kannst für die verbleibenden Winkel nicht mehr mit rechtwinkligen Dreiecken argumentieren. Hierfür benötigst du einen Einheitskreis. In diesem ist die Hypotenuse gleich dem Radius $r=1$ und damit der Sinus des Winkels die Gegenkathete dieses Winkels. Es ist $\sin(90^\circ-\alpha)=\sin(90^\circ+\alpha)$.
Ebenso ist $\cos(90^\circ-\alpha)=-\cos(90^\circ+\alpha)$.Die jeweiligen Tangenswerte kannst du berechnen, indem du den zu dem Winkel gehörenden Sinuswert durch den Cosinuswert dividierst.
Schau dir die folgenden Winkel beispielhaft an:
1. Beispiel: $135^\circ$
- $\sin(135^\circ)=\sin(90^\circ+45^\circ)=\sin(90^\circ-45^\circ)=\sin(45^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 2$
- $\cos(135^\circ)=\cos(90^\circ+45^\circ)=-\cos(90^\circ-45^\circ)=-\cos(45^\circ)=-\frac12\cdot \sqrt 2$
- $\sin(150^\circ)=\sin(90^\circ+60^\circ)=\sin(90^\circ-60^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac12$
- $\cos(150^\circ)=\cos(90^\circ+60^\circ)=-\cos(90^\circ-60^\circ)=-\cos(30^\circ)=-\frac12\cdot \sqrt 3$
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